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卫星在地球质心引力作用下绕地球质心作周期运动。地球质心引力 F 0 为有心力，其力心在地心，方向与卫星位置矢量 r 方向相反。因此，根据有心力对力心之矩为零的特性，即由式（4.1）可得
即
注意到
，括号内部分为常矢量，则有
式中，
为卫星速度矢量；
h
为积分常矢量，它的方向为
r
和
组成的平面的法线方向。
式（4.8）称为面积积分，又称为动量矩积分。由积分式可知，卫星运动平面
的法线矢量
h
是个常矢量，因此，卫星运动的平面在空间上是一个固定平面，并通过地心
O
，如图4.1所示的平面
OSN
。
如设 h 的三个坐标分量为（ A ， B ， C ），即
则由矢量叉积公式可将式（4.8）写成如下分量形式：
将式（4.10）中的三个等式分别乘以 X 、 Y 、 Z 并取和，则得
至此，已经把三元二阶微分方程化解为三元一阶微分方程（4.10）式，其中 A 、 B 、 C 为三个积分常数。式（4.11）是卫星运动的轨道平面方程，是一个通过坐标原点地心的平面。其法线矢量为常矢量 h ，积分常数 A 、 B 、 C 是 h 的三个坐标分量，有
（1）积分常数 A 、 B 、 C 与轨道平面参数的关系
如图4.1所示， OSN 为卫星轨道平面， i 为轨道平面与地球赤道面间的夹角，称为轨道倾角； N 为卫星自南半球行至北半球时与赤道的交点，称为升交点。平春分点♈至升交点 N 的角距 Ω 称为升交点赤经。 h 为轨道平面的法线常矢量。 i 与 Ω 两个参数确定了轨道平面在空间的位置，称为轨道平面参数。
现以轨道平面法线矢量方向为 z 轴，以升交点方向为 x 轴， y 轴按右手坐标系取向，建立 O — xyz 坐标系。则 h 在此坐标系内的三个分量为（0，0， h ），即
由图4.1所示的赤道直角坐标系 O — XYZ 与坐标系 O — xyz 的关系可得
由式（4.14）可得
由此可知，面积积分的三个积分常数 A 、 B 、 C 可以用 Ω 、 i 、 h 代替，两者是等价的。所以，通常也称 Ω 、 i 、 h 为积分常数，而且采用这三个独立参数比较直观，具有明显的物理意义和几何意义。
（2）积分常数 h 的几何意义：二倍的面积速度
如图4.2所示，卫星在空间某点的相应运动参数
r
、
、
。其中，
表示卫星速度与当地水平面的夹角。由式（4.8）可得
设卫星在Δ t 时间内由 P 1 飞行至 P 2 ，对应点至地心距离为 r 、 r +Δ r ，如图4.3所示。记 OP 1 、 OP 2 所夹面积为Δ A ，则由图4.3所示可知
将上式各除以Δ t ，令Δ t →0取极限，则得
显然有
式中，
为面积速度。通常把矢径
r
在单位时间内所扫过的面积称为面积速度
，所以
h
为二倍面积速度。
因此，式（4.8）和式（4.10）称为面积积分。
图4.2 卫星在空间运动参数
图4.3 求面积速度辅助图
上面已经推导出，卫星运动是在轨道平面上运行的，该平面由轨道面参数 Ω 、 i 确定。因此，为了简化，在进一步求解其他积分时，可在轨道平面上进行求解。为此，建立轨道平面上的二维坐标系 O — xy ，如图4.4所示，其原点仍为地心， x 轴指向升交点 N ， x 轴按卫星运动方向旋转90 ° 为 y 轴。
在此平面坐标系内卫星的运动微分方程为
为了讨论方便，现建立辅助极坐标系 O — rθ ，如图4.4所示。直角坐标与极坐标的关系为
图4.4 卫星轨道平面坐标系
由式（4.18）求出
将式（4.18）和上述
、
代入式（4.17）得
上式中，
，②×cos
θ
-①×sin
θ
得
，即
卫星轨道平面的运动微分方程是二元三阶微分方程组，解这样的微分方程组，需要四个积分常数。二体问题运动微分方程的完全解需要六个独立的积分常数，前面已解出三个积分常数。显然，解式（4.17）或式（4.19）出现的四个积分常数中必有一个不独立，需要将它舍去。
由式（4.19）的第二式可直接积分得
式中，
h
为积分常数，而
是面积速度的两倍，所以此处的积分常数就是前面已经导出的积分常数
h
。因此，式（4.19）可写成
此微分方程组的解应该有三个独立积分常数。为了便于求解，首先求解卫星运动轨道方程；然后，再求出卫星运动与时间的函数关系。
为推导方便，作变量置换，令
则式（4.21）的第二式变为
而
且
即
将式（4.22）和
、
、
表达式代入式（4.21）的第一式，可得
即
式（4.23）是一个 r 、 θ 的二阶微分方程，其解是卫星运动的微分方程，它有两个独立积分常数。
式（4.23）是二阶非齐次微分方程，它对应的线性齐次方程为
其通解如下
式中， K 1 、 K 2 为积分常数。
对于二阶非齐次微分方程式（4.23），它的一个特解为
因此，式（4.23）的通解为
为了使轨道方程中的积分常数具有明显的物理意义，现用两个新的独立的参数 e 和 ω 代替 K 1 、 K 2 。
设
将以上两式代入式（4.24）有
整理后可得
将式（4.22）代入上式，即可得卫星在轨道平面上的运动方程，即
由解析几何可知，式（4.25）是以焦点为坐标原点的圆锥曲线方程。 e 为圆锥曲线的偏心率（离心率）。当 e <1时，式（4.25）为椭圆方程，即卫星绕地球沿椭圆轨道运行，这是本书的研究对象。当 e =1时，为抛物线方程；当 e >1时，为双曲线方程。此时都不能形成卫星绕地球运行的轨道，而是飞向宇宙空间，作星际航行，如宇宙飞船、空间探测器等，这不是本书讨论的范围。
当坐标原点（极点）位于椭圆一焦点上，极轴为从该焦点指向最近一个顶点（近地点）的射线，而椭圆的标准方程为
式中，
e
为椭圆偏心率，又称离心率，
；
f
为极角，自极轴正方向（近地点方向）量至动径
r
方向；
a
为椭圆的长半轴；
b
为椭圆的短半轴；
p
为半通径，又称焦点参数，有
式（4.25）与标准椭圆方程式（4.26）相比较，可以知道以下三点：
（1）参数 e 为椭圆偏心率
它表示椭圆轨道的形状。当 e 越大，椭圆扁平程度越大，反之越小；当 e =0，轨道为圆。这就是参数 e 的几何意义。
（2） θ - ω 与 f 的关系
比较两式，可知， θ - ω = f ，即
这表明， ω 是近地点方向与升交点方向间的夹角，称为近升角距，如图4.5所示。近升角距 ω 确定了卫星近地点与升交点间的关系，当升交点方向由 Ω 确定后， ω 就确定了近地点方向。这就是 ω 的几何意义。
图4.5 卫星椭圆轨道参数
极角 f 又称为真近点角，是下面经常要应用的重要参数，而式（4.26）就是用真近点角表示的卫星轨道方程。
（3） h 与 p 的关系
即
这说明积分常数 h 可以用参数 p 或 a 来代替。由于长半轴 a 具有更明显的几何意义，通常都采用 a 代替 h 。
另外，由椭圆方程式（4.26），可得近地点 P 的向径 r P 和远地点 A 的向径 r A 的表达式
在推导最后一个积分之前，先讨论两个常用的重要公式。
设卫星沿椭圆轨道绕地球一周的周期为 T ，其平均角速度为 n ，则
将式（4.29）代入上式，可得
或
这就导出了卫星运行的平均角速度 n 与长半轴 a 的关系。当已知或测定椭圆长半轴 a ，即可计算得到平均角速度 n 。
另外，将式（4.29）代入式（4.31），可得
或
这表明，卫星绕地球运行周期的二次方与其椭圆轨道的长半轴 a 的三次方成正比。当已知 a 可求得 T ，反之已知 T 可求 a 。
由轨道平面直角坐标系的运动方程式（4.17），即
用
和
分别乘以第一式和第二式，然后取和，得
上式可写成
由于速度 v 的二次方和向径 r 的二次方为
所以
积分可得
此式称为活力公式，或称能量积分，是一个重要的积分，它表述了二体问题的能量守恒问题。但它不是独立积分，其积分常数 L 可用其他积分常数代替。
因为有
并注意到式（4.21）第二式及式（4.29），则
将上式代入活力积分式（4.35），可得
因为活力公式对卫星椭圆轨道上任意一点都满足，而在近地点时
于是
将此式代入式（4.35），可得
此式称为活力公式，也称为能量公式。该式给出了卫星运动的速度 v 与向径 r 、椭圆轨道长半轴 a 的关系。利用活力公式可以方便地求出速度 v ；同时，它又是表述动能和位能关系的公式，是今后经常应用的重要公式之一。
轨道平面坐标系的运动微分方程式（4.21）为
前面已经基于第一式解出了两个独立的积分常数 e 、 ω ，并解得了卫星轨道方程。因此，现在需要从第二式出发，求解第六个积分常数，即时间 t 与向径 r 或 θ 的关系。
将式（4.29），即 h 2 = μa （1- e 2 ）代入运动微分方程第二式，有
由活力公式可得
由式（4.37）求出
并代入上式，得
将式（4.33） μ = n 2 a 3 代入上式，得
即
为了便于对上式积分，现引入重要辅助变量 E ，常称为偏近点角。偏近点角的定义为
它的几何意义如图4.6所示。图中， O 为地球质心，是卫星 S 运动的椭圆轨道的一个焦点； O′ 为椭圆轨道的中心； P 为近地点； A 为远地点； f 为任意时刻 t 卫星的真近点角。现以 O′ 为圆心，以长半轴 a 为半径作一辅助圆；过 t 时刻卫星位置 S 作一垂直于近地点方向 OP 的垂线 SH ，其延长线交辅助圆于 S′ ；连线 O′S′ 线，则 O′S′ 方向与 O′P 方向间的夹角即为偏近点角 E 。因为 O′O = ae ，所以有
而由轨道方程式（4.26）可得
r （1+ e cos f ）= a （1- e 2 ）
即
图4.6 偏近点角与真近点角
将此式代入式（4.40），即
则由上式可以得到
这就是用偏近点角 E 表示的轨道方程，也是今后经常使用的一个重要公式。
r 和 E 都是时间的函数，因此，由式（4.40）可得
将上式和式（4.40）代入式（4.38），有
即
积分后可得下式
E - e sin E = nt + T 0
式中， T 0 为积分常数，通常都用常数 τ 代替，即 τ =- T 0 /n ，则
这就是著名的开普勒积分，它导出了二体问题的第六个积分常数 τ ，给出了偏近点角 E 与时间 t 的关系，即式（4.41）， r = a （1- e cos E ）。
现分析积分常数 τ 的物理意义。因为当卫星过近地点时 E =0，其相应时刻为 t P ，则由式（4.42）可得
τ = t P
由此可知，积分常数 τ 就是卫星过近地点的时刻。
在一些计算和应用中，为了方便，常令
此时开普勒方程式（4.43）可写成
式中， M 为从近地点起算卫星以平均角速度运行的角度，称为平近点角。此时，是以 M 0 代替过近地点的时刻 τ ， M 0 相当于 t =0时的平近点角。
上面通过对二体问题的卫星运动方程的求解，求得全部六个积分常数和有关公式。它们确定卫星轨道面在空间的位置，决定轨道的大小、形状和空间的方位，同时给出计算运动时间的起算点，所以，具体地描述了卫星运动的基本规律。通常将这六个积分常数称为开普勒轨道根数，或者开普勒要素。
开普勒轨道根数定义如下：
1） Ω 为升交点与 X 轴的角距，从 X 轴开始逆时针方向度量为正， Ω 称为升交点赤经，0°≤ Ω ≤360°。
2） i 为轨道面与赤道面的夹角，在升交点由赤道面起逆时针方向度量为正， i 称为轨道倾角。 i 也是卫星动量矩矢量 h 与 Z 轴的夹角，0°≤ i ≤180°。当 i <90°时称为顺行轨道，当 i =90°时称为极轨道，当 i >90°时称为逆行轨道。
3） ω 为轨道面内由升交点到近地点拱线的夹角，由升交点起顺卫星运动方向度量为正， ω 称为近地点中心角，0°≤ ω ≤360°。
4） a 为轨道长半轴。
5） e 为轨道偏心率。
6） τ 为卫星飞过近地点的时刻。
在这六个经典轨道根数中， i 和 Ω 决定了轨道面在惯性空间的位置。 ω 决定了轨道本身在轨道面内的指向。 a 和 e 决定了轨道的大小和形状。轨道长半轴 a 、偏心率 e 和轨道半通径 P 三者中只有两个是独立的，因而可取三者中的任意两个作为轨道根数。 τ 决定了卫星在轨道上的位置。
图4.7给出了轨道根数的意义，表4.1给出了各轨道根数的名称和作用。
表4.1 开普勒轨道根数及其作用
图4.7 开普勒轨道根数
经典轨道根数在下述三种情况下将出现病态，此时要对轨道根数的定义做相应的改变以消除病态。
第一种情况为 i =0 ° 或180 ° ，由于升交点不定，因而 ω 和 Ω 为不定值，这时引入下式：
ω
称为近地点经度。在一般情况下，
是两个不同平面上角度之和，但在所述的特殊情况下为同一平面上角度之和，即为近地点赤经。因此，虽然
ω
和
Ω
是不定的，但
是确定的。在这一特殊情况下轨道根数为
a
、
e
、
、
τ
。
第二种情况为 e =0，轨道为圆，由于近地点为不定，故 ω 和 τ 为不定值。这时引入轨道要素 ξ 、 η 、 λ 代替 e 、 ω 、 τ ，新的轨道根数定义为
因此，在这一特殊情况下，轨道根数为 a 、 i 、 Ω 、 λ 。其中， λ 为 t 时刻卫星在轨道面内距升交点的角距。
此时开普勒方程变为
其中
当 i 等于0°或180°，同时 e =0时，这时引入轨道根数 p 、 q 、 ξ 、 η 、 λ ，其定义如下：
在此特殊情况，描述轨道的轨道根数为 α 和 λ ， λ 为 t 时刻卫星的赤经。