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第2章我们建立了用于说话的语言，在这一章我们利用这门语言构筑了一个真实的体系，即公理化集合论。它将为我们接下来的一切数学表达与证明提供坚实的基础，让一切都建立在毫无歧义的严格定义之上，确保任何概念都在明确意义上是合法有效的。
当然，我们不会像计算机或机器人一般真的使用形式化的证明，我们依旧用中文来说话，依照常识进行推理，用1、2、3来计数。但是请相信，这一切都是能被形式化的，都是能被翻译成若干无意义的符号经由无意义的规则串联起来的公式链条的。
作为这个体系的牛刀小试，我们定义出了自然数。但还没到休息的时候，接下来要做的事情还有很多。首先，目前自然数还只是存在着，彼此间尚不能进行运算。另外，在本章开头提出的关于
的问题也没有被解答。接下来，我们将以集合为语言，建立自然数的四则运算，建立整数、分数与实数，进而彻底且严密地回答
是什么
！
[1] P （ x ）可以读作“ x 使 P 成立”。所谓“关于性质的描述”，形式地说来，即一个一元谓词。但这里我们并未在严格建立公理系统，故凭借直觉理解即可。
[2] 也有人会使用记号∃!，但我喜欢此处定义的记号，因为恰好中文里“唯一”一词含有数字“一”，用∃ 1 很方便记忆。英文中unique虽然与1有关系，但还是隔了一层，故他们才使用了感叹号罢！
[3] 这个等号很容易按照定义3.17证明出来。如果你好奇为什么要用这个奇怪的 y ∪{ y }，不用着急，到了3.3节其义自见。
[4] 严格说来，这里我们写下的不是 一个 公理，而是无穷多条，对任意一个二元谓词 ψ 都有一条。如2.7节最后所说，谈论“任意二元谓词”在一阶逻辑中是做不到的，需要更高阶的逻辑。不过，数学家们引入了所谓 公理模式 （axiom schema）的概念，来允许在定义公理时指定任意前提对象，所以替换公理准确的名字是“替换公理模式（Axiom Schema of Replacement）”，不过我们略过这些技术细节。
[5] 定理3.32也称作 分离公理 （Axiom of Separation）。事实上，公理化集合论的公理选择在学界并不是统一的，有些作者不把替换公理纳入系统，而是选择分离公理。不同公理之间能够推来推去，最终得到的公理系统都是一样的。由于我们已经纳入了空集与替换公理，于是分离公理就成了一个定理了。
[6] 证明两个集合 A 和 B 相等的惯用套路是，先证明 A⊂B ，再证明 B⊂A 。当然，这也是集合相等的定义（定义3.17）。