印象中，笔者上初二的时候开始学习解形如

的代数方程。这样的方程来源于实际生活，比如土地买卖，因此在如中国、巴比伦、阿拉伯等古文明的文献中都有记载。刘徽注《九章算术》有句云：“群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数者程之，并列为行，是为方程。”这可看作是汉语“方程”一词的来源。当然，我们知道这句里的方程对应今天的线性方程组。在西语中，德语的die Gleichung，英文的equation，希腊语的εξíσωση，字面上都是“等（式）”的意思，与不等式是近亲。如同在古代中国，古代西方（西亚、希腊）的方程问题也是用文字描述的，以后才逐步有了用字母表示已知数和未知数的做法。举例来说，在出土的公元前1600年的一块巴比伦泥板上，据说有“数之平方比其自身多870”这样的题，写成当代数学的形式，就是x ² -x=870。在古希腊丢番图的《算术》（Diophantus’ Arithmetica,ca. 250 A. D.）一书里，有一个字母表达式为 ，可按如下方式翻译 ，写成现在的形式即为x ³ -2x ² +10x-1=5。欧几里得《几何原本》之题II.11的表述为“一条直线截为两截，由该直线同其中一截构成的长方形的面积等于另一截构成的正方形的面积”，用现代代数语言，就是求解方程a(a -x)=x ² 。代数，algebra，这个词是公元9世纪造的，出现在花剌子模（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi,约780―850）于公元830年所著的一本算数书Hisab aljabr wal-muqabalah中。在阿拉伯语中，al+jabr，字面意思是恢复平衡、接骨的意思，就是移项后恢复平衡；wal-muqabalah，指的是“合并项”。这本书名及其指代的内容，在西方就慢慢简化成了algebra一词，汉译“代数”。

自然科学来自自然。代数方程一定起源于我们日常之所见的自然存在和由此生发的现实问题。x ² =x·x，我们称之为平方（square; quadrat; ），x ³ =x·x·x，我们称之为立方（cube; kubus; ），这在不同语言里都是一样的。平方和立方都是来自自然的几何概念，对应平面中的正方形和三维空间中的立方体（图2.1)。很自然的，代数方程研究一开始针对的是一元二次方程和一元三次方程。二次方程，英文为quadratic equation，三次方程，英文为cubic equation。不过，英文平方的，quadratic，一词字面来自数词4（正方形是四角形），注意不要和四次方程（quartic equation）弄混了。顺带提一句，所谓的squaring the circle，不是什么化圆为方，而是为圆找到一个等面积的正方形，就是找寻圆的面积公式。对于任何一个平面图形，能依据它作出一个正方形就能得到它的面积。面积，量纲是长度平方（square），你细品品。

代数方程很古老，代数方程自然重要，那里面充满智慧。关于代数方程，值得注意的是随着对方程认识的深入所带来的数域扩展、数系扩展。早期的代数方程，比如ax ² +bx+c=0，其中的系数a,b,c,是（正）整数，看起来方程是由三个系数定义的。如果有有理数的概念，ax ² +bx+c=0可改写为

其中的系数b c,是有理数，这时候方程看起来是由两个系数定义的了。巴比伦时期的数学，0，负数，以及有理数/无理数的概念都还没有出现。数域的扩展，是代数方程研究首先带来的一大重要数学进展，其同后来的数系扩展是代数方程研究之价值所在，读者请特别关注。记住，代数方程里面只有乘法，x ⁿ =x· x· … ·x及不同次幂项之间的相加关系。不要被x ² -4=0这样的方程形式给蒙蔽了，以为里面有减法，它是方程x ² +a=0关于a=-4的实例，那不是减号，是负数。

代数学是数学的重要分支，但是在18世纪末、19世纪初之前代数就是关于多项式方程的学问。在20世纪，代数变成了公理化体系的研究，同数论、几何和分析并列为数学的四大分支。为我们构造代数学的著名数学家包括高斯（Carl Friedrich Gauss,1777―1855），伽罗华（évariste Galois,1811―1832），哈密顿（Sir William Rowan Hamilton,1805―1865），凯莱（Arthur Cayley,1821―1895），戴德金（Richard Dedekind,1831―1916），诺特（Emmy Noether，1882―1935）等人，其中艾米·诺特女士被称为近世代数之“父”，希望阅读过本书以后大家能对他们熟悉起来。他们是人类心智的启蒙者。

在正式开始学习解代数方程之前，让我们先严肃地再看看解代数方程到底是个什么问题。看看代数方程 ，这是一组性质已知的系数(a ₀ ,a ₁ ,…,a _n )（其中a ₀ =1)，一般认定为有理数或者实数，同一个性质待定的未知数x的不同次幂（乘法）通过乘法和加法（未来会有内积的概念来表示这种分量分别相乘而后相加的运算）得到0的问题。所谓代数方程的一般代数解，就是用系数通过加法、乘法和开方（对幂的逆运算）把未知数x表示出来。显然，解代数方程问题的内核在于理解“加法”和“乘法”。而什么是加法和乘法呢？借着学习代数方程的机会，不妨深入了解一些加法和乘法的基本内容。

首先，不要误解为代数方程里有加减乘除。这里遇到的减法，可能是对加上负数的误解。比如关于等式2-5=-3，试比较“2减5等于负3”的说法同“2加负5等于负3”的说法，其意义是不一样的。前一种说法涉及加法与减法（运算、操作）以及正数与负数，方程左边只有正数，而右边冒出了个负数的概念；后一种说法涉及加法和正、负数，方程两边都有负数的概念，比较一致。加法是自然的操作，而减法是加法的逆操作，两者大有不同。加法遵循结合律，(1+2)+3=1+(2+3)，减法就不行，(1-2)-3 ≠1−(2 -3)。物理上，什么是减法，也是大有讲究的，例如原子发光的电子跃迁过程就对应能量的减法。至于乘除，乘法是自然的操作，可以单独构成代数（即大学时要学的群论），而除法是作为乘法的逆运算出现的。除法，从数学和物理的角度来看，都是罕有的、不易处理的运算（操作）。关于这里的微妙差别，本书会时常提及。 CGUlZ4sJ1xlcuABSTc/wxQAkwLPa9OuATn+cEa/dZX48DlWgO6GJZet9Ar6cCnWo