4.3 二体问题卫星星历的计算

根据卫星的轨道根数求解对应时刻 t 的卫星位置（三维坐标）和速度，称为卫星星历的计算。

4.3.1 三种近点角的关系

由式（4.40）和轨道方程式（4.41），即

r cos f = a （cos E - e ）

r = a （1- e cos E ）

可得

图4.6中，不妨设椭圆方程为 ，现作线性变换，令

x = x′

则椭圆方程变为圆方程，有

x′ ² + y′ ² = a ²

这也是图4.6所示的辅助圆的方程。

由图4.6所示可知，在Δ O′S′H 中， 、 S′H = a sin E ，则得

b sin E = r sin f

由式（4.27）知 p = a （1- e ² ），由椭圆偏心率 e 的定义知 ，则

即

又由三角公式知

即 ，从而可以得到

这就是偏近点角 E 与真近点角 f 的关系式。而偏近点角 E 与平近点角 M 的关系就是开普勒方程，有

E - e sin E = M

在卫星星历计算中，首先是根据轨道根数计算 M = n （ t - τ ）；然后，解开普勒方程，求对应 t 时刻的偏近点角 E ；再由式（4.50）求相应的真近点角 f 。采用半角公式（4.50），是为了便于判断角度所在象限，计算简单、方便。

4.3.2 三种近点角和向径的导数关系

平近点角 M 、偏近点角 E 、真近点角 f 和向径 r 都是时间 t 的函数，它们的导数公式在卫星速度和轨道计算中都要用到。

由 M = n （ t - τ ）得

由 E - e sin E = M 得

注意到式（4.48），则

又由式（4.26）、式（4.27），可得

由式（4.41）知 r = a （1- e cos E ），则

对式（4.49）两边求导可得

将式（4.48）代入上式

注意到 f ，则

将 、 p = a （1- e ² ）代入上式，可推得

由 可求得

将式（4.54）代入可得

另外可推导得到

需要指出，上述公式仅适用于二体问题。

4.3.3 开普勒方程的解

开普勒方程有

E - e sin E = M

这是一个超越方程。由已知 E 求 M 很容易，可是，由已知 M 求 E 却不易得到。但当卫星椭圆轨道的偏心率 e 较小时，可以采用迭代法求解，通常采用微分迭代法，收敛速度较快。

由开普勒方程可得

d E - e （cos E ）d E =d M

即

迭代方法是，首先赋初值

E ₀ = M

按迭代公式

进行迭代计算，直至满足条件为止，即满足

| E _{i +1} - E _i |≤ ε

平近点角 M 的计算。已知轨道根数和时刻 t ，首先求出平均角速度 n

然后计算时刻 t 的平近点角 M

M = n （ t - τ ）

4.3.4 卫星位置和速度的计算公式

4.3.4.1 卫星位置的计算公式

如图4.8a所示， O — XYZ 为赤道直角坐标系，卫星沿椭圆轨道运行，在时刻 t 的位置矢量为 r 。现设近地点方向的单位矢量为 P ，而在轨道平面内按卫星运动方向与 P 垂直的方向的单位矢量为 Q 。同时，为清晰表达且易于观察，将轨道平面上 P 、 Q 与 r 的关系用图4.8b表示。

由于卫星位置矢量 r 在轨道平面上，所以由图4.8b所示可得

由式（4.40）、式（4.41）和式（4.49）等

则式（4.60）可写成

如设卫星位置矢量 r 和单位矢量 P 、 Q 在赤道直角坐标系中的坐标分量分别为（ X ， Y ， Z ）、（ P _X ， P _Y ， P _Z ）和（ Q _X ， Q _Y ， Q _Z ），则

由此可知，只要能求得 P 、 Q 的坐标分量，即可根据式（4.61）计算出卫星的坐标。单位矢量在坐标轴上的分量等于该单位矢量与坐标轴的方向余弦，因此，由图4.8a所示的球面三角形 PNX 可得

P _X =cos（ P ， X ）=cos ω cos Ω -sin ω sin Ω cos i

同理，由图4.8a所示的球面三角形 PNY 、 PNK 可得

P _Y =cos（ P ， Y ）=cos ω sin Ω +sin ω cos Ω cos i

P _Z =cos（ P ， Z ）=sin ω sin i

即

参考图4.8b所示， P 、 Q 相互垂直，即把式（4.63）中 ω 用 代替，可得

根据已知的轨道根数，按式（4.63）和式（4.64）计算出坐标分量（ P _X ， P _Y ， P _Z ）和（ Q _X ， Q _Y ， Q _Z ），然后根据开普勒方程求出偏近点角，再按式（4.62）就可以计算出卫星的坐标（ X ， Y ， Z ）。

4.3.4.2 卫星速度的计算

由于式（4.61）中 a 、 e 和 P 、 Q 均与时间无关，因此，由式（4.61）可得到

将式（4.52） 代入上式并注意到 ，则

即

这就是计算卫星速度矢量 的基本公式，其计算的方法与计算 r 基本相同。

当求出 的三个分量 后，就可以运动速度 v 。

4.3.4.3 小偏心率轨道的卫星位置和速度计算

对于小偏心率近圆轨道，由于近地点不容易准确确定，而采用 a 、 i 、 Ω 、 ξ 、 η 、 λ 六个根数，其中 ξ = e cos ω 、 η =- e sin ω 、 λ = M + ω 。

此式，卫星星历的计算，选择升交点方向的单位矢量为 P ^∗ ，与它垂直的方向（ ω + f =90°）为 Q ^∗ ，其计算方法与前述基本相同。

首先，解如下普勒方程式（4.46）：

求得 ；

然后，求 P ^∗ 、 Q ^∗ 的坐标分量，事实上，式（4.63）、式（4.64）中 ω =0即可求得这两个坐标分量：

最后，按下式求卫星位置矢量和速度矢量： pB6qyRgXkbZQSHF2WqrMXWHsZxw+SkImkj5mqXh+MI/8FLK1WU64gTaDfKqgI16X