下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
有了映射与关系的概念，我们可以继续完善对数的构造了。在定义3.45中我们构造出了自然数集 N ，但尚未构造出关于自然数的加减乘除。我们先来把它们补上。
什么是加法？+1无非就是取这个数的后继，+2就是取+1的后继，+3就是取+2的后继……这启发我们用递归的方式来定义加法。
定义4.26 自然数 加法 （addition）是一个如下递归定义的函数
其中后继 S 由定义3.41给出。按照习惯，我们将+（（ n,m ））写作 n + m 。
递归的想法很简单：加上一个数的后继，等于先加上这个数，再取后继，直到降至加零，此时维持这个数不变。那么这个定义满足“+1就是取后继”的直观预期吗？放心。
命题4.27 令 n 是一个自然数，那么 n +1= S （ n ）。
证明 因为1= S （0），由定义我们有 n +1= n + S （0）= S （ n +0）= S （ n ）。 □
推论4.28 1+1=2。
证明 因为1+1= S （1）（命题4.27），而记号2被定义为 S （1）（定义3.42），故1+1=2。 □
啊哈！我们成功证明了1加1的确等于2！不过要知道，此时这个算术等式已经不再是小学学习加法时空降般本能地成立，而是在纯粹形式基础上的一条坚实定理！其中“1”和“2”源自定义3.42，加号“+”源自定义4.26，等于号“=”源自定义3.17。追根溯源，所有这一切都源自定义3.13中那个公理系统。幸运的是，这一切毫无意义的形式符号与演算，吻合了我们的本能与直觉。一亿年以后的地球上——或者一亿光年以外的某个其他星球上——一切符号的意义都可能发生变化，但推论4.28依旧会成立，1加1永远等于2——它就是这么纯形式地永恒成立着，对应或不对应于某个外在的解释。
其实，数学家们为了搞明白何谓1+1=2没有少花工夫。与现代数学大厦的巍峨与庄严不同，20世纪初，数学是深陷模糊、悖论与矛盾的一片烂摊子，史称
第三次数学危机
，也叫
数学基础危机
（foundational crisis of mathematics）。当时为了消除悖论重建数学基础诞生了三个学派：布劳威尔（Brouwer）的
直觉主义
（Intuitionism），其主张数学应建立在人类的直觉之上，不承认任何不能被构造出来的东西；罗素的
逻辑主义
（Logicism），其主张数学应建立在人类本能的逻辑之上；希尔伯特的
形式主义
（Formalism），他的主张我们已经知道了——数学应建立在形式之上。1900年代，罗素和怀特海（Whitehead）出版了近2000页的三卷《数学原理
[7]
》，尝试将整个数学重构于逻辑之上。在第一卷用了近700页打基础后，他们在第二卷的第86页终于第一次证明了1+1=2！看来我们登山的速度快多了，不是吗！当然，这是因为前面的登山者已经把路都给铺平了。
明确了加法，我们再来看看乘法。×1在做什么？没做什么，保持原来的数不变。×2呢？×1后再加上本数。×3呢？×2后再加上本数……于是，显然我们还是用递归的方式来定义乘法：乘上一个数的后继，等于先乘以这个数，再加上本数，直到降至乘以0，此时等于0。
定义4.29 自然数 乘法 （multiplication）是一个如下递归定义的函数
其中后继 S 由定义3.41给出，加法+由定义4.26给出。按照习惯，我们将×（（ n,m ））写作 n × m 。
很好！至此我们的自然数能加能乘了！但俗话说加减乘除，还缺减和除。我们先来看看减法。我们也想将减法定义成一个函数，但问题来了，定义域和值域是什么呢？可以和加法一样吗？
不能！因为1−2已经不是一个自然数了！所以值域不能是 N 。此时我们有两种选择：一是规定1−2非法，我们不对（1,2）这样的组合定义减法，这对应着缩小定义域；另一种选择是，我们扩充值域，将1−2囊括进去。
我们不妨先来试试第一种思路，定义域要缩小成什么呢？不难发现只应允许第一个数“大于等于”第二个数的那些组合：
N ⩾ :={（ a,b ）∈ N×N| a ⩾ b }
然后把减法定义成
−: N ⩾ → N
那问题又来了，大于等于号“⩾”是什么意思？我们可还没定义过它呢！显然这个方向不但徒增麻烦与限制，且不符合直观。毕竟我们现在早已习以为常负数了，1−2=−1有何不妥？！于是，我们选择第二条路，扩充自然数集 N 将负数囊括进来，使得减法能够顺利定义。这个扩充后的集合，就是 整数集 。