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正态随机变量是一类重要的随机变量，1.3节给出了正态随机变量的定义，本节介绍多维正态随机变量的理论。
设有两个随机变量 X 1 、 X 2 ，如果它们的联合概率密度为
其中
、
、
、
、
r
为常数，则称
X
1
、
X
2
是联合正态的。可见二维联合概率密度由参数
、
、
、
、
r
确定，二维概率密度图形如图1.11所示。
图1.11 二维正态概率密度
可以证明，如果 X 1 、 X 2 是联合正态的，则 X 1 、 X 2 的边缘分布也是正态的，且
如果 r =0，即 X 1 和 X 2 是不相关的，那么
所以 X 1 和 X 2 是相互独立的。
二维正态随机变量的特征函数为
由式（1.4.13）可得
所以条件均值为
条件方差为
如果
r
=0，则
。
运用矩阵表示形式，不仅可以使二维联合概率密度的表示形式变得简洁，而且可以很容易地推广到多维的情况。式（1.8.1）的二维联合正态概率密度可表示为
其中
x
=[
x
1
x
2
]
T
，
，
C
为随机变量
X
1
和
X
2
的协方差矩阵，可表示为
det（·）表示行列式，且
为协方差矩阵的行列式。二维特征函数为
式中， μ =[ μ 1 μ 2 ] T 。
有了二维正态联合概率密度的表达式，可以很容易地推广到多维正态随机变量的情况。设有 n 个随机变量 X 1 ， X 2 ，…， X n ，如果 n 维联合概率密度为
式中
C 为 n 个随机变量的协方差矩阵， c ij =Cov（ X i ， X j ）（ i ， j =1，2，…， n ）为 X i 与 X j 的协方差，则称 X 1 ， X 2 ，…， X n 是联合正态随机变量。
X 1 ， X 2 ，…， X n 的 n 维联合特征函数为
式中 μ =[ μ 1 ， μ 2 ，…， μ n ] T 。如果 X 1 ， X 2 ，…， X n 彼此不相关，那么 c ij =0（ i ≠ j ），即
这时
可见 X 1 ， X 2 ，…， X n 是相互独立的，也就是说，对于正态随机变量，不相关与独立等价。
设有一 n 维正态随机矢量 X =[ X 1 ， X 2 ，…， X n ] T ，定义如下变换：
其中
随机矢量 Y 的概率密度为
式中， x =[ x ， x 2 ，…， x n ] T ， y =[ y ， y 2 ，…， y n ] T ， J 为雅可比行列式：
所以
可见，经过式（1.8.16）的变换后， Y 仍服从正态分布，其均值为 Lm ，协方差阵为 LCL T 。