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命题逻辑为我们日常推理时不自觉使用的很多方法（如反证法）提供了坚实的保障。但是不得不说，它还弱的很！为什么这么说呢？这是因为，仅在命题逻辑的体系内，我们根本无法谈论日常论证中两个非常重要的概念：“存在”与“任意”。不妨回看一下定义2.45，其表述中含有“对于任意一个命题”的字样。定理2.46的证明开篇也便说道“我们考察任意一个命题”。让我们试着在命题逻辑中形式化一下“任意”。一个办法是，那就把所有的命题罗列出来一个一个论证！但显然按照命题逻辑的语法，命题可是有无穷多的！前面提到过我们建模的一个最基本的要求是只能进行有限论证，任何证明都只能有有限步，所以这一条路走不通。另一条呢？我们直接讨论命题“对任意命题均成立……”的真假不就好了？但是很遗憾，前面也说过，命题逻辑压根不关心一个命题是真是假，仅关心它可真可假有两种可能性，于是“在命题逻辑中论证一个命题是真”本身就是一个毫无意义的话。总而言之，我们不得不遗憾的承认：
洞察2.49 定义2.45所述“一致性”是无法在命题逻辑语言中被形式表达的，定理2.46的证明也是无法形式化成定义2.40所述“证明”的。
为了解决这个问题以更完善地建模我们的推理直觉，我们必须把考察的粒度变得更细。让我们打开原子命题，进入其内部的结构，更加深入地审视我们的演绎推理。我们将要关注的命题，是形如“我爱你”这般的主谓（宾）结构的命题，称之为 谓词 。
定义2.50 我们称 变量 （variable）是这样一种形式符号，其在给定解释下可以被替换为不特定值，并称其所有可能的赋值为其 论域 （domain of discourse）。
简单地说，论域就是我们讨论话题的边界。变量可以代表边界内的任何对象。比如一个字母 x ，若论域是人，我们可以说它代表“张三”“李四”“王五”……
定义2.51 我们称一个 n 元 原子谓词 （atomic predicate）是一个包含 n 个变量 x 1 ,x 2 ,… ,x n 的符号，其中 n ⩾0，且其在这 n 个变量的任何赋值下均是一个命题。我们称 x 1 ,x 2 ,… ,x n 为 自由变量 （free variable）。当 n =0时，原子谓词退化为原子命题。
可以看到变量是比命题粒度更细的符号，是构成命题的局部组件。我们用英文来在观察者语言中代指原子谓词 [10] ，比如
· Sunny（ x ）：“ x 是晴天”
· Love（ x 1 , x 2 ）：“ x 1 爱 x 2 ”
· Run（ t ）：“ t 会跑”
接下来是关键：在任何变量赋值下这些符号会变成一个命题！命题是什么？是一个能且只能为真或假的符号。比如一个可能的赋值与解释是：
· x 赋值为“星期二”，Sunny（ x ）即为“星期二是晴天”，且为真；
· x 1 与 x 2 赋值为“张三”和“李四”，Love（ x 1 , x 2 ）即为“张三爱李四”，且为假；
· t 赋值为“猪”，Run（ t ）即为“猪会跑”，且为真。
基于原子谓词，我们终于可以形式地谈论“存在”与“任意”了。
定义2.52 我们称 谓词 （predicate）是如下递归定义的形式符号：
· 原子谓词是谓词；
· 若 P 是谓词，那么¬ P 也是谓词；
· 若 P 和 Q 是谓词，那么下述符号也都是谓词：（ P ∧ Q ）、（ P ∨ Q ）、（ P → Q ）、（ P ↔ Q ）；
· 若 P 是一个包含若干自由变量的谓词，那么下述符号也都是谓词：（∀ x : P ）、（∃ x : P ），其中 x 是 P 的某个自由变量。
我们称符号∀为 全称量词 （universal quantifier），符号∃为 存在量词 （existential quantifier），称被 绑定 （bind）量词的符号 x 为 约束变量 （bound variable）。特别的，若 P 只有一个自由变量，其在绑定量词后变为一个命题。
逻辑连词¬、∧、∨、→、↔的定义与命题逻辑的定义2.32相同。对只有一个自由变量的谓词 P （ x ），在给定解释下，若对 x 论域中的任何值 a 命题 P （ a ）都为真，那么命题∀ x : P （ x ）为真，否则为假。命题∃ x : P （ x ）的真值被定义为¬（∀ x :¬ P （ x ））。
直观说来，“∀ x : P （ x ）”就是在说“对任意 x 成立 P （ x ）”，“∃ x : P （ x ）”就是在说“存在 x 成立 P （ x ）”，其被定义为“并非对任意 x 均不成立 P （ x ）”。
我们之前说过，有限论证的要求使得命题逻辑无法处理无穷，存在与全称量词正是来弥补这个不足的。单独看上去， P （ x ）只是一个谓词，不同 x 的赋值会得到不同的命题。但只要把全称或存在量词一加，我们便一揽子谈论了所有可能性，给出了一个或真或假的命题！
举个具体的例子，考虑谓词Sunny（ x ）：“ x 是晴天”， x 的论域是日期。于是Sunny（星期一）、Sunny（2020年1月1日）都是命题，可真可假。Sunny（ x ）自己并不是命题，无所谓真假。但∀ x :Sunny（ x ），即“∀ x : x 是晴天”就是一个命题了 [11] ，在我们的世界里其被解释为“对于任意 x 成立 x 是晴天”，显然是假的，但在其他世界中可能就是真的（比如没有大气和水的月球上？），总之可真可假，是一个命题。
再来看一个复杂一些的，考虑谓词“ x 爱 y ”。那么
∃ y : x 爱 y
是命题吗？不是，因为它还剩一个自由变量 x ，所以依旧是一个一元谓词。再来一下呢？
是命题吗？这回就是了！因为它已经没有自由变量了，所以是一个可真可假的命题。如果你忍不住要问那它到底是真是假呢？一定要忍住，因为我们不关心这个，也不能问。
当然，在我们所处的世界中，命题（2.6）还是能被说出个真假的。这句话翻译过来就是“对于任意 x ，存在 y ，使得 x 爱 y 。”如果把论域限定为“人”，那便是“对于任何人，都存在一个人爱他”，看起来是真的呀——任何人都有父母嘛。那现在问题来了，我们把两个量词颠倒一下呢？
翻译成啥呢？“存在一个人，所有人都爱他”，这就不大可能了吧！于是，我们得到了一个重要的领悟：
洞察2.53 存在与全称量词的顺序至关重要。
至此，在命题逻辑的基础上，我们构建了一个更加强大的语言 [12] 。
定义2.54 谓词逻辑 （predicate logic）是一门形式语言，其字母表与语法定义如下：
· 字母表：在命题逻辑的基础上增加∀、∃、：三个符号，26个小写字母，以及10个数字 [13] ；
· 语法：一个公式是合式公式当且仅当其为一个谓词（定义2.52）。
与命题逻辑一样，我们接下来可以继续深入研究谓词逻辑。比如，将其从语言升级为公理系统，然后研究证明与推理等。再比如，谓词逻辑又叫 一阶逻辑 （first-order logic），于是自然还有二阶、三阶等更高阶逻辑。它们的区别在于，一阶逻辑允许我们谈论“任意变量”，二阶逻辑进一步允许我们谈论“任意一元谓词”，等等。所有这些试图建模人类本能逻辑的形式系统统称为 形式逻辑 （formal logic）。但我们到此为止——因为够用了。
断言2.55 一个公认的事实是，谓词逻辑足以形式化足够广泛的演绎推理本能，为人类的演绎推理提供了一个坚实的纯形式的公理系统基石。