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故事可以从古罗马说起。很久很久以前，在埃及的亚历山大港，一位老人埋葬了自己早逝的孩子。不像伽罗瓦的年龄能被精确到日，历史并没有流传下这位老人太多的信息，除了一篇迷一样的墓志铭
：
行人啊，请稍驻足，这里埋葬着丢番图。
上帝赋予他一生的六分之一，享受童年的幸福。
再过十二分之一，两鬓长胡。
又过了七分之一，燃起结婚的蜡烛。
爱子的降生盼了五年之久。
可怜那迟来的儿郎，只活到父亲岁数的一半，便进入冰冷的坟墓。
悲伤只有通过数学来消除。
四年后，他自己也走完了人生的旅途。
这位老人就是古代世界著名的数学家丢番图（Diophantus）。那么问题来了，他活了多少岁呢？你可能会敏锐地注意到，他的年龄需要是12和7的倍数。于是，84岁是一个合理的猜测。再代入验证一下，会发现的确符合描述！所以丢番图活了84岁。
时间拉回到现代。在我上小学那会儿，所谓“鸡兔同笼”问题算是比较有挑战的难题了，想必你也遇到过？
今有鸡兔同笼。上有三十五头，下有九十四足。鸡兔各几何？
我已经忘记了小时候第一次看到这个问题时的反应。但至少现在看来，还是有点思路的。假设我们吹一声哨子，动物们都会抬起一只脚，于是地上便少了35只脚。再吹一声又少35只。此时鸡已经都飞起来了，还剩24只脚一定都是双脚站立的兔子的！所以兔有12只，鸡便有23只。
这两个问题都很简单嘛，分分钟解决！然而我们必须意识到，我们虽然解出了这两个问题，但使用的是两种精巧、特定的思路，并未诉诸一种普适的方法。于是，若问题中的数字换了换，或者问题的结构不一样了，我们又得苦苦寻求新的解答。我不知道你是怎样的，反正我是不爱动脑子。能无脑解出来的问题，干嘛要动脑筋呢？这个能让我们无脑解决问题的东西，就叫
方程
。
概念1.2 方程 （equation）是含有未知量的等式。
我记得这是小学数学课本上给出的定义，不得不说，十分恰当。换言之，只要我们将问题 翻译 成含有未知量的等式，那么我们就得到了一个方程！诚然不同文明曾经都有各自表示未知量的方法，现代通行的做法是使用罗马字母
a,b,c,d, …
A,B,C,D, …
与希腊字母
γ,δ,λ,σ …
Γ,∆,Λ,Σ, …
我们也遵循之。于是，如果设丢番图的年龄是 n 的话，他的墓志铭翻译过来无非就是如下这一行等式：
同样，如果记鸡有 a 只，兔子有 b 只，那么鸡兔同笼问题就是如下这两个等式：
一般的，所谓列方程，其实就是在将问题陈述的事实翻译成数学等式。翻译完成后，我们便可以利用数学理论、工具与技巧来研究它，以期解出我们的未知量。
如果你觉得方程也就上面两例那么回事，太简单，不值一提，那就大错特错了！下面我再举一例，不过我们有言在先，这纯粹是一个独立的例子，若看不明白完全可以跳过，千万别把这书扔了不看了……
这是描述氢原子的
薛定谔方程
（Schrodinger equation），是量子力学奠基性的经典方程。其中大部分字母都是数学与物理常数，包括
,
µ
,e,π
,ϵ
0
，剩下的
ψ
（
r,θ,ϕ
）与
E
是我们要求解的未知量。后者是一个数，前者是一堆数，由
r,θ,ϕ
三个参量标识，它们不同的取值都有一个对应的
ψ
的取值。换句话说，
ψ
是一个所谓未知函数。
∇
是一个作用在函数上的算符，描述函数的变化。
这个方程在历史上有着里程碑式的意义。20世纪以来，随着实验设备越来越先进，微观世界的大门被逐渐打开。物理学家们惊讶地发现，眼前看到的是一片前所未见的神秘世界，微观粒子的行为完全不能用过去那套针对宏观物体的方程来描述，曾经被认为像小球一样的那些 粒子 （particle），有时却会表现出 波 （wave）的特性。于是，各路英雄豪杰开始提出各种新的理论与假说。最终，1925年，薛定谔提出了如今以他的名字命名的薛定谔方程，用所谓 波函数 （wave function）——也即方程（1.3）中我们要求解的 ψ ——来描述微观粒子。从这个方程出发，如今人们已经建立了一套非常宏大的量子理论，完美描述了微观尺度的宇宙。氢原子由一个原子核伴以一个电子构成，算是最简单的微观系统了，自然成为了初生的量子理论小试牛刀的对象。不用怀疑，人们找到了氢原子薛定谔方程的解，并用实验验证了它的确更好地描述与解释了我们所观测到的自然！
于是，下一个问题便来了，那到底什么是方程的解呢？