小结

我们用了很大的篇幅发明了一个语言，以将我们的推理建立在一套永恒有效的基石之上，同时使得我们能够把握、理解、进而计算我们的推理。事实上，能够仿若人类般推理，是关于人工智能最初的探索。在我看来，这一层智能——关于演绎的人工智能——人类早已实现，自图灵（Turing）发表其划时代的论文起 ，这趟征途的巅峰便是可编程计算机的发明。如今，我们周遭的一切都有着计算机程序的影子，而编程所依赖的计算机语言，正是一个个形式语言！

然而另一方面，我们走到头了吗？形式逻辑足够建模我们人类所有的证明、论证与推理了吗？能充分解释与把握人类的心智了吗？并不能。20世纪初，当时最伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）曾提出了一个雄心勃勃的计划，即所谓 希尔伯特计划 （Hilbert’s program），其核心是如下问题：

问题2.56 能否用一个公理系统建模整个数学？

很遗憾，计划开始还没几年，1931年，哥德尔（Godel）便证明了一个彪炳史册的伟大定理：

定理2.57 （哥德尔第一不完备性定理Godel’s First Incompleteness Theorem） 如果一个公理系统是一致的，且足以建模自然数算术，那么在其中存在一个命题，其与其否定均不可证 。

在证明中，哥德尔于系统内构造了一个命题 G ，其有两个身份。在数学这个希尔伯特试图建模的目标体系中，它是一个关于自然数的断言，且哥德尔说明了其是正确的。但是，在其所处的形式系统中，哥德尔证明了 G 与¬ G 都是不可证的（参见文献[7]第VII章C节）。于是我们不得不遗憾地承认：

洞察2.58 关于数存在这样的结论，它是正确的，但无法被形式地证明。

我们的所有努力，可以浓缩在图2.2中。我们利用直觉本能在寻觅一个形式系统，其建模我们的演绎推理本能。在这个形式系统之上，我们继续构建一个形式系统以建模我们本能演绎推理中数学的部分，那便是我们在下一章中将要讨论的所谓公理化集合论。很遗憾，我们能够证明无论怎样的形式系统永远不会足够强大到完全覆盖我们的全部本能与直觉，永远都有形式可证之外的直觉真理。但是，这并不会阻止我们探索的脚步。一来，数学家哲学家们依旧在努力构建着更强大的形式系统，使其能尽可能多地覆盖我们的直觉。另一方面，我们也借此为自己的思维与推理划定边界——我们只允许、只承认那些能够被形式化的推理，画地为牢，只在自己为自己划定的边界中进行数学探索。何必作茧自缚？因为我们相信，只有在那个矩形框中进行的推理，在其中得到的定理，才可以肯定是 永恒 有效的真理。

虽然有内蕴的缺陷，但是请放心，现代数学所基于的形式系统已经足够强大，足以覆盖直觉上所能想象的几乎全部推理。于是，我们接下来并不会纯形式地来叙述与证明命题和定理，而是依旧用我们熟悉的中文，按照熟悉的直觉演绎来推理。请相信，我们所写下的每一段证明，所得到的每一个结论，都有着坚实的形式基础，如有必要都能被翻译成毫无意义的形式符号串。

接下来，我们就要在形式逻辑的基础上，开始形式化数学。如果你对哥德尔不完备性定理中的“建模自然数算术”感到困惑的话，不用着急，这正是我们接下来将要越过的山丘。还记得我们之前提出过的问题“什么是数”吗（问题2.6）？我们将利用谓词逻辑这门语言，开始搭建数学大厦的第一层—— 集合 ，并通过它来构建我们再熟悉不过的概念—— 数 。

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[1] 现代数学告诉我们存在着无穷无尽种 几何 （geometry），有些于其中成立毕达哥拉斯定理，有些不成立。前者被称为 平坦的 （flat），后者被称为 弯曲的 （curved）。现代宇宙学一个很大的课题便是回答我们的宇宙到底是平坦的还是弯曲的。诚然我们在地球上的测量显示直角三角形两边平方和的确等于斜边的平方，但那未必不是由于测量误差导致的，换上精度更高的尺子可能会发现实际上二者并不相等，这样一来毕达哥拉斯信仰的分数说不定就够用了！但无论如何，在平坦的几何中，分数肯定是不够的， 是存在的。据我所知，如今的各种实验基本都表明我们的宇宙是平坦的。

[2] 据我所知自然语言词汇所能描述的最大数是10 ¹⁰⁰ ，其中文为“古戈尔”，英文为“googol”。著名的Google公司即得名于这个词的改写。

[3] 逻辑连词也被称为 真值泛函 （truth functional），如果你熟悉泛函分析，应该不难看出其中原因。若将原子命题看成一个取值为真或假的函数，那么这些连接词是函数的函数，便是泛函了。不过这里的泛函并非数学中的概念，而是哲学家与逻辑学家使用的一个术语。

[4] 即GB2312标准收录的6763个汉字。显然，任何一本逻辑学的教科书都会定义英文字母为符号，但作为一本中文的通俗读物，我们选择使用中文。这不但没有增加或损失什么（因为只要符号个数是有限个大家就都是等价的），反而带来了一些便利。比如，我们通常会用英文字母来 代指 命题，比如 P ：“今天是星期一”，然后写 ¬P 之类的公式。但是要注意，字母“ P ”本身并不是形式语言中的符号，而是我们自己的语言中的符号，代指着命题逻辑中的一个命题（这一点后文还会提到）。如果使用英文，这样的语言角色转换必须要小心，但若使用中文则天然没有这个问题。

[5] 这个式子的右边直观来看无非是在说“ P 或 Q 成立，且并非同时成立”。

[6] 其实，我们只需要定义一个连接词 与非 （alternative denial） ↑ ，便能够表达出任意连接词。它可以直观理解成“不全为真”，即仅当 P 、 Q 都为真时， P↑Q 为假，其余都为真。但如果只定义这一个连接词，虽然理论上无伤大雅，但不免偏离直观，所以我们按照惯例定义五个连接词。

[7] 有的作者使用记号 ⇒ ，虽然这与我们上学时的记号相吻合，但终究不是一个东西，我们这里遵循文献[3]中的记号。当然，逻辑记号在学界并不统一也是个事实。

[8] 我相信这个概念最早出自罗素（Russell）所著《数学原理》（ Principles of Mathematics ），其中他区别了material implication与formal implication两种蕴含，前者为定义2.32中的蕴含连词，后者即为我们这里的逻辑蕴含（参见文献[4]第15节）。注意⊨也被用于声明一个命题是重言式（定义2.37）。如果你熟悉概率论，可以这样理解：类似条件概率，逻辑蕴含无非就是条件重言式。

[9] 既然是规定，那自然可以有别的规定。除了命题逻辑之外，还有其他的逻辑模型，在其中命题可以有真假之外的取值。比如所谓的 模态逻辑 （modal logic），其中一个命题可取值“可能的”与“必然的”（参见文献[3]第49页）。显然这套理论是为了建模我们日常那种模棱两可的推理。

[10] 正是由于这样的习惯写法，直观说来谓词即 命题函数 （propositional function）：输入若干变量的赋值，返回一个命题。这也通常会作为谓词的非形式定义。但严格说来，此处的“函数”只是哲学上的一种朦胧地表示对应的概念，我们在后文将基于谓词逻辑层层搭建将“函数”的概念在数学中严密地定义出来。

[11] 再提醒一次，“ ∀x :Sunny（ x ）”并不是谓词逻辑中的公式，因为Sunny不是其中符号，“ ∀x : x 是晴天”才是其代表的谓词逻辑公式。当然，此时我们尚未将小写字母 x 纳入字母表，这个稍后会在定义时补上。

[12] 至今为止我都刻意回避了谈论“相等”，在谓词逻辑的定义中也没有出现等号“=”，这样的选择称为 不含相等的谓词逻辑 （predicate logic without equality），相应地自然有 含相等的谓词逻辑 （predicate logic with equality）。我之所以这么选择的原因有二，一来“相等（equality）”实际上是一个非常复杂的概念，深究起来有三个相关概念，即 相同 （identity）、 等价 （equivalence）与 外延 （extensionality）（详见文献[3]第30节）但它们无关乎本书主旨，要聊起来就没边了。二来，我们将使用“等价”的概念取代“相等”，这不仅够用了，而且我觉得更体现了现代数学的抽象精髓。不过也不用担心，我们总可以用已有的符号定义出“等号”来。

[13] 增加小写字母与数字是为了能写下诸如“ ∀x ₁ : x ₁ 很开心”这样的公式。当然，我们可以不引入它们，而是写“ ∀ 甲：甲很开心”，但这就未免太刻意了。另外，我们就不限制字符可以摆放的位置了，上标、下标等都允许。 qQi8IrSu/WFhsYB3pDxFZc+6pMgMWq2FURM4zgrnp5wDiNo7kpy/2HYNSdD1PFKN