前言

本书讲述的是一段关于推理的故事。然而，这并不是一本悬疑侦探小说，关乎的不是案发现场、不在场证明与谁在说谎，而是概念定义、逻辑推演、猜想与证明。这是一段关于数学探索的故事。这是一本关于数学的书。

我知道很多人一提到“数学”两个字就头大，不知你是否也如此。很遗憾，我们从小到大被灌输的数学教育的确很容易让数学给我们留下非常糟糕的印象——它是一堆天书般的符号与公式、繁琐且总是出错的计算、只有天才才能想到的巧妙解题技巧、众多买菜根本用不上的定理与证明……我们需要大量记忆与背诵，刷无数的题，克服紧张与粗心，才能在考场游刃有余，顺利地通过考试。

我写作此书的目的之一，便是要为数学正名——它绝不是这些。数学是一门语言。

我们将会看到，数学关心的东西只有一个——概念的定义。在将概念置于明确定义之下后，我们进行演绎与推理，寻找不同概念表象之下的深层抽象联系。不仅如此，就连演绎与推理这个我们生而为人习以为常的能力本身，数学也将其纳入了严格的定义之下！我们通常所谓的“逻辑”，在数学中是一个有着明确定义与边界的概念！我们的推理本身，不再是一个空洞无物的天生感觉，而是一个有着坚实基础、明确定义的数学对象。一切关乎的都只是定义，都只是何以让我们的推理合法，进而得到有效且永恒的结论。

自然，在如此宏大的架构之下，作为一门语言，数学囊括了很多东西。特别的，你我在小学、中学、大学经历的那些，都是这个宏伟大厦的某些角落，都是数学这门语言最最具体的应用。这就好像我们能用中文写出优美的唐诗，亦能用它来骂八辈祖宗一样。中文有着高雅或粗鄙的应用，但这并不妨碍中文这门语言的深刻优美与博大精深。同样，在本书中，我会努力将数学这门语言本身的宏伟与精巧展现给你。

所以，这不是一本习题册，更不是考试指南。我们不会谈论任何一道具体的题目要怎么作答。反之，我们会谈论如下这些：抽象、定义、推理与证明，以及回答一个人类从文明之初起探索了几千年的大问题—— 五次方程是否有求根公式。

我们的祖先在日常劳作中产生了求解方程的需求，比如丈量分配土地就涉及求解二次方程。无论是古巴比伦、古希腊、古埃及还是古中国，解方程见于每一个文明的早期历史。人类很早就掌握了简单的一次、二次方程的解法，但三次和四次方程直到16世纪才被攻克。要知道，此时解方程已经无关乎生产、生活、耕种、劳作了，纯粹是人们在心智上的好奇与追求。于是，接下来人们便瞄准了五次方程，企图像征服一、二、三、四次方程一样征服它。然而，几百年过去了，人类一无所获。

最终，人类对五次方程的征服得益于一位年仅21岁的年轻人在临死前夜留给友人的手稿。在其中，他潦草混乱地将自己来不及完善的想法记录下来，并嘱托友人务必发表。这封手稿中的思想开创了一个时代。从此，数学不再是一门具体的算学，人们不再拘泥于具体问题的求解技巧，而终于具备了前所未有的能力，以站在高处对所考察问题的结构进行宏观把握，洞察其深层的内蕴本质，从而将任何具体问题置于降维打击之下！挑战了人类上百年的五次方程便在这般能力下被轻松征服——我们证明了它是无解的。那个强大的能力，叫抽象。

我在本书中便要带着你一起重新经历那段荡气回肠的征服之旅。当然，这不是一本教科书，我努力使其具有如下特点。

本书是自洽的，不需要任何预备知识 ，一切书中涉及的概念，追根溯源，都是由唯一一个不加定义的概念衍生而来的——即“字符序列”。我们不对“字符序列”这个四字短语进行定义，需要你诉诸自己的直觉，想必你知道它是什么意思对吧！除此之外，任何书中涉及的概念均有明确的定义，它们也都罗列于书后的索引。理论上，你不需要提前知晓任何额外的概念与知识，不需要有任何数学或者理工科的背景。当然，实践中，随着你数学背景的丰富，本书读起来肯定也会轻松一些。

本书的叙述是自然的 ，因为通篇是由我从头一点一点推理到尾的。这不是一本典型的数学教材，后者往往以短小精炼为优点，以展示数学演绎的精致与典雅，其基本排版往往形如：“定义1……定义2……引理1……命题1……命题2……定理1……推论1……”，中间毫无废话，紧凑有序。这是数学圈子内部的标准写作方式，但显然并不适合外部的读者，我想也不适合刚入门的学生——至少我念书时很是痛苦。所以，我的这本书不同。从第1章开始，我便与你面对同样的问题，我会记录下我的思考、疑问、猜测、动机、尝试、失败，当然还有成功。最终，一环套一环，我们一起走到最后。所有定义均有动机，所有命题均有原因，所有结论均有证明，你会看到一个完整的思考与探索的过程。侦探推理小说中似乎有所谓的本格派，意思是作者与读者始终站在同样的水平面进行推理。本书大概也是这个味道。当然，就像侦探小说作者终究知道凶手是谁，我好歹也是知道大方向的，但中间的各种小路我真的是边写边磕，偶尔也会走错路，希望这能带给你真实的体验。

本书严格忠实呈现了现代数学 。我不是职业数学家，这不是我的学术专著，我没有在书中创造哪怕一个新的概念，提出哪怕一个原创发现。书中所有的定义都是现代数学中的标准概念，可以在任何一本相关数学教材中找到。进而，所有的命题与定理也都是现代数学理论中的经典结论。正如上一段所言，我在尝试将这些概念串在一起，让自己从仿佛一无所知开始，自然地启发出现代数学中的那些概念与定理。其实，书中的每一章如果横向拓展出去，都是数学中的一门大分支，都支撑着非常宏伟的构建，都会是数学系本科生甚至研究生一学期的课程：

·　第2章：数理逻辑

·　第3、4章：集合论

·　第5章：代数

·　第6章：域论

·　第7、8、9章：伽罗瓦理论

·　第10章：群论

但好在我们目标明确，就是要回答五次方程是否有求根公式，于是我便仅会走到哪里说到哪里，以最快的速度带你披荆斩棘登上山顶，所有无需提及的一概不提。如果你被某一处吸引想了解更多，我在所有概念定义之处都附上了其英文——毕竟英文是当今学术界的通用语言——也在一些地方给出了参考文献，它们都有助于你进一步搜索与查询。

本书是严密的 。虽然以通俗为目的，但我没有放弃一丝现代数学要求的严密性。字里行间的叙述可能是随意的，但任何概念的定义都会是明确的，任何命题与定理都有最高标准的严格证明。不仅如此，所有的引言我也都仔细地进行了考证，会找到其原文，有些会给出参考文献。

其实有时候想想很是奇怪，任何一个普通人都能欣赏美术、音乐、雕塑，但鲜有人说我们来欣赏数学。诚然，前者基于直接的感官刺激就已经能感受到美，而后者需要审美者动一动脑子，是不轻松的。但我想，可能更主要的原因在于，社会上——至少在中文世界里——尚无一个东西，能将数学之深刻的美稍微呈现出来一丝，让你我能够稍轻松地触达。我们有通俗的数学科普，但它们往往几乎完全丧失了数学对严密概念与演绎的追求，食之无味；我们也有经典的教材，但除了数学系学生外往往唯恐避之不及。本书即为我的尝试，希望能结合科普之通俗，同时不失数学之庄严。

当然，必须承认这是有点挑战的，因为表达数学不会像叙事讲故事般行云流水，阅读数学也难以像读小说般一目十行。首先，在推理过程中，叙述完一个结论后往往会紧接着先给出证明，然后再接着推理，这偶尔会有点“出戏”。其次，行文中不可避免会有很多公式。与文字不同，当它们被印刷凝固在纸张上后，已经不再有什么顺序来指引阅读了，一个承载着复杂含义的二维平面符号直接呈现在了我们眼前。尚未熟悉之前，肯定是需要驻足思忖片刻才能领会的。第一次阅读时，可以选择性地跳过一些细节以及证明，先囫囵吞枣地把握整体脉络与推理逻辑，随后有兴趣的话再回过头来把略过的地方补上，甚至自己来推理，并将书中内容作为参考答案。不瞒你说，我读数学书的时候就是这么做的，那些陌生的符号、复杂的公式以及冗长的技术性证明细节我第一次见时头也疼！

正如欣赏画作不需要是画家，品尝美食不需要是厨师，我的本职是工程师，我不是职业数学家。但我有幸毕业于数学系，我攀登过数学的山峰，披过荆斩过棘，登上过前人到达过的山顶，体会过一览众山小的快感。希望在这本书中，我能成功将这份美与快乐分享给你。

一般作者最后都会自谦一下，说本人能力有限或者写作仓促，如有错误，多多包涵云云。我并不赞赏这种谦辞。我自信能力不错，写作时间也充分，故对我交付的内容承担责任与保证。我认真检查了书中的推理与证明——毕竟它们关乎的是严密的逻辑，正确与否是泾渭分明的——自信不会有差错。当然，如果你还是发现了问题，欢迎通过出版社联系我！

最后，欢迎您阅读这本书，祝您旅途愉快！

韩旭
2020年5月10日

为了人类心智的荣耀

法国数学家雅可比（Jacobi）所言，法语原文为（Pour）l’honneur de l’esprit humain。1830年7月2日，在给法国数学家勒让德（Legendre）的信中，雅克比吐槽另一位法国数学家傅里叶（Fourier）道：“傅里叶先生认为数学的主要目的是公共效用以及解释自然现象，但是作为他这样的哲人应该认识到，科学的唯一目的是人类心智的荣耀……”