4.2 动量守恒定律

4.2.1 碰撞

碰撞是指物体间经过极短时间的相互作用而使各自动量发生明显变化的过程。据碰撞速度方向的不同可分为正碰（碰撞前后速度在同一直线）和斜碰（不在同一直线上）。均可转化为一般模型加以解决（斜碰可用一系列分量式解决）。

1 完全弹性碰撞

碰撞前后无机械能损失，有

式中，m ₁ 、m ₂ 分别为两体质量，v ₁₀ 、v ₂₀ 和v ₁ 、v ₂ 分别为两体碰撞前后的速度。

解得

以上可做拓展讨论：

v ₂₀ =0时

特殊情况时，有v ₁₀ ≠0，m ₁ =m ₂ ，v ₁ =0，v ₂ =v ₁₀

m ₁ ≫m ₂ ，v ₁ ≈v ₁₀ ，v ₂ ≈v ₁₀

m ₁ ≪m ₂ ，v ₁ ≈-v ₁₀ ，v ₂ ≈0

v ₁₀ ≠0，v ₂₀ ≠0，利用上述公式，代入特殊情况：碰后两物体速度交换。

2 非完全弹性碰撞

前后有机械能损失的碰撞。为了完全定量研究该类碰撞，引入恢复系数e，定义e= ，其中（v ₂ -v ₁ ）为碰后分离速度，（v ₁₀ -v ₂₀ ）为碰前接近速度；e只与物体的材料有关。

不难得到：0≤e≤1。

当e=0时，为完全非弹性碰撞；

当0<e<1时，为非完全弹性碰撞；

当e=1时，为完全弹性碰撞。

根据以上定义，又可得到

机械能损失

典型例题

例1 在光滑的水平面上放置一个质量为M、截面是 圆（圆的半径为R）的柱体A。柱面光滑，顶端放一质量为m的小滑块B。初始时刻A、B都处于静止状态，在固定坐标xOy系中的位置如图4.6（a）所示。设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下，试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程。

解 B滑下时，根据水平方向动量守恒，A一定会向左运动。设下滑到某处时，如图4.6（b）所示，B的坐标为（x ₂ ，y ₂ ），A的位置用圆心C的坐标（x ₁ ，0）表示，A、B沿水平方向的速度分别为v _A 及v _B ，则从动量在水平方向守恒可得mv _B +Mv _A =0，此时，C、B的水平方向坐标分别为x ₁ 、x ₂ ，由于两物体的水平速率之比在任何时刻都相同，所以其水平方向的位移之比等于速率之比，从而mx ₁ +Mx ₂ =0。

在A脱离B以前，由图4.6（b）中几何关系可知

消去θ及x ₁ ，得

因此，B的轨迹是半长轴为R（在y方向）、半短轴为 （在x方向）的椭圆的一部分。 例2 一块足够长的木板放在光滑的水平面上，如图4.7所示。在木板上自左向右放有序号为1，2，3，…，n的木块，所有的木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ。开始时，木板静止不动，第1，2，3，…，n号木块的初速度分别为v ₀ ，2v ₀ ，3v ₀ ，…，nv ₀ ，方向均水平向右，木板的质量与所有木块的总质量相同，最终所有木块与木板以共同的速度运动。求：

（1）第n号木块从开始运动到与木板速度刚好相等时的位移；

（2）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度。

解 （1）第n号木块的速度最大。当第n号木块与木板的速度相等时，所有木块与木板的速度均相等，该系统在水平方向上不受外力作用，动量守恒，则有

m（v ₀ +2v ₀ +3v ₀ +…+nv ₀ ）=2nmv

解得

木块在木板上运动时，所受到的滑动摩擦力是不变的，所以其加速度是恒量。木块做匀变速运动，由牛顿第二定律有

μmg=ma

即

a=μg

由匀变速运动的规律，可得

（nv ₀ ） ² -v ² =2as _n

即

（2）当第（n-1）号木块速度最小时是相对于长木板相对静止，而第n号木块与第（n-1）号木块在此以前的过程中受到摩擦力的冲量相同，故它们动量改变量相同。设第n号木块的最小速度为v _{n- 1} ，木块在达到此速度以前为减速运动，后为加速运动，且此速度为其与木板静止时的速度，此时只有第n号木块相对于木板运动，由动量守恒定律得

m（v ₀ +2v ₀ +3v ₀ +…+nv ₀ ）=[（n-1）m+nm]v _{n- 1} +mv _n

在此过程中，第n号木块与第（n-1）号木块在木板上运动的时间相同，所受摩擦力相同，故速度的改变量相同，有

nv ₀ -v _n =（n-1）v ₀ -v _{n- 1}

由以上两式可得

例3 有三个质量均为m的球，可在一无摩擦水平表面自由滑行，球A、B和C联结于一长度为l且不可伸长的无弹性绳两端。当球C以速度v（向右）正中球B时，两球静止于如图4.8所示的位置，已知当球C碰撞到球B时绳子处于松弛状态 ，并假定球B和球C之间为完全弹性碰撞。试求：

（1）在绳子变成拉紧状态后瞬间每个球的速度；

（2）在绳子变成拉紧状态时，系统损失的动能。

解 （1）由于B、C两球质量相等，故碰撞（正碰）前后两者交换速度，即C静止，B以速度v运动。当B运动到绳张紧前瞬间，沿绳方向的分速度为

绳张紧后瞬间，A、B两球沿绳方向速度相等，即

mv ₁ =2mv _′1

得

即A球的速度沿绳方向，由A指向B，大小为 ；

B球的另一速度分量v ₂ 不变，故

方向与AB夹角

（2）系统动能损失

巩固提升

1.长为2l的轻绳，两端各系有一质量为m的小球，中点系有质量为M的小球，三球在一条直线上且静止于光滑水平桌面，绳处于伸直状态，如图4.9所示。现对小球M施以瞬时冲量，使其获得与绳垂直的初速度v ₀ ，求：

（1）两小球m相碰时绳中张力T；

（2）若从小球M开始运动到两小球相碰时的时间为t，求在此期间小球M经过的距离s。

2.三个质量分别为3m、2m、m的小球A、B、C由两根长度相等的细绳相连，如图4.10所示，放置在光滑水平面上。三个小球正好位于正三角形的三个顶点位置，且细绳正好被拉直。现使小球A以速度v ₀ 沿平行于BC的方向运动，求细绳刚拉紧时小球C的速度。

3.如图4.11所示，质量分别为m ₁ 、m ₂ 的两个小球系在长为l的不可伸长的轻绳两端，放置在光滑的水平面上，初始时绳是拉直的。在桌面上另有一质量为m ₃ 的光滑小球，以垂直于绳的速度u与小球m ₁ 对心正碰。若恢复系数为e，求碰后瞬时绳中的张力。

4.如图4.12所示，水平放置的圆环形刚性套槽固定在水平桌面上，槽内嵌着大小相同的刚性小球，它们的质量分别为m ₁ 、m ₂ 、m ₃ ，其中2m ₁ =m ₂ =m ₃ 。小球与槽壁刚好接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计，开始时三球处于槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此之间的距离相等，m ₂ 和m ₃ 静止，m ₁ 以初速度 沿着槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T。