4.1 冲量、动量、动量定理

对于由若干个质点组成的系统，把质点系外的物体对质点系内质点的作用力称为外力，在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力的矢量和在这段时间内的冲量，即 = - ，叫做质点系的动量定理。

质点系的总质量与质心加速度的乘积等于质点系所受的合外力，即∑F _i =ma _C ，叫做质点系的质心运动定理，也就是说，内力不会影响质心的运动状态。

典型例题

例1 如图4.1（a）所示，质量分别为m ₁ 、m ₂ 和m ₃ 的三个质点A、B和C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的、不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接，∠ABC=π-α，α为一锐角。现有对C作用一沿BC方向的冲量I，求质点A开始运动时的速度。

解法一 （质点动量定理，自然分解）

设外力冲量I作用的瞬间内，AB和BC两条绳内出现的张力对其两端质点作用的冲量大小分别为I ₁ 和I ₂ ；设质点A启动速度为v，显然v的方向应沿A指向B；设质点C的启动速度为v′，显然其方向应沿由B指向C。

对质点A

I ₁ =m ₁ v-0

质点B运动的速度沿AB方向的分量也为v；

对质点B，在AB方向

I ₂ cosα-I ₁ =m ₂ v-0

对质点B，其运动速度沿BC方向的分量也为v′；在BC方向

I ₂ -I ₁ cosα=m ₂ v′-0

对质点C

I-I ₂ =m ₃ v′-0

联立解得

解法二 （质点组动量定理）

如图4.1（b）所示，设冲击后A、B、C的速度分别为v _A 、v _B 、v _C 。

对A、B、C，根据质点组的动量定理，得沿BC方向

I=（m ₁ v _A cosα+m ₂ v _B cosθ+m ₃ v _C ）-0

垂直BC方向

0=（-m ₁ v _A sinα+m ₂ v _B sinθ）-0

又沿绳方向速度相等，有

对AB绳

v _A =v _B cos（α+θ）

对BC绳

v _c =v _B cosθ

联立解得

例2 由喷泉喷出的竖直水柱把一个质量为M的垃圾筒倒顶在空中。若水以恒定的速度v ₀ 从面积为S的小孔中喷出射向空中，在冲击垃圾筒底后以原速率竖直溅下，如图4.2所示，求垃圾筒停留的高度h。

解 对垃圾筒而言，有

F=Mg

在水冲击垃圾筒处，水的截面积不再是S，则时间Δt内冲击到筒上水的质量Δm=ρ _水 Sv ₀ Δt，但水速为v ₁ ，则

FΔt=Δm·2v ₁ =Sv ₀ Δt·ρ _水 ·2v ₁

而

解得

当然，上式成立的条件是 ；若 ，则h = 0。

例3 如图4.3（a）所示，三个质量都为m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面内），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）。已知杆AB与BC的夹角为π-α，α<π/2。DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直。现令A、B、C一起以共同速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小。

解 令I表示题述极短时间Δt内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图4.3（b）所示；I′表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；v _{C 1} 表示末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，v _{B 1} 表示Δt末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，v _{B 2} 表示Δt末了时刻B沿垂直于DE方向的大小。由动量定理

对C有

I′sinα=mv _C 1

I-I′cosα=mv

对B有

I′sinα=mv _B 1

对AB有

I′cosα=2m（v-v _{B 2} ）

因为B、C之间的杆不能伸缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等，故有

v _{C 1} sinα=v _{B 2} cosα-v _{B 1} sinα

解得

注：本题也可以根据角动量守恒定律（对C点）列式，同时一对作用力与反作用力的冲量是等大反向。

巩固提升

1.一个人在离墙面水平距离为d处，以仰角向墙投掷一球，如图4.4所示，试问欲使该球自墙回跳后仍回到他手中，则他投球的初速度v ₀ 需要多大？（设垂直墙方向，球碰撞前速率与碰撞后速率之比为2，并设摩擦因数为μ且μ≤tanα。）

2.一帆船在静水中顺风飘行，风速为v，问：船速为多大时，风给船的功率最大？（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直。）

3.从地面上以v ₁ =20m/s的初速度竖直上抛一个质量为m的小球。由于大气阻力作用，球落回地面时的速率v ₂ =15m/s。设空气阻力与小球速率成正比，g取10m/s ² ，试求小球在空中运动所需要的时间。

4.将一空盒放在电子秤上，将秤的示数调到零，然后在高出盒底h=1.8m处将小弹珠以n=100个/s的速率注入盒中。若每个弹珠的质量为m=10g，且落到盒内后停止运动，则开始注入后10s时，秤的读数为多少（g取10m/s ² ）？

5.如图4.5所示一盛水的容器沿倾角为θ的固定斜面向下滑动，从靠近容器底部的细管A的管口向外喷出水，水的速度为v ₀ ，细管的内横截面面积为S。已知水和容器的总质量为M，设容器内水的质量可视为不变，水的密度为ρ，当容器下滑时，水面与斜面平行，试求容器底部与斜面间的动摩擦因数。