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1.1 共点力作用下物体的平衡
（1）重力与万有引力的关系
重力是由于地球对物体的吸引而产生的力，在地面附近的物体都受到重力作用。重力的方向竖直向下，作用点是物体的重心。从力的来源来看， 重力其实是万有引力的一个分力 ，如图1.1所示。物体受到地球产生的万有引力，产生两种作用效果：一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力（重力和万有引力的夹角α最大值约为6″）。由于向心力的关系，重力随地理纬度的不同而略有差异，在赤道处所受重力最小，在两极处所受重力最大，两者数值相差约千分之三。由于物体随地球自转做圆周运动的向心力远小于万有引力，因此，在粗略计算时可以认为物体所受的重力等于万有引力。
图 1.1
（2）重心（质心）
物体的重心是物体各部分所受重力的合力（即物体的整体重力）的作用点。均匀、规则物体的重心在其几何中心上。由此，物体的重心有可能不在物体上，而在它附近空间的某个点上。只要物体的质量分布情况确定，物体的重心与物体各部分的相对位置就确定了，所以无论物体（刚体）怎样运动，其重心对物体（刚体）的位置保持不变。
通常的物体可以看成是由多个质点组成的质点系（系统），如果组成质点系的各个质点的质量分别为m 1 ，m 2 ，m 3 ，…，m n ，各个质点在xOy坐标系中的坐标分别是（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），（x 3 ，y 3 ），…，（x n ，y n ），则物体的重心（质心）坐标（x c ，y c ）可以表示为
除了表达重力的“作用点”，质心还是物体上的一个特殊位置， 如果物体所受外力的作用线没经过该物体的质心，则该物体会产生转动 。
弹力是物体由于发生弹性形变而产生的力，产生弹力的条件是两个物体接触且发生弹性形变。弹力的作用点在两个物体的接触处，方向与物体形变的方向相反，作用在使物体发生形变的另一个物体上。
弹簧的弹力F同其形变量x有关，满足胡克定律，即F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，取决于弹簧的材料、圈数、每圈的形状及大小等因素。如果劲度系数分别是k
1
和k
2
的弹簧并联，等效劲度系数为k=k
1
+k
2
，即弹簧变硬；若两个弹簧串联，则等效劲度系数为
11即弹簧变软。由于我们处理的弹力往往都是由微小形变产生的，所以在确定弹力的
，大小时需借助物体的受力情况。
[绳子张力的特点]
绳子的张力属于微小形变而产生的弹力，其特点需分开说明：
如果是光滑的、不计形变的轻绳，绳上的张力大小处处相等；
如果不是上述的理想条件，绳子有质量且不光滑，上述结论不成立。
[杆的弹力特点]
通常研究的杆有两种：固定的轻直杆和光滑铰链连接的轻直杆。固定的轻直杆产生的弹力不一定沿杆的方向；通过光滑铰链连接的杆，杆可以自由转动，则弹力沿轻直杆的方向。
摩擦力包括滑动摩擦力和静摩擦力，它是一个物体在另一个物体表面有相对运动或者相对运动的趋势时，在接触面上所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力。产生摩擦力的条件是两个物体必须有弹力作用、接触表面不光滑且有相对运动或相对运动趋势。由其产生条件分析可知：摩擦力的方向沿接触面的切线且 沿阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势 的方向。
滑动摩擦力的大小，由公式f=μN确定。其中μ为动摩擦因数，决定于两个接触面的粗糙程度。一般情况下，可以认为滑动摩擦力的大小与物体接触面的面积和物体相对速度的大小无关。
静摩擦力f s 的大小可表示为0<f s ≤f max ，其中f max 为最大静摩擦力，其值为f max =μ s N，其中μ s 为静摩擦因数，一般来说稍大于动摩擦因数，通常在计算时，可以近似认为μ=μ s 。静摩擦力f s 的大小在区间（0，f max ]内，具体的数值要根据物体的状态由平衡条件和牛顿运动定律求解。
下面着重介绍解题中常用的摩擦角和自锁概念。
（1）摩擦角（φ f ）
如物体与接触面间有力的作用，则接触面对物体施加的力称为约束力，除接触面，其他施力物对物体产生的力叫主动力。如图1.2（a）所示，当有摩擦时，接触面对平衡物体的作用力包含法向的支持力N和切向的静摩擦力f s ，这两个力的合力F R 称为接触面的全约束反力（简称全反力）。全反力的方向同接触面法线有一夹角φ。当物体处于平衡的临界条件，即静摩擦力达到最大静摩擦力时，夹角φ达到最大值，如图1.2（b）所示。全反力与法线间的最大夹角φ f 称为摩擦角。
由图1.2（b）可知，摩擦角的正切等于静摩擦因数μ
s
，即
。
所以，同静摩擦因数μ s 一样，摩擦角φ f 也是表征材料表面性质的物理量。
设作用于物块的力等于最大静摩擦力，如果将该力的作用线在水平面内连续改变方向，则物块的滑动趋势也随之改变，全约束力的作用线将画出一个以接触点为顶点的锥面，此锥面称为摩擦锥，如图1.2（c）所示。若接触面各个方向的摩擦因数相同，摩擦锥是一个顶角为2φ f 的圆锥。
图 1.2
（2）自锁现象
物块平衡时，静摩擦力与切向外力平衡，所以全约束力与法线的夹角在0与φ f 之间变化，即0≤φ≤φ f 。由于静摩擦力不可能超过最大静摩擦力，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角之外。
如图1.3所示，当作用在物体上的全部主动力（除接触面作用力之外的力）的合力的作用线在摩擦角（摩擦锥）之内，则无论这个力有多大，物体必能保持静止，这种现象叫 自锁现 象，如图1.3（a）所示。反之，当全部主动力的合力在摩擦角（摩擦锥）之外，则无论主动力有多小，物体一定不能保持平衡，这种现象称为 不自锁 ，如图1.3（b）所示。
图 1.3
只从质点平动的观点研究物体的受力状态。
①共点力平衡的条件。物体在任何一个方向所受合力为零，即
②三力交汇原理。一个物体受到三个非平行力的作用仍处于平衡状态，则这三个力的作用线或延长线一定交于一点。
例1 如图1.4所示，无穷多个质量分布均匀的圆环，半径依次为R，R/2，R/4，R/8，…相切于一公共点，则该系统的质心距公共点的距离为多少？
解 根据质心的定义，可知质心产生的力矩等于每个圆环产生的力矩之和。以右切点为坐标原点、向左为x轴的正方向建立坐标轴，则从大到小各环的质量依次为m，m/2，m/4，m/8，…，各环对应的圆心坐标分别为R，R/2，R/4，R/8，…，则
因此，质心距最大圆的圆心距离为R /3。
图 1.4
图 1.5
例2 如图1.5所示，原长L 0 为100cm的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内、弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述（1）、（2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离原水平面的高度h 0 。
（1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值h m 为40cm。
（2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。
解 设小球质量为m，弹簧劲度系数为k。当槽转至倾角θ时，球的高度为h，由胡克定律有
K
=mg sinθ
转到竖直位置时，有
k（L 0 -h 0 ）=mg
解得
（1）由上式可知，当
时，h有极大值h
m
。
由此可得
h
m
=
则
h
o
=L
o
-
代入数值后，得
h 0 =37.5cm
（2）当
90°时，在转动过程中，小球离原水平面的高度就一直不断增大。由此可得
解得
代入数值后，得
100cm>h 0 ≥50cm
例3 一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯与墙的静摩擦因数分别为μ 1 、μ 2 ，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
解 当两接触点处的静摩擦力都达到最大时，梯子处于极限平衡状态，此时梯子与地面所成的夹角最小。现把两接触点处的弹力、摩擦力合成为一个力（全反力），则杆仅受三个力作用，这三个力必共点，如图1.6所示。
图 1.6
设A、B两处全反力的方向与该处法线方向的夹角分别为φ 1 、φ 2 ，则
tanφ 1 =μ 1 ，tanφ 2 =μ 2
由几何关系，可得
即梯子与地面所成的最小角为
。
例4 三个半径均为r，质量相等的球放在一个半球形碗内，现把第四个半径也为r，质量也相等的相同球放在这三个球的正上方。要使四个球能静止，大的半球形碗的半径应满足什么条件？不考虑各处摩擦，碗的半径足以放下所有球。
解 假设的球面半径很大，把碗面变成平面，因为各接触面是光滑的，当放上第四个球后，下面的三个球会散开，所以临界情况是放上第四个球后，下面三个球之间刚好无弹力。把上面的球记为A，下面三个球分别记为B、C、D，则四个球的球心连起来构成一个正四面体，正四面体的边长均2r，如图1.7（a）所示。
设A、B球心的连线与竖直方向的夹角为α，设碗面球心为O，O与B球心的连线与竖直方向的夹角为β，碗面对上面三个球的作用力都为F，如图1.7（b）所示。先以整体为研究对象，受重力、碗面对三个球的弹力F，在竖直方向上有
图 1.7
以B球为研究対象，受重力mg、碗面対B球的作用力F、A球対B球的压力F N ，根据共点力的平衡条件，有
Fcosβ=mg+F N sinα
Fsinβ=F N sinα
消去F N ，得
①、②式联立，消去F得
因为四个球的球心构成一个边长为2r正四面体，如图1.7（b）所示。根据几何关系，可以知道
代入③式得
tanβ=
于是碗面的半径为
所以，半球形碗的半径需满足R≤7.633r。
1.有两个质量分别为m 1 和m 2 的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图1.8所示。已知细线所对的圆心角为α，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角θ为多少？
图 1.8
2.有一质量为m，半径为r的半球放在盛有密度为ρ的液体的容器底部，它与容器底部紧密接触（即半球表面与容器底面间无液体），如图1.9所示，若液体深度为H，求半球对容器底部压力是多大？（P 0 为大气压强）
图 1.9
3.有一水平放置的半径R的圆柱体光滑槽面，其上放有两个半径均为r的光滑圆柱体A和B，如图1.10所示为其截面图。图中O为圆柱面的圆心，A、B分别为两圆柱的圆心，OQ为竖直线。已知A、B两圆柱分别重G 1 和G 2 ，且R=3r。求此系统平衡时，OA线与OQ线之间的夹角α为多少？
图 1.10
4.如图1.11所示，质量为m的立方块固定在弹簧上，两弹簧的劲度系数分别为k 1 和k 2 ，未形变时长度分别为l 1 和l 2 ，固定弹簧的另一端，使立方块可以沿水平面运动。立方块与平面之间的动摩擦因数为μ，弹簧两固定点间距离为L，立方块大小可不计。求立方块能够处于平衡状态的范围。
图 1.11
5.两个质量相等的物体，用绳索通过滑轮加以连接，如图1.12所示。两物体和平面之间的动摩擦因数μ相等，试问要使这两个物体所组成的系统开始运动，角φ的最小值应为多少？（已知A物体所在平面恰好水平）
图 1.12
6.半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长
，绳圈的弹性系数为k（绳圈伸长s时，绳中弹性张力为ks）。将绳圈从球的正上方轻轻放到球上，并用手扶着绳圈使之保持水平并最后停留在某个静力平衡位置上，设此时绳圈长度为
，考虑重力，忽略摩擦，求绳圈的弹性系数k（用M、R、g表示，g为重力加速度）。