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从前两节我们看到，方程可以简单如 x +1=0，也可以复杂如氢原子薛定谔方程。其实，只要我们将一件事翻译成了数学式子，那一个方程就诞生了。在无穷无尽的方程中，我们将聚焦在一类特殊的方程上，即所谓 多项式 （polynomial）方程。我们小学学过的一次方程，初中学过的二次方程，都属于此列。
所谓多项式，顾名思义，就是一个有很多项的式子。多项式的每一项是一个数乘上未知量的若干次幂，比如
就有四项 x 3 、−3 x 2 、0.5 x 、−1/3。每一项中的未知量都有个次数（常数项的次数为零），其中最高者被称为整个多项式的次数。比如上例就是一个三次多项式。
那什么又是多项式方程呢？不难猜到，让一个多项式等于零，就得到了其对应的方程。这个多项式是几次的，就叫几次方程。比如
就是一个三次多项式方程。
你可能会问，一个多项式有那么多项，凭什么就只关心幂次最高的那一项？别的我不知道，但就我们的主题来说，原因很简单：多项式的求解难度直接取决于它的幂次最高项的次数。次数越高，越难解。
一次和二次方程是很简单的，简单到编入了我们小学和初中的数学课本，简单到公元前1700多年的古巴比伦人就已经掌握了它们的解法。如果你还记得，一般形式的二次方程 ax 2 + bx + c =0的两个解是：
你可曾见过三次方程的求根公式？没有吧，我也没有。很多地方都能找到三次方程的解法，也能看到一些化简后的公式，但鲜有地方——包括这里——会把完整的一般公式列出来，因为它真的太长了……三次方程直到16世纪才被人们攻克，如果从古巴比伦开始算，花了3000多年！不仅如此，对三次方程的征服，也是一段传奇但悲伤的故事。
时间回到16世纪的意大利。当时的学者们喜欢公开辩论，群众也乐于围观看热闹。在围观之余，人们还会押注，辩论获胜意味着名利双收。众多辩论项目中，有一项便是公开挑战对方解方程。规则很简单，你列几道方程给我，我列几道给你，给定时间内谁解出来的多谁就获胜！听上去是不是很刺激……
1515年，一位叫费罗（Ferro）的意大利人成功解出了形如 x 3 + px = q 的方程 [3] ，但他没有公布，也没有挑事情，而是保守秘密直到生命的尽头。去世前，他将解法传给了自己的学生费奥雷（Fiore）。费奥雷可就没自己的老师那么有城府了，天上掉下来的馅饼——啊不，解——出去干架呀！于是，他向全意大利发出战书，公开挑战解三次方程。说实话他是底气十足的，因为当时地球上可能还真只有他知道（一部分）三次方程要怎么解。有人应战吗？还真有！
那是1535年，应战者叫塔尔塔利亚（Tartaglia）。Tartaglia一词在当地是结巴的意思。没错，他有点口吃，但这并不妨碍解方程。敢应战，他有啥本事呢？他解出了形如 x 3 + px 2 = q 的方程（注意和费罗解出的不一样）！费奥雷得知此事立马就急了，立刻与塔尔塔利亚约了架。来势不小，结果如何？一败涂地！塔尔塔利亚解出了对手出的全部30道题，但费奥雷却一题未成！这是为何？原来，塔尔塔利亚在接受战书后火力全开进行准备，竟在比赛前八天也找到了费罗私藏的 x 3 + px = q 形方程的解！于是，你方的牌我都有，我方的牌你没有，这局就不用打了。
如果故事到此结束，就不会是一个悲伤的故事了。现在，第三个意大利人出场，他叫卡尔达诺
（Cardano）。他也一直在求解三次方程，在听说塔尔塔利亚取胜的消息后，成功说服他将解法告诉了自己，并承诺保密。秘密保守到了1543年。那一年，卡尔达诺猛然得知费罗早在塔尔塔利亚之前就发现了那个解，原来你塔尔塔利亚不是第一个呀！那这就没啥好保密的了。1545年，卡尔达诺出版了其著作《大术》（Ars magna），详细讨论了三次（以及四次）方程的解法。塔尔塔利亚怒不可遏。可读书人自然不能动刀子，那怎么办呢？不服再战！双方又约了一架——当然还是解方程。那时的卡尔达诺因《大术》已如日中天，自然是不会亲自赴会的，应战的是他的助手费拉里（Ferrari）。
1548年8月10日，在米兰的一所教堂里，比赛如期举行。历史并没有关于那天的详细记录，我们只知道塔尔塔利亚输了。此后，他丢掉了数学老师的工作，在穷困潦倒默默无闻中消失在了历史的尘埃之中。另外，我们还知道，如今三次方程与四次方程的求根公式分别叫 卡尔达诺公式 （Cardano formula）与 费拉里公式 （Ferrari method）。
历史让人唏嘘不已，但还是先回到咱们的主题来——他们寻来寻去，在寻找什么呢？前面说过，方程的解有很多种形式，有根号、有函数、有递归、有求导……甚至为了解 x 2 =−1，我们创造了一个新的数i。人们在上千年间到底在寻找着怎样的解呢？