4.3 质心运动

4.3.1 质心

由质量分别为m ₁ ，m ₂ ，m ₃ ，…，m _n 的n个物体组成的质点组，这个质点组的质量为质点组中所有物体的质量之和，质量中心称为该质点组的质心。若在二维坐标系中各质点的位置分别为m ₁ （x ₁ ，y ₁ ），m ₂ （x ₂ ，y ₂ ），m ₃ （x ₃ ，y ₃ ），…，m _n （x _n ，y _n ），则质点组质心的位置为

比较常见的是由m ₁ （x ₁ ，y ₁ ）和m ₂ （x ₂ ，y ₂ ）两个物体组成的最简单质心组，其质心坐标为

因此，可得出：质心坐标必位于m ₁ 与m ₂ 的连线上，且质心与各个质点的距离跟质点质量成反比。若m ₁ ≠m ₂ ，则质心靠近质量大的物体的那一边。

4.3.2 质心的速度

相对于选定的参考系，其质心的位置随时间的变化也有一定的速度，称为质心的速度v _C ，记作 。其中，m是质点组的总质量。因此，质点组的动量定理还可写成

表述为：在一段时间内，外力的合冲量等于质心动量的增量。那么当系统所受的合外力为零，即系统的动量守恒时，质心的动量不变，也就是质心的速度保持不变；并且若开始状态的质心动量为零，则质心的位置也保持不变；若系统只是在某一方向不受外力，那么质心在这一方向的运动将保持不变。

4.3.3 质心运动定律

以两质点系统为例，若两质点的质量分别为m ₁ 和m ₂ ，受到来自系统外的作用力分别为F ₁ 和F ₂ ，f ₁₂ 和f ₂₁ 分别为两质点受到的相互作用力如图4.13所示，则根据牛顿第二定律，可得F ₁ +f ₁₂ =m ₁ a ₁ 、F ₂ +f ₂₁ =m ₂ a ₂ 两式相加，并注意到f ₁₂ =-f ₂₁ 即得

设 ，a _C 即为质心加速度；F=F ₁ +F ₂ 为系统所受的合外力，且有m=m ₁ +m ₂ ，故上式表示为F=ma _C ，即作用在质点系上的合外力等于质点总质量与质心加速度的乘积，这就是质心运动定律。对于n个质点组成的系统，质心加速度可表示为a _C = 。

推论：

①如果一个质点组的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。

②如果一个质点组的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心将以原来的速度做匀速直线运动。

③如果一个质点组的质心在某一外力的作用下做某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动，能够也仅能够改变各质点相对质心的运动。

我们在物体系中研究的质点，其实就是一个物体的质心。

各质点的运动可能错综复杂，而质心的运动可能很规律，各质心的运动可看作质心运动与相对质心运动的合运动。

典型例题

例1 如图4.14所示，劈的质量为2m，与水平的倾角 ，放在光滑的水平桌面上。一根轻绳穿过固定在劈顶上的滑轮，绳两端分别系上质量为m和3m的物体。质量为3m的物体可以沿竖直导轨AB滑动，这个物体开始维持不动且离桌面距离H=27cm，然后放开。求质量为3m的物体接触桌面时劈的位移。滑轮和导轨AB的质量不计。

解 当质量为3m的物体放开后，本物体系的水平方向（x轴）不受任何外力作用，所以系统质心的水平坐标保持不变。设任一时刻三个物体质心的水平坐标：质量m物体坐标x _m ，劈的坐标x _{2 m} ，质量为3m物体的坐标x _{3 m} 。于是系统质心的水平坐标将等于

由于x ₀ 值为恒量，可以写成mx _m +2mx _{2 m} +3mx _{3 m} =常数

在质量3m物体下落时间内，三物体坐标都发生变化，并且这些变化之间满足下面关系式

Δx _m +Δx _{2 m} +Δx _{3 m} =0

或者，因为Δx _{2 m} =Δx _{3 m} ，所以Δx _m +5Δx _{2 m} =0。

质量为3m物体下落H引起质量m物体沿斜面也移动H，沿x轴移动Hcosα。但这是相对劈的位移，它的总水平位移为

Δx _m =Hcosα+Δx _{2 m}

再考虑到Δx _m 和Δx _{2 m} 的关系，得到劈的位移

负号意味着：劈向左移动。

例2 一根塑料吸管放在光滑的水平桌面上，吸管与桌面的一边垂直并有一半突出在桌子外。一只蜘蛛在桌内吸管的末端A上开始沿吸管慢慢地爬到另一端点B时，当蜘蛛到达端点B时，吸管并没有倾倒；这时有一滴松香液滴正巧轻轻地滴在蜘蛛身上，吸管仍未倾倒。已知吸管和蜘蛛的质量分别为m ₁ 和m ₂ ，试问松香液滴的最大质量m′是多少？

解 设杆长为L，如图4.15所示，蜘蛛在A端和B端时，吸管和蜘蛛组成的体系及吸管、蜘蛛和松香油滴组成的体系质心位置x _C 不变，蜘蛛在A点时

在该过程中吸管向左移动x ₁ ，蜘蛛在B点时

解得

以桌边缘为转轴，要使吸管不倾倒力矩临界条件应为

解得

若m ₁ <m ₂ ，m′可以为任意值。

例3 如图4.16长为l、质量为M的木块静止在光滑水平面上，质量为m的子弹以水平速度v ₀ 射入木块并且从中射出。已知从子弹射入到射出木块的过程中，木块移动的距离为s，子弹穿过木块所用时间为多长。

解法一 设子弹受到木块的水平阻力大小为f，子弹穿出木块时刻子弹、木块速度分别为v _m 和v _M ，所用时间为t，则对木块和子弹分别用动量定理，得

ft=Mv _M

-ft=mv _m -mv ₀

同时注意到木块和子弹都做匀变速运动，则对木块和子弹分别有

解得

解法二 系统质心速度 ，取子弹将要射入木块时子弹位置为坐标原点，向右为x轴正方向，则初始系统质心坐标为

子弹穿出时系统质心坐标为

故相应的时间

注：对解法一，因题中要求时间，所以想到用动量定理和位移公式，也可根据木块长度是已知量，用热量列式，即 - - ，当然也可分别对子弹和木块用动能定理列式。但无论用何种方法列式，要解出结果都不容易。而对解法 2，明显更为简单且物理过程清晰。同时由解法二易知，即使木块和子弹间的作用力与相对速度有关，也不影响最终结果。

巩固提升

1.如图4.17所示，一块长直光滑平板AB放在平台上，OB伸出台面，在左端的D点放一块质量为m ₁ 的小铁块，它以初速度v向右运动。假设直板相对于桌面不发生滑动，经过时间T ₀ 后直板开始翻倒。现在让直板恢复原状，并在直板上O点放上另一个质量为m ₂ 的小物体，同样让m ₁ 从D点开始以初速度v向右运动，并与m ₂ 发生正碰，那么从m ₁ 开始滑动后经过多少时间直板开始翻倒。

2.如图4.18所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接放在光滑水平面上质量分别为m ₁ 、m ₂ 的木块。让第一个木块紧靠竖直墙壁，在第二个木块的侧面施加水平推力将弹簧压缩L长度。现突然撤去推力后，试求系统质心可获得的最大加速度和最大速度。

3.如图4.19所示，已知形状为等腰直角三角形的匀质板的斜边长 ，使AB铅垂静立于光滑的水平面上。若三角块保持在其所在的铅垂平面内滑倒，试求直角边BC的中点M的运动轨迹。

4.如图4.20所示，质量为m的钢球下连一根可不计质量的轻杆，杆长为L，杆原来立在光滑的水平面上。轻推一下后，问：

（1）小球下落的轨迹是什么；

（2）球在离地0.5L处时杆着地点的速度是多少？

5.如图4.21所示，两个同样的物体用轻弹簧相连，维持下面物体在桌面上高H=1m处。两物体同时放下，并使此时两物体之间的弹簧正好为原长。然后使系统开始下落，求当下面的物体与桌面发生完全非弹性碰撞后（但与桌面不粘连），系统质心上升的高度。已知一个物体重力使弹簧伸长l=0.05m。 WPEY1YKliFhmemgEYmQF50agoD6sCEjwZx6H75TfTYmf8tMs9K5ejy34lL7Fa6mr