| 第4章 |

抽象

上帝创造了整数，其余的一切都是人造的。

克罗内克

数学的一切均关乎明确与抽象。何谓明确？即对于任何概念，均有无歧义的定义。这里有两个关键词：“有”和“无歧义”。在引入一个新的概念时，我们必须要说明它是什么，即确保有定义。不仅如此，还不能随便说，必须要用已有的定义——直至最底层的集合论的语言——来说，以保证无歧义。那什么又是抽象呢？抽象，按字面意思来说便是“抽”去表“象”，留下本质。所谓本质，就是那些于我们探究目的相关的性质（洞察2.8），而所谓表象，即承载着那些性质的特定具体对象。

在第3章中我们构建了自然数 N ，建模了我们习以为常的数数。不知你有没有意识到，数字不仅有用来计数编号的功能，还有另一项很重要的功能：用来表达测量结果。所谓测量，究其本质也是在数（第三声）。比如，我们拿一把尺子来测量一段距离，其实是在数这段长度需要多少个尺子来覆盖。如果恰好是整数个尺子长度，比如三个，我们就说这段距离是三个尺子。

如果没法恰好覆盖，两个有余三个不足呢？没关系，我们可以将尺子缩短一点，比如一撇两半，运气好的话发现五个半根刚好量完。于是这段距离就是五个半根尺子，这便是分数的由来。毕达哥拉斯的所谓“万物皆数”，也正包含着世间万物都能用分数进行度量的含义。于是不难想见，当他发现正方形对角线长度没有办法用分数来度量时，是多么的崩溃。

下面就让我们继承毕达哥拉斯的信仰，明确与抽象地重新把“数”建立起来，让它重回“万物的尺度 ”！为此，我们要做一点准备工作。