2.5 地心天球坐标系之间的关系

表2.1给出了上述四种天球坐标系的球面坐标和直角坐标的情况。

在实际的工作中，往往已知天体对于某一坐标系的坐标，需要计算它对于另一坐标系的坐标，因此就要进行坐标的转换。具体解法将分成两大类：一是利用球面三角有关公式求解；二是利用直角坐标转换关系求解。

2.5.1 地平坐标系和时角坐标系之间的转换

地平坐标系和时角坐标系之间的关系与天文纬度 φ 有关，如图2.16所示。

已知天体 σ 的地平坐标为（ A ， z ），求相应的时角坐标（ t ， δ ）。如图2.16所示， O — XYZ 为地平坐标系， O — X′Y′Z′ 为时角坐标系的，它们都是左手坐标系的， O — XYZ 绕 Y 轴旋转-（90 ° - φ ）转换到 O — X′Y′Z′ ，因此有

将式（2.46）和式（2.47）代入上式，有

即

式（2.52）也可以利用图2.16所示的天极 P 、天顶 Z （注意，这里 Z 表示天顶，也表示 Z 轴）和天体 σ 构成的球面三角形 PZσ 及球面三角公式求得。

在球面三角形 PZσ 中， 、 、 、∠ PZσ =90 ° - A 、∠ ZPσ = t 。

根据边的余弦公式可得

cos（90 ° - δ ）=cos（90 ° - φ ）cos z +sin（90 ° - φ ）sin z cos（180 ° - A ）

即

根据正弦公式可得

即

根据球面三角形五元素公式可得

sin（90 ° - δ ）cos t =cos z sin（90 ° - φ ）-sin z cos（90 ° - φ ）cos（180 ° - A ）

即

只要已知观测者的天文纬度 φ ，就可以应用式（2.53）～式（2.55）由（ A ， z ）唯一地确定（ δ ， t ）。

2.5.2 赤道坐标系和时角坐标系之间的转换

赤道坐标系和时角坐标系之间的关系与春分点♈的时角 t _r 有关，如图2.17所示。

已知天体 σ 的时角坐标为（ t ， δ ），求相应的赤道坐标（ α ， δ ）。如图2.17所示， O — XYZ 为时角坐标系， O — X′Y′Z′ 为赤道坐标系， Z 轴、 Z′ 轴均指向北天极 P 。但时角坐标系是左手坐标系，而赤道坐标系是右手坐标系， X 轴指向 Q ， X′ 轴指向春分点♈。先将 Y 轴反向，然后将 O — XYZ 绕 Z 轴旋转- t _r ，使 X 轴和 X′ 轴重合转换到 O — X′Y′Z′ ，所以有

式中， P ₂ 为 Y 轴反向的转换矩阵。可得

即

即

cos α =cos t _r cos t +sin t _r sin t =cos（ t _r - t ）

也即

2.5.3 黄道坐标系和赤道坐标系之间的转换

黄道坐标系和赤道坐标系之间的关系与黄赤交角 ε 有关，如图2.18所示。

设天体 σ 的赤道坐标为（ α ， δ ）、黄道坐标为（ λ ， β ）。如图2.18所示， O — XYZ 为赤道坐标系， O — X′Y′Z′ 为黄道坐标系，它们都是右手坐标系， O — XYZ 绕 X 轴旋转 ε 转换到 O — X′Y′Z′ ，所以有

即

即

式（2.59）也可以利用图2.18所示的天极 P 、黄极 K 和天体 σ 构成的球面三角形 PKσ 求得。在球面三角形 PKσ 中，已知 、 、 、∠ KPσ =90 ° + α 、∠ PKσ =90 ° - β ，具体推导过程从略。

类似可以求出其他坐标系之间的关系。表2.2给出了天球坐标系之间的转换关系。