3.2 牛顿运动定律的应用

3.2.1 力与曲线运动

圆周运动问题实际上是牛顿第二定律的应用问题。注意不要把向心力看作是额外增加的一种特殊的力，它是物体所受的一个力或几个力的合力或合力沿某个方向的分力。向心力也不是由于物体做圆周运动才产生的，恰恰相反，正是运动着的物体受到了与其速度方向垂直的力（也就是向心力）的作用才做圆周运动。另外，如果物体不是做匀速圆周运动，那么物体在圆周切线方向所受的合力也不为零。也就是说，在变速圆周运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量。

法向分量产生向心加速度，即

切向分量产生切向加速度，即

在一般的曲线运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量，法向分量的大小为 （ρ为该处的曲率半径），切向分量的大小为 。

3.2.2 天体运动

天体的运动遵循开普勒三定律；

天体运动的向心力是靠万有引力提供的。

1 开普勒三定律

第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。即

vrsinθ=常数

式中，r为太阳和行星连线的距离，θ为行星的速度与太阳和行星连线之间的夹角。

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，即

式中，M为太阳质量，G为引力常量。

实际上，在某一中心天体的引力作用下，绕中心天体运动的物体，都遵循以上三定律，只需将太阳变为中心天体即可。

2 万有引力定律

自然界中任何两个物体都存在相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，方向在两个物体的连线上。

表示式为

其中，G为引力常量，大小为6.67×10 ^{-1 1} N·m/kg ² 。公式适用的条件：质点之间或质量均匀分布的球体之间，此时r指两球体的球心距离。假如两物体不能看成质点，要求它们之间的引力，必须把两物体分割成多小块（质点）然后再用上式去计算每一对小块间的吸引力后再矢量合成，但计算结果表明，计算质量均匀分布的球对外质点的万有引力时可以将球壳总质量集中在球心处理，但该球売对壳内任意位置处质点的万有引力都为零。

半径为R、质量分布均匀的球体A对球面或球外质点B（质量为m）的万有引力，等于球体A的质量M全部集中于球心的质点对B的万有引力；当B在球内距离球心的距离r<R时，可在球A取半径为r的同心球面，球外的那部分球壳对B的万有引力为零，内球体对B的万有引力即为半径为r的球体质量集中在球心所形成的球心质点对B的万有引力，如图3.10所示，即

当r≥R时

F=G

当r<R时

F=G

其中， 。

典型例题

例1 一只小而重的球被缚在一条轻而结实的绳的一端，绳的另一端固定在A点，如图3.11所示，给小球沿圆周切线方向的初速度可使小球在竖直平面内做逆时针转动，但如果初始速度较小，它将会在某一位置脱离圆轨道。小球到达P点时，此时0°<α<90°，绳子变松弛。证明：小球继续运动到达最高点所需时间为绳子继续保持松弛时间的1/4。

证明 选A为原点，水平轴为x轴，竖直轴为y轴，v ₀ 为球过P点时的速度，t _h 为球从P点到最大高度的时间，r为圆周半径。小球自绳子变松弛后按抛物线运动，直到在Q点重新回到圆周上，t为从P到Q的时间。

绳子变松弛时，满足

显然

小球做斜抛运动经时间t的位置坐标为

在Q点

x ² +y ² =r ²

利用sin ² α+cos ² α=1，可推得

解得

与α无关。

由此原题得证。

例2 质量为m的两个相同重物，分别固定在轻杆的两端，杆用铰链与轴相连，轴将杆分为左、右长度比为2∶1的两部分，如图3.12（a）所示。维持杆处于水平位置，然后释放，试求此时两个物体的加速度及杆对轴的压力。

解 分别选择加速度方向作为坐标轴正方向。对两个物体的运动，根据牛顿第二定律有

作用在轻杆上的力矩之和为零，即

式中，l是杆长。

在图3.12（b）上画出从开始运动经过小段时间后杆的位置，从图中可见x ₁ =2x ₂ ，由此可知

解①~④方程组，得

因为作用于轻杆上的合力为零，所以轴的支持力（大小等于对轴的压力）

注：虽然两球都会绕轴转动，但由于释放间两球的速度为零，故两球在这一瞬时都还没有向心加速度，这表明杆对两球的作用力只能沿竖直方向。

例3 如图3.13（a）所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的运转周期为T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察行星的最佳时期。

（1）求行星绕太阳转动的角速度ω _行 与地球绕太阳转动的角速度ω _地 的比；

（2）若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？

解 （1）该行星与太阳和地球连线之间的夹角为α，则由正弦定理得

即

显然，当α=90°时，该行星的视角最大，此时行星的轨道半径r=r _地 sinθ。

由 ，得

（2）设A、B表示某时刻行星处于最佳观察期时地球和行星的位置，O为太阳所在位置，且行星和地球都逆时针旋转，则下一次行星处于最佳观察期时一定出现在行星超前于地球时，如图3.13（b）所示，则

所以

若行星最初处于最佳观察期时，其位置超前于地球，则下一次行星处于最佳观察期时一定是行星落后于地球，因而有

（ω _行 -ω _地 ）t=π+2θ

即

例4 一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上。小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计，细杆与A在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环。绳被拉直，如图3.14（a）所示。已知绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为T _d ，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）。

注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度a _n ，可以证明， ，式中v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”。所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看作是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径。如图 3.14（b）中曲线在R点的曲率半径为R _A ，在B点的曲率半径为R _B 。

解 （1）珠子运动的轨迹

建立如图所示的坐标系，原点O在过A点的竖直线与细杆相交处，x轴沿细杆向右，y轴沿OA向下。当珠子运动到N点处且绳子未断时，小环在B处，BN垂直于x轴，所以珠子的坐标为

x=PN，y=BN

由△APN知

（AP） ² +（PN） ² =（AN） ²

即

（h-y） ² +x ² =（l-y） ²

得

这是一个以y轴为对称轴，顶点位于 处，焦点与顶点的距离为 的抛物线，如图3.14（c）所示，图中的 ，A为焦点。

（2）珠子在N点的运动方程

因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看作是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力mg；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿NB和NA方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示。则它们的合力的大小为

式中，α为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿∠ANB的角平分线方向。

因为AN是焦点至N的连线，BN平行于y轴，根据解析几何所述的抛物线性质可以知道，N点的法线是∠ANB的角平分线，故合力F的方向与N点的法线一致。

由以上的论证，再根据牛顿定律和题中的注，珠子在N点的运动方程（沿法线方向）应为

式中，R为N点处轨道曲线的曲率半径；v为珠子在N处时速度的大小。

根据机械能守恒定律可得

（3）求曲率半径R

当绳子断裂时T=T _d ，由④式可见，如果能另想其他办法求得曲率半径R与y的关系，则就可能由④、⑤两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y。现提出如下一种办法：做一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如图3.14（d）所示。由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹。平抛运动的轨迹是抛物线，求出与N对称的N′处抛物线的曲率半径R与y的关系，也就是N处抛物线的曲率半径R与y的关系。

设从抛出至落地的时间为t，则有

由此计算得出

设物体在N′处的速度为v′，由机械能守恒定律可得

物体在N′处法线方向的运动方程为

式中，R为N′处抛物线的曲率半径。

从⑦⑧⑨式及 ，可求得

这也等于N点抛物线的曲率半径，BN=BN′=y，故得

（4）求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小

把⑤式和⑩式代入④式，可求得绳子的张力为

当T=T _d 时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为（x _d ，y _d ），由式得

代入①式，得

绳子断开时珠子速度的大小为

因此，细绳被拉断时珠子的位置坐标为 ，速度的大小 。

巩固提升

1.一个质量为m=1kg的物体，用绳子a和b系在一根直杆的A、B两点，如图3.15所示。已知AB段绳长为1.6m，a、b段绳长1m，重力加速度取g=10m/s ² 。问：（1）直杆旋转的角速度ω多大时，b绳上开始有张力？（2）当杆转速等于这个最低转速的2倍时，求此时a、b绳上的张力。（要求利用惯性力求解）

2.某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星。试问：春分当天（太阳直射赤道）在日落后12h内有多长时间观察者看不到此卫星？（已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。）

3.俄罗斯科学家根据同步卫星在地球同步轨道上的飞行原理首先提出了“太空电梯”的构想，以方便向太空实验室运送人员或补充物资。英国科幻作家阿瑟·克拉克在他1979年出版的小说《天堂的喷泉》中使这一构想广为人知。太空电梯的主体是个永久连接站（同步卫星）和地球基站的缆绳，通过太阳能驱动的“爬行器”沿着缆绳可爬上太空。试分析说明：（1）该太空站（同步卫星）与通常意义上的同步卫星相比，离地面的高度哪个更大？（2）按照“太空电梯”的构想，“太空电梯”的地面基站是否设在中国境内？

4.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心O为焦点的椭圆轨道运动。椭圆与地球表面在B点相切，如图3.16所示。求飞船由A点到B点所需的时间。（已知地球半径为R ₀ ，地球表面的重力加速度为g。）

5.将一天的时间记为T _E ，地面上的重力加速度记为g，地球半径记为R _E 。（1）试求地球同步卫星P的轨道半径R _P ；（2）一卫星Q位于赤道上空，赤道一城市A的人三天看到Q四次掠过上空，求Q的轨道半径。假设卫星运动方向与地球自转方向相同。

6.质量分别为m ₁ 和m ₂ 的两个小球，分别系于一根细绳中的一点和一端，细绳的另一端悬挂于固定处，如图3.17所示。已知上、下两段绳的长度分为a和b开始时，两球静止，细绳处于竖直位置，现给小球m ₁ 一打击，使它突然在水平方向获得一速度。试求小球m ₂ 获得速度前后瞬时，上、下两段绳子张力改变量的比值。设小球m ₁ 获得速度后瞬时，绳仍处在竖直位置。

（以下两题要用到能量和动量的知识）

7.如图3.18所示，用细杆把质量为M的圆环固定起来，其顶部套有两个质量均为m的小环，它们之间无摩擦。现给两小环一个微小扰动，令两小环分别从左、右两边下滑（不计初速度）。试讨论：m和M满足何关系时，大环有上升或下降的趋势。

8.如图3.19所示，卫星携带一探测器在半径为3R（R为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR（n略小于3），求卫星与探测器的质量比。