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对于多项式方程，我们尤其关心一种类型的解，叫做“根式解”。顾名思义，这种解是由所谓“根式”构成的。如果复数i你比较陌生，无法理解什么叫发明出一个平方等于−1的数，那么
我猜你应该熟悉吧！这种熟悉可能是来自于我们能在计算器上按下根号二，并在显示屏上看到一串数字
1.4142135624…
这串数字的意义我们以后会再聊，但至少
仿佛就是亲切的小数。不过，究其本质，
也是一个被发明出来的数，其被规定为一个平方等于2的东西。能规定平方，自然也能规定三次方、四次方等。一般的，我们记
为
a
的
n
次方根，意思是这个东西的
n
次方等于
a
。比如若
a
是梨，那么
就是梨的五次方根，它的五次方等于梨。它可以写成小数吗？不知道，估计不能吧，但这不妨碍我们定义和创造它！由
a
到
的计算，我们称为开
n
次根号。
概念1.5 多项式方程的 根式解 是由其系数经过若干次加减乘除开根号运算后得到的解。
比如方程 x 2 + x −1=0就有两个根式解
sin 6 ° 虽然是方程（1.4）的一个解，但它不是通过加减乘除开根号计算出来的，不是我们想要的根式解。
明确了根式解，那什么又是求根公式呢？顾名思义，就是求根式解的公式
，其核心在于“公式”二字。它不是任何一个
具体
方程的根式解，而是
一般
方程的根式解，其系数是字母，其解是用这些字母系数表达出的根式。
概念1.6 n 次方程的 求根公式 是 n 次一般方程
a n x n + a n− 1 x n− 1 +…+ a 0 =0
的字母系数通过加减乘除开根号运算后得到的解。对于任意具体方程，用其系数替换这些字母后，该公式便给出了该具体方程的解。
比如我们熟悉的二次方程求根公式（1.6）就是通过一般方程的系数 a,b,c 经过加减乘除和开二次方根表达出来的。
那求根公式要怎么找呢？一次方程 ax + b =0的求根公式显而易见 [4]
连开根号都不需要。
推导二次方程求根公式的办法初中应该教过，即所谓配方法。我们拿到二次一般方程
想把它变成
因为这个方程我们会解！直接把 a 除过去开根号，就得到了
那如何将方程（1.7）写成方程（1.8）呢？显然，我们只要把方程（1.8）中的括号乘开，和方程（1.7）比较一下，看看需要什么就好了。我们有
与方程（1.7）对比一下系数，不难发现需要
2 ap = b
ap 2 − q = c
也即
代回方程（1.9），我们便得到了二次一般方程（1.7）的两个根式解
其中用到了开二次根号。它就是二次方程的求根公式。以后，当我们要解任何一个具体的二次方程时，不必再费周折，直接将系数 a,b,c 替换为相应的具体数字代入公式就好。
不妨接着来看看三次方程：
ax 3 + bx 2 + cx + d =0
第一步当然是把它弄简单点。首先，首项系数 a 可以不妨设为1：
x 3 + bx 2 + cx + d =0
其次，能不能把次高项 bx 2 消掉呢？可以！只要做如下替换：
相信我，代入后经过一通计算，上述等式会化简为如下关于 y 的方程：
其中 p 和 q 是由 b,c,d 算出来的两个新的系数。显然，只要我们通过方程（1.12）解出 y ，再利用变换（1.11）就立马能得到 x 。至此的一切想法都还是自然且合理的，但下面的替换初看就仿若神来之笔了！令
代入方程（1.12），一阵计算后，我们会惊讶地发现方程变成了
看出来了没？它是关于 z 3 的二次方程！它的解我们是知道的！于是，我们用二次方程求根公式（1.10）解出 z ：
代回替换（1.13）得到 y ，再代回变换（1.11）就得到了 x ！这就是前文提到的所谓 卡尔达诺公式 。当然，如果完整写出 x 关于 a,b,c,d 的表达式，那将会是一个非常非常长的式子，还涉及一些技术性细节，这里就不写出来了。
要不我们再继续解四次方程？算了吧！相信你能体会到，三次方程的求解已经开始不仅繁琐，而且“精巧”了。需要聪明人的巧妙构造与灵光一现。替换（1.13）读来轻松，但想到着实不易，诚然不能说毫无理由，但也的确需要经验与运气。
另一方面，就算我们巧妙地解出了四次方程，然后呢？五次方程呢？六次、七次、八次呢？难道需要一代代青年才俊笔耕不辍去撞见巧妙的构造来求解？这不是个事儿啊！我们必须得找到一种系统化的、一劳永逸的办法， 彻底 解决所有多项式方程的求解问题！
这不仅对求解重要，更重要的是，会避免无用功——万一求根公式根本不存在呢？！对于一个的确存在的东西，只要我们不停地尝试，不灰心不放弃，总会有幸运的时刻将它找到。但若这个东西压根不存在，再怎么找都找不到呀！更要命的是，找不到并不代表不存在呀！我们只会一直徒劳地找下去……
五次方程的求根公式人们找了好久好久，终于恍然大悟，原来从四次以后，五次及更高次的方程就再也没有求根公式了！当然，人们认识到这一点并非因为无数聪明人都没找到那些求根公式，而是我们 证明 了它们不存在！这一段探索与证明的历程，便是本书接下来的主题。