一元二次方程x ² +bx+c=0在古巴比伦人那里就得到了系统研究。早期巴比伦代数有一个基本问题是，求一个数，其与倒数之和为一个已知数。用现代记号来表示，就是求x，满足x+1/b=x；由此得到一元二次方程x ² -bx+1=0。他们的求解方法是先求出(b/2) ² ，然后计算 ，最终给出解的形式为 和 ，这可看作是一元二次方程的通解。由于巴比伦人还不会使用负数，因此二次方程的负根是略而不提的。等价的几何问题是，一块长方形的地，已知边长之差以及面积，求边长。用现代记号来表示，就是一元二次方程(x -b)x=c。比如此前提到的巴比伦泥板上的方程x ² -x=870，巴比伦人给出了详细的解法以及结果x ₁ =30和x ₂ =-29，但巴比伦人只关切根x ₁ =30。在负数未被引进的年代，或者变量x明确是类似长度这样的物理量时，x为负数的解是不合理的，其被舍弃是非常合理的。或许在他们当时考虑的问题中，x就是某个城池或者某块田地的边长。

方程x ² +bx+c=0的通解容易通过配平方得到：

这个表达式出现在公元一世纪的古希腊。

但我们确实还经常会遇到b2-4c<0的情形，如何看待 就成了问题。因为没有一个数的平方是负的，这时候人们就宣称此时方程x ² +bx+c=0无解。就x是实数的情形而言，这个做法是合情合理的。今天我们知道，若b ² -4c<0，(2.4)式里的根为复数，我们说此时方程x ² +bx+c=0有共轭的一对复数根。但是，坚持负数开根号有意义，或者说理解了引入 的必要性，那是在研究一元三次方程时才遇到的问题。一般介绍代数方程的文献会让我们依据单位虚数i的定义， 或者i ² =-1，想当然地以为它是在解一元二次方程时引入的。这是误解。最重要的是，等学到了薛定谔（Erwin Schrödinger,1887―1961）1922年为挽救“引力与电”这篇规范理论论文所作的努力时，会知道 的写法是不合适的。 ，不可取舍（见第10章）。

量Δ=b ² -4c被称为discriminant，汉译“判别式”。Δ 可以用来区分方程有不同根的情形。若Δ>0，方程有两个不同的实数根；Δ=0，方程有两重的实数根；Δ<0，方程无实数根，或者按照后来的理解，有两个共轭的复数根。谈论ax ² +bx+c=0这样的系数为整数的情形时，Δ=b ² -4ac。每当看到b ² -4ac，笔者都会想起自己的少年时光。 ncZxKEB8Kdc5+A9oqkmH3XmfGhmV48Lc09l4vMITpfe6mzAc1XvhBJO82+t27b4m