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2.1 运动学初步
要正确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另外一个假定为不动的物体做参照才有意义。这个选来做参照的物体，就叫作参照物。为了定量地描述物体的运动，还需要在参照物上建立坐标系，这样参照物就成了参考系。
参考系通常选用两两相互垂直的直角坐标系O-xyz。在直角坐标系里，用x、y、z三个坐标表示质点的位置。当质点运动时，它的坐标随时间而变，可表示为时间的函数：x=x（t），y=y（t），z=z（t），此即质点的运动方程在质点运动过程中，其空间位置所构成的曲线，称为轨迹。
质点的位置也可以用一位矢r表示。r是从坐标原点O指向质点空间位置P的有向线段O→P，r的长度为质点到原点之间的距离。在直角坐标系中，设i、j、k分别为沿x、y、z方向的单位矢量，则r可表示为
r（t）=x（t）i+y（t）j+z（t）k
在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点P（x，y，z）所引的有向线段，故有r=
，方向为自原点O指向质点P。
图 2.1
虽然直角坐标系是最常用的坐标系，但对有些运动，如质点在有心力作用下的运动等，用平面极坐标（简称极坐标）表示会很方便。在极坐标系里，用r、θ两个坐标来表示质点的位置。r是质点到极点的距离，而θ则是质点与极点连线同预先规定的极轴的夹角（图2.1）。这里r是坐标，不是位矢的大小，但当位矢的原点取在极坐标的极点上时，两者数值相同。在直角坐标系里，“x=常量”与“y=常量”的点的轨迹分别是一些与y轴、x轴平行的直线；在极坐标系里，“r=常量”与“θ=常量”的点的轨迹分别是一些同心圆和辐射线。
位移指质点运动过程中，在一段时间Δt内位置的变化，即位矢的变化量Δs=r（t+Δt）-r（t），它的方向为自始位置指向末位置。在直角坐标系中计算位移时，通常先求得x轴、y轴、z轴三个方向上位移的三个分量，再按矢量合成法则求合位移。
路程指质点在Δt时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量。只有在单方向的直线运动中，路程才等于位移的大小。
速度是质点在某一时刻或通过某一位置时的速度，它定义为Δt→0时平均速度的极限，即
。
速度是矢量，它的方向就是平均速度极限的方向，也就是质点运动的方向。
加速度是描述运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即
。
这样求得的加速度实际上是物体运动的平均加速度。根据平均速度和瞬时速度的相关知识可知，瞬时加速度为
。
加速度也是矢量，其方向就是当Δt→0时速度变化量的极限方向。
既有大小又有方向的量统称为矢量，如位移、速度、加速度等。矢量合成按平行四边形定则或三角形法则。只有大小、没有方向的量称为标量，如质量、功、能量等。标量运算可以直接代数加减。
若求多个矢量的和，一般先求任意两个矢量的和，再与第三个矢量相加，以此类推。同一直线上的矢量运算可以简化为代数运算，不在同一直线上的矢量运算一般通过正交分解求得。
设 A 和 B 是两个任意矢量，它们的标积（常用 A·B 表示，故称为点乘） A·B =C=ABcosθ，式中θ为 A、B 两个矢量间的夹角，C为矢量的点积，它是一个标量。在物理学中标积最经典的例子是功。它同时服从以下规律：
A·B=B·A （交换律）
A·（B+C）=A·B+A·C （分配律）
设 A 和 B 是两个任意矢量，它们的矢积（常用 A×B 表示，故称为叉乘） A×B=C =ABsinθ，式中θ为 A、B 两个矢量间的夹角。 C 为矢量的叉积，仍是矢量。叉积的方向：垂直 A 和 B 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图2.2所示。在物理学中矢积最经典的例子有角动量、力矩等。它服从以下规律
图 2.2
A×B=-B×A （交换律）
A×（B+C）=A×B+A×C （分配律）
运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则。我们一般把质点对地面或地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考系的运动称为相对运动，而运动参考系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，有
v 绝对 =v 相对 +v 牵连
位移、加速度之间也存在类似上述的关系。但应注意具体运算是按平行四边形定则或三角形法则进行的。只有在一条直线上，矢量式才可化为代数式。
另外，在处理复杂运动时，常把它分解为两个或几个简单的分运动来研究。任何一个方向上的分运动，都按其本身的规律进行，不会因为其他方向的分运动是否存在而受到影响，这叫做运动的独立性原理，如平抛运动就可看作是互不影响的水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。
所谓的物系相关速度是指不同物体之间或同一物体不同部分之间的速度有一定的联系，找到这类联系，常是求解连接体问题的关键。一般会遇到以下两类问题：
（1）求由杆或绳约束物系的各点速度
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻， 沿杆、绳方向的分速度必须相同 。因此，解题时可以先确定所研究各点的实际速度，再将该速度沿杆、绳方向和垂直杆、绳方向进行分解。
（2）求接触物系接触点的速度
有刚体的力学性质及“接触”的约束性可知， 沿接触面法线方向，接触面双方必须具有相同的法向分速度 ，否则将分离或形变，违反刚体和接触的性质。至于沿接触面的切向解除双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动；若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度。因此，接触物系的接触点上，速度的相关特征是： 沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时也相同 。
在学习动量时，会遇到一种接触物系的速度问题：
例题 如图2.3所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成。AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道A端以动能E k 冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L。问：为了保证小物块恰好不从轨道的D端离开轨道，则圆弧轨道的半径R至少为多大？
图 2.3
分析 小物块和轨道在D点接触时，轨道在此位置的法线在水平方向上，因此小物块和轨道的速度都必须在水平方向，二者保持相对静止。
（3）线状交叉物系交叉点的速度
线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方切线运动分速度的矢量和。
在运动学的问题中，参考系的选取对解答问题十分重要。灵活的选取和变换参考系，能够将有些复杂的物理问题进行简化，从而进行解答。
下面举两个例子进行说明：
例题1 一小船在河中逆水划行，经过某桥下时，一草帽落于水中顺流而下，半小时后船夫发觉，并立即掉头追赶，结果在桥下游8km处追上草帽，求水流速度的大小及船夫追赶帽子的时间。设船掉头时间不计，划船速率及水流速率恒定。
分析 按照常规的思路，以地面为参照物，则题中的运动过程十分复杂，不易求解。
如果以流水作为参考系，那么题中的运动过程可被描述为：草帽落水后已知保持“静止”；小船最初在“静水中”划向上游，发现草帽不见后，仍以在“静水”中的速度v划向下游。这样，在流水的参考系中，草帽始终“不动”，船始终是以静水中的速度进行往返运动，总时间为1h。以水流为参考系，小桥在1h内以水流速度v向上游运动了v·1；变换到地面参考系，水流相对于小桥，以水流速度v向下游运动了v·1，则v·1=8km，即水流速度为8km/h。
图 2.4
例题2 如图2.4所示，质量为m的物体静止在桌面上，上接一根劲度系数为k的轻质弹簧。现施加一力在弹簧上端，使其以速度v匀速上升，求物块速度的最大值。
分析 以地面为参考系，物体的运动情形不易分析。
如果选取弹簧顶端为参考系来观察物体的运动：物体所受弹力和重力刚好平衡，速度v的方向竖直向下。可见在该参考系中，物体的运动刚好是经过平衡位置时的简谐振动。根据简谐振动的运动对称性，当弹簧从最低点再次经过平衡位置时，速度v的方向竖直向上。将坐标系转移到地面，则此时物体相对于地面的最大速度为2v，方向竖直向上。
例1 如图2.5（a）所示，A船从港口P出发去拦截正以速度v 0 沿直线匀速航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船起航时，B船与P的距离为b（b>a），若忽略A船启动时间，认为它一起航就匀速运动，求A船能拦截到B船所需的最小速率。
图 2.5
解法一
设A船经过一段时间t在B船航线上C处截住B船，C的位置由于A船的航向不同而不同，若欲求A船的最小速率v
min
，就要设法求出v
A
与图2.5（b）中β的关系，根据正弦定理，在△BPC中有关系
=
，又v
A
=
，所以v
A
=v
B
，式中sinα=
，且sinβ≤1，故v
A
≥v
0
·
，所以v
min
=v
0
·
。
解法二
若巧取B船为参考系，则只要A相对B的速度v的方向沿PB指向B船，如图2.5（c）所示，根据相对速度的关系，v
A
岸
=v
AB
+v
B
岸
，即v
A
=v+v
0
，它们组成的矢量三角形中，要令v
A
最小，则应有v
A
⊥v，所以v
A
=v
0
sinα=v
0
·
，这就是A船的最小速率。即v
min
=
。
例2 如图2.6（a）所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速率v匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度和加速度。
图 2.6
解 取半圆柱体为参照系。在此参照系中，P点做圆周运动，即v 杆对柱 的方向沿圆上P点的切线方向。根据题意，v 杆对地 的方向是竖直向上的。因为
v 杆对地 =v 杆对柱 +v 柱对地
做出如图 2.6（b）所示的矢量三角形，由此可知
v 杆对地 =v 柱对地 ·tanθ=vtanθ
在半圆柱体参照系中
a 杆对地 =a 杆对柱 +a 柱对地
因为a 柱对地 =0，所以a 杆 =a 杆对柱 。a 杆对柱 由切向加速度a τ 和法向加速度a n 构成，如图2.6（c）所示
v
杆对柱
=
a
n
=
a
杆
=
联立解得
a
杆
=
例3 如图2.7（a）所示，在距离竖直墙壁为d的位置O安放有一点光源。某一时刻，从O处将一小球倾斜抛出，初速度v与水平方向的夹角为θ。如果小球运动轨迹所在的平面同墙壁也相互垂直。问：在未到达竖直墙壁前，小球在墙壁上的投影做何运动？
图 2.7
解 可以将抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
如图2.7（b）所示，小球在与水平方向的夹角成θ的方向进行匀速直线运动，因为该方向不受力，分位移的表达式为S
v
=vt；另一个分运动是竖直向下的自由落体运动，分位移的表达式为
；小球的实际位移为S。
小球最初的投影在B点，如果小球在某时刻运动至位置C，则小球在竖直墙壁上的投影由B点移动至D点。若初速度v的延长线交于竖直墙壁的B点，设B、D两点的间距为y，由于△OAC~△OBD，可得OA∶OB=AC∶BD。
代入相关数据可得
则
所以，小球的投影做匀速直线运动。
y=
t
1.木块放在光滑水平面上，子弹以速度v 0 射入木块并穿出，木块获得的速度为v 1 ；若用另一颗质量相同但速度更大的子弹射入相同的木块，木块仍能被击穿，且子弹穿出后木块获得的速度为v 2 ，则（）。
A.v 1 >v 2
B.v 1 =v 2
C.v 1 <v 2
D.条件不足，无法确定
2.蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁穴中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距离中心L 1 =1m的A点处时，速度是v 1 =2m/s。试问：蚂蚁从A点爬到距离中心L 2 = 2m的B点所需的时间是多少？
图 2.8
3.已知一质点做变加速直线运动，初速度为v 0 ，其加速度随位移线性减小的关系即加速过程中加速度与位移之间的关系满足a=a 0 -ks，式中a为任一位置处的加速度，s为位移，a 0 、k为常量，求当位移为s 0 时质点的瞬时速度。
4.如图2.8所示，距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速n=1r/min转动，当光束与岸边成60°时，光束沿岸边移动的速率是多少？
5.如图2.9所示，某同学设计了一个测定平抛运动初速度的实验装置，O点是小球抛出点，在O点有一个频闪的点光源，闪光频率为30Hz，在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，在小球抛出后的运动过程中当光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法，拍摄小球在毛玻璃上的投影照片。已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1.2m，连个相邻的小球投影点之间的距离为Δh=5cm，则小球在毛玻璃上的投影点做_________运动，小球平抛运动的初速度为多少？
图 2.9
图 2.10
6.如图2.10所示，物体A、B、C质量均为m，试求图示时刻绕过定滑轮的绳子所悬物体A、B的瞬时速度v A 、v B 与物体C的瞬时速度v C 之间的关系。
7.如图2.11所示，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动。在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触，法线n与OA之间的夹角为α，试求此时顶杆AB的速度。
图 2.11
8.如图2.12所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C的速度。
图 2.12
9.如图2.13所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点A 3 以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点B 2 的速度v B 2 。
图 2.13
10.如图2.14所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度，设此时OM与竖直方向的夹角为φ。
图 2.14