2.2 球面三角初步

2.2.1 球面的基本性质

确立了天球概念以后，便能把天体看成是分布在天球表面上的点，所以有必要了解球面的一些最基本性质。

2.2.1.1 球面上的圆

从几何学得知，用一个平面去截球面，所得的截口是一个圆。如果这个平面通过球心，那么所得圆的圆心就是球心，这种以球心为圆心的圆称为大圆。如果这个平面不通过球心，那么所截圆的圆心不是球心，这种不以球心为圆心的圆称为小圆。通过球面上不在同一直径两端的两个点，能作并且只能作一个大圆。例如，通过图2.1所示的任意两点 A 和 B ，可以作也仅可以作一个大圆 ABCD 。 A 、 B 两点间的大圆弧（通常总是取小于180°的角度）可以用弧长来计量，也可以用角度来计量。天文学上常用角度来计量，叫作 A 、 B 间的角距，记作 。它等于大圆弧所对的圆心角∠ AOB 。

2.2.1.2 球面上的极

通过球面上任意一个圆（不论是大圆还是小圆）的圆心作一条垂直于该圆所在平面的垂线。这条垂线一定经过球心，并与球面交于直径的两端 P 和 P′ ，称为该圆的极。

球面上某一个圆的极到这个圆上任一点的角距，叫作极距。显然，极到圆上各点的角距都是相等的。如图2.2所示， 。如果所讨论的圆是一个大圆的话，则极距为90°。

2.2.1.3 球面角

两个大圆弧相交所成的角叫作球面角。它们的交点叫作球面角的顶点。大圆弧本身叫作球面角的边。如图2.3所示， 和 为两个相交的大圆弧， 所在平面为 POA ， 所在平面为 POB ，两者的交线为 OP ，球面角∠ APB 用 POA 和 POB 所构成的两面角度量，因为 QQ′ 是以 P 为极的大圆， A′ 为 与 QQ′ 的交点， B′ 为 的延长线与 QQ′ 的交点。根据立体几何可知，球面角∠ APB 等于∠ A′OB′ ，又因为∠ A′OB′ = ，所以球面角∠ APB 可用 度量，由此得出下述重要结论：以球面角的顶点作大圆，则球面角的边或其延长线在这个大圆上所截取的那段弧便是球面角的数值。

2.2.2 球面三角形

把球面上三个点（如 A 、 B 、 C ）用三个大圆弧连接起来，所围成的图形叫球面三角形，这三个点叫作球面三角形的顶点。

由于连接两个顶点的大圆弧有两个不同的弧段，为了使定义完备，应区别所选的弧是哪一段，还应指明三角形在所选之弧的哪一边。将球面上 A 、 B 、 C 三个点用三段大圆弧联结起来围成图形的方式一般有八种，如图2.4所示。如 A 、 B 、 C 的球对称点为 A′ 、 B′ 、 C′ ，则八个球面三角形为 ABC 、 ABC′ 、 AB′C 、 A′BC 、 A′B′C 、 A′B′C′ 、 AB′C′ 和 A′BC′ ，一个球面三角形的三个边都小于半圆周，将这样的球面三角形称为简单三角形，如图2.4所示的 ABC 。简单球面三角形是以后经常用到的球面三角形。

如图2.5所示，三个大圆弧 、 和 叫作球面三角形 ABC 的边，分别以小写子母 c 、 a 、 b 表示，三个大圆弧所构成的球面角，叫作球面三角形的角，分别以 A 、 B 、 C 表示，并且规定 A 角和 a 边相对、 B 角和 b 边相对、 C 角和 c 边相对。三个边和三个角合称球面三角形的六个元素。组成简单球面三角形的三个大圆弧所在的平面构成一个三角面，其顶点为球心 O ，而其棱是由球心到球面三角形三个顶点 A 、 B 、 C 作连线得到的球半径。如图2.5所示，可以看出，三面角 O — ABC 的每一个平面角都可用其相对的球面三角形的边来衡量，而两个平面之间的夹角（即二面角）等于其相应的球面三角形的球面角。

球面三角形与平面三角形的边和角具有不同的性质。简单的球面三角形具有如下的基本性质：

1）球面三角形的两边之和大于第三边。

2）等边所对的角相等，等角所对的边相等。

3）大角对大边，大边对大角。

4）球面三角形的三边之和大于0°、小于360°。

5）球面三角形三个角之和恒大于180°、小于540°。差值 δ =（ A + B + C ）-180 ° ，称为该球面三角形的球面角超。

6）球面三角形中两角之和减去第三角小于180°。

2.2.3 球面坐标和直角坐标

在记录天体位置的坐标系中，一点的位置和它的坐标之间的关系必须具有唯一的可逆关系，即一点只能用一组坐标值来唯一表示，而一组坐标也只定义一点的位置。球面坐标系和直角坐标系都具备这一特性。

选取单位球作为天球，如图2.6所示。以天球上一个大圆 BCDE 作为球面坐标系的基圈，基圈所在的平面为基本平面。基圈有两个极 A 和 A′ ，按一定的原则选取其中一个作为球面坐标系的极。过极 A 的半个大圆 ACA′ 作为球面坐标系的主圈，主圈和基圈的交点 C 称为主点。通过极 A 和天体 σ 的半个大圆称为副圈，副圈与基圈交于 D 。由基圈和主点可建立球面坐标系，则天体 σ 在天球上的位置可由两段大圆弧 和 确定。 对应的称为纬角，记为 ν ； 对应的称为经角（等于球面角 CAσ ），记为 μ 。纬角 ν 有时也可用它的余角以大圆弧 代替， 称为极距，记为 η ，则有 η =90 ° - ν 。纬角 ν 或极距 η 称为球面坐标系的第一坐标，而经角 μ 称为第二坐标。这样的球面坐标系是一种正交坐标系，对于不同的基圈和主点，以及第二坐标采用的不同度量方法，可以建立不同的坐标系。

相应的直角坐标系通常是这样定义的： Z 轴指向第一极， X 轴指向主点， Y 轴在基圈平面上，它是 X 轴绕 Z 轴旋转+90 ° 所到达的位置，旋转方向按球面坐标系经角增加的方向为正。

如图2.6所示，可以看出，天体 σ 的球面坐标（ μ ， ν ）和直角坐标（ X ， Y ， Z ）有如下关系：

或

注意，在利用式（2.2）计算 μ 时存在多值问题。对形如式（2.2）的反正切函数，如果反正切函数只取主值，为确定 μ 的象限，则按 μ =arctan（ Y/X ）+[1-sign（ X ）]90 ° 计算。

X 、 Y 和 Z 即为天体 σ 在 O — XYZ 坐标系中的方向余弦，因此天体方向的单位矢量可写为

在某些工作中，不仅要知道天体在天球上的二维球面坐标，而且还必须知道它的空间位置，即三维坐标。 r 是坐标原点到所研究天体的直线距离。在二维球面坐标系的基础上增加距离 r 可构成三维球坐标系统，也称为三维极坐标系统。则三维空间矢量 r 为

2.2.4 球面三角形公式

2.2.4.1 球面三角形基本公式

（1）边的余弦公式

如图2.7所示， O 为球心， ABC 为一球面三角形，三个边分别用 a 、 b 、 c 表示。边 a 可用大圆弧 所对的球心角∠ BOC 来度量；同样， b 和 c 可分别用球心角∠ AOC 和∠ AOB 来度量。过点 A 作大圆弧 的切线，与半径 OB 的延长线交于点 D ，过点 A 作大圆弧 的切线，与半径 OC 的延长线交于 E 点，则半径 OA 垂直于 AD 和 AE 。根据球面角定义，球面角∠ BAC 就是切大圆 AB 和 AC 于点 A 的两条切线之间的夹角，故球面角∠ BAC =∠ DAE ，令 A 表示球面角∠ BAC ，则∠ DAE = A 。

在平面三角形△ DOE 中，有

在平面三角形△ DAE 中，有

在平面三角形△ OAD 中，有∠ OAD =90 ° ，∠ AOD = c ，则有

在平面三角形△ OAE 中，有∠ OAE =90 ° ，∠ AOE = b ，则有

另外

∠ DOE =∠ BOC = a ，∠ DAE = A

将式（2.8）、式（2.9）代入式（2.6）、式（2.7）得

（ DE ） ² =（ OA ） ² （sec ² c +sec ² b -2sec c sec b cos a ）

（ DE ） ² =（ OA ） ² （tan ² c +tan ² b -2tan c tan b cos A ）

则有

将平面三角公式sec ² c =tan ² c +1、sec ² b =tan ² b +1代入式（2.10），整理可得

上式就是球面三角形的基本公式——边 a 的余弦公式。

同理，可得其他两边的余弦公式

式中， B 、 C 为相应球面角。

以上三式，即式（2.11）～式（2.13）合称为边的余弦公式，是球面三角形的三个边与一个角之间的关系式。

（2）角的余弦公式

首先，引入极三角形的概念。

如图2.8所示， ABC 为一简单球面三角形，点 P 为 BC 大圆的极，且点 P 与点 A 在 BC 大圆的同一边，因而∠ POA 是锐角。同样，存在与点 B 同在一边的大圆 AC 的极点 Q ，以及与点 C 同在一边的大圆 AB 的极点 R 。连接 P 、 Q 、 R 三点所构成的简单球面三角形 PQR ，称为原球面三角形 ABC 的极三角形。

定理1： ABC 也是 PQR 的极三角形。

如图2.8所示，点 Q 和点 R 分别为大圆 AC 和大圆 AB 的极，则 OA ⊥ OQ 、 OA ⊥ OR ，故点 A 是大圆 QR 的一个极，又点 P 与点 A 在 BC 大圆的同一边，∠ POA 是锐角，故点 A 是 PQR 的极三角形的一个顶点。同样可以证明点 B 和点 C 是 PQR 的极三角形的另外两个顶点，所以 ABC 也是 PQR 的极三角形。

定理2：极三角形的边是原球面三角形对应角的补角，而极三角形的角是原三角形对应边的补角。

为证明此定理，不妨设球面三角形 PQR 的三个边分别用 p 、 q 、 r 表示，它的球面角用大写字母 P 、 Q 、 R 表示。

如图2.8所示，将 AB 和 AC 两边（如果需要）延长与大圆 QR 相交于点 B′ 和 C′ ；

点 A 是大圆 QR 的极，故 OA ⊥ OB′ 、 OA ⊥ OC′ ，∠ B′OC′ 是 AB 和 AC 所在平面的二面角，于是有∠ B′OC′ = A ，即弧 。

点 R 是大圆 AB 的极，故 OR ⊥ OB′ ； Q 点是大圆 AC 的极，故 OQ ⊥ OC′ 。于是有

∠ QOC′ +∠ B′OR =π=∠ QOR +∠ B′OC′ = p + A

即，这证明了极三角形的边是原三角形对应角的补角。同时，由定理1知这两个球面三角形互为极三角形，也就证明了极三角形的角是原三角形对应边的补角。

即，球面三角形 ABC 与球面三角形 PQR 的边角关系如下：

根据式（2.11），针对球面三角形 PQR 有

由式（2.14）知 p =π- A 、 q =π- B 、 r =π- C ，于是可得

上式为角 A 的余弦公式。

同理，可得其他两角的余弦公式：

以上三式，即式（2.16）～式（2.18）合称为角的余弦公式，是球面三角形的三个角与一个边之间的关系式。

（3）正弦公式

假设，在以 O 为球心的球面上取球面三角形 ABC ，则 O 与各顶点相连得球心三面角 O — ABC ，如图2.9所示。在 OC 上任取一点 P ，作 PS 垂直于平面 AOB 、 SQ ⊥ OA 、 SR ⊥ OB 在平面 OAB 内，显然 OA ⊥ PQ 、 OB ⊥ PR 。

如在点 A 作两条切线 AB′ 、 AC′ 分别切大圆 AB 和 AC ，根据定义这两条切线间夹角就是球面角 A ，注意到 QS ∥ AB′ 、 QP ∥ AC′ ，所以∠ PQS = A ，同理可证∠ PRS = B 。

三面角 O — ABC 的每一个平面角都可以用球面三角形对应的边来度量，即∠ COB = a 、∠ COA = b 、∠ AOB = c 。

在直角三角形△ OQP 和Δ ORP 中，有

在直角三角形△ PQS 和Δ PRS 中，有

将式（2.19）、式（2.20）分别相乘，得

即

同理可得类似的下式：

于是有

上式称为正弦公式，是球面三角形的任意两个边与它们对应的两个角之间的关系式。

（4）五元素公式

将边 b 的余弦公式，即式（2.17）改写为

将边 a 的余弦公式，即式（2.11）代入，得

sin a sin c cos B =cos b -cos c （cos b cos c +sin b sin c cos A ）

即

两边除以sin c ，得

这是球面三角形的三个边与两个角之间的关系式，称为五元素公式。

同理，可得其他五元素公式：

以上六式，即式（2.25）～式（2.30），是球面三角形的一个边的正弦与其邻角的余弦的乘积表达式。

利用极三角形与原三角形的边角关系，即式（2.14），就可以得到一个角的正弦与其邻边的余弦的乘积表达式：

以上六式，即式（2.31）～式（2.36），是球面三角形的两个边与三个角之间的关系式，是五元素公式的另一种表达形式。

（5）相邻四元素公式

相邻四元素公式又称余切公式，是球面三角形的相邻四个元素（边和角）之间的关系式。如图2.7所示，在球面三角形 ABC 中，参考四个相邻元素 c 、 B 、 a 、 C 。其中，角 B 被两个边 c 与 a 所夹，称为内角；而边 a 被 B 与 C 两个角的侧翼所包围，称为内边。

已知边 c 的余弦公式，即式（2.13）为

cos c =cos a cos b +sin a sin b cos C

将边 b 的余弦公式，即式（2.12）代入上式，得

cos c =cos a （cos a cos c +sin a sin c cos B ）+sin a sin b cos C

整理得

cos c =cos a （cos a cos c +sin a sin c cos B ）+sin a sin b cos C

=（1-sin ² a ）cos c +cos a sin a sin c cos B +sin a sin b cos C

即

将上式两边除以sin a sin c ，得

将正弦公式，即式（2.23）变形为 代入上式得

同理可得

以上六式，即式（2.38）～式（2.43），是相邻四元素公式。

2.2.4.2 特殊球面三角形

（1）直角球面三角形

如球面三角形 ABC 有一个角是直角，则称其为直角球面三角形。

如角 C =90°，利用球面三角形基本公式，很容易导出直角球面三角形的基本关系式如下：

（2）象限球面三角形

如球面三角形 ABC 有一个边是直角，则称其为象限球面三角形。

如边 a =90°，利用球面三角形基本公式，很容易导出象限球面三角形的基本关系式如下： iPPMSbRqus8bh5H65hrODVcfTlAl4DKK8i3eYPhDZnqxkmhgFUhSMd92FZz/LG5d