2.4　这个结论靠谱吗

可能你并未察觉，我们的 推理 （reasoning）分两种： 演绎推理 （deductive reasoning）与 归纳推理 （inductive reasoning）。前者基于已蕴含在概念本身之中的含义，而后者基于推理者拥有的在概念之外的经验。

我们来看一个推理：因为小明是单身，所以他没有对象。如果你忍不住想喊一句“废话！”，那就对了！这就是演绎推理最主要的特征：没有提供任何额外信息，全部是在同义反复。为什么我们天然觉得它是废话呢？因为“没有对象”这个结论早已蕴含在“是单身”这个前提概念之中了。类似的例子还有很多，比如：

·　因为小明不吃水果，所以他不吃草莓。

·　因为所有人都终有一死，所以我不可能永生。

·　因为苦瓜是苦的，所以并非所有瓜都是甜的。

显然，只要我们按照惯常的理解来解读这些推理中的“水果”“草莓”“所有”“苦”“并非”“甜”等概念，会发现它们全部都是在基于已蕴含在文本概念之中的含义在绕圈子。

再来看这个推理：我有生之年经历过的艳阳高照的日子都不曾下雨，故所有出太阳的日子都不可能下雨。很遗憾，我们知道这个结论是不成立的，因为有所谓太阳雨的现象。在极罕见的情况下，大晴天也会下雨。究其推理失效的原因，是“不下雨”这个概念并未蕴含于“出太阳”这个概念之中，整个推理基于的不是对概念的拆解与演绎，而是 我 这个推理者的 经验 。其不但处于概念本身之外，而且有限，故由此推出的关乎“ 所有 出太阳的日子”的结论是不可靠的，是会出错的。

类似的例子在数学中更是比比皆是。比如职业律师兼著名业余数学家费马（Fermat）曾经发现形如

的数在 n =0,1,2,3,4时分别是3,5,17,257,65537，它们都是质数 。然后他就不继续算 F ₅ 了，直接推测 所有 F _n 都是质数。结果，数学家欧拉（Euler）后来发现

其并不是质数。

费马的错误讲真不算情有可原，或许都不能说他有逻辑问题，只能说他有点懒——咋才算了5个就不算了，好歹再多算一个嘛！让我们再来看一个极其情有可原的例子，也是与研究质数有关的。数学中有所谓 质数计数函数 （prime-counting function）

π （ x ）:=不超过 x 的质数个数

比如 π （100）=25，表示不超过100的自然数中有25个质数。与寻找方程的求根公式一样，数学家们一直想找到一个公式，能够对任意 x 直接给出 π （ x ）的值。时至今日，很遗憾，我们尚没有这样的公式，但人们找到了一个不错的近似，即所谓 对数积分 （logarithmic integral function）：

它的近似效果有多好呢？从表2.1的第四列我们能看到，非常好！不仅如此，从第三列我们还能看到，似乎li（ x ）总是比 π （ x ）大。无论是当初人们用纸笔手算，还是到了近代借助计算机，历史上所有的计算结果都表明li（ x ）比 π （ x ）大。于是，很长一段时间内，人们都相信li（ x ）永远比 π （ x ）大。然而事与愿违，在1955年数学家斯丘兹（Skewes）证明了存在一个 x 使得li（ x ）比 π （ x ）小。这个 x 在哪儿呢？不知道，只知道它不超过

这是一个有 位的数！我都不知道有什么中文词汇能写下它 ^[2] 。最新的研究成果表明这个第一次让li（ x ）比 π （ x ）小的数极有可能在1.397×10 ³¹⁶ 附近，这也是一个有着三百多位的超级大的数啊！即使我们使用每秒计算十亿亿次的计算机，并夸张估计宇宙年龄有200亿年，也只能计算6.3×10 ³⁴ 次，离它还差了282个数量级……怪不得我们即使用计算机来算，也至今都没有发现哪怕一个使得li（ x ）比 π （ x ）小的 x ！其实，情况比我们料想的还要糟。斯丘兹不仅证明了这样的 x 存在，还证明了有 无穷多 个这样的 x ！我们从未发现它们，只不过是因为我们有限的经验、有限的计算能力、有限的时间与空间尚无法触及它们罢了。

从前面几个例子我们能看到，基于有限的经验归纳出的关于全体、关于无穷的结论是多么的不可靠，这便体现了演绎与归纳的一个非常重要且本质的区别：归纳是会出错的，但演绎不会！艳阳高照时可能下雨； F ₀ 、 F ₁ 、 F ₂ 、 F ₃ 、 F ₄ 都是质数但 F ₅ 却不是；至今我们都未找到一个比 π （ x ）小的li（ x ），但这种情况会发生无穷多次……然而，另一方面，单身的小明永远肯定没有对象。

顺便提一句，说了这么多归纳推理有多么“不靠谱”，那问题2.17中的数学归纳又何以有效呢？多了“数学”这两个字，一切就不同了？没错，就不同了。“数学”这个前缀正是为了区别其与一般生活中那基于有限经验的归纳。我们不是在说“因为某命题对0，1，2，…， N 成立，所以它对一切自然数成立”——这一看就是有问题的——而是在说“因为某命题对0成立，且由其对一个数成立总能推出其对下一个数亦成立，那么它对所有自然数都成立”，这就明显符合直觉了对吧！放心，我们接下来会建立一套理论，其允许使用数学归纳法从有限推理至无穷，并确保这种跃迁是有效且可靠的。

区分了演绎与归纳，可能你要问，如果说逻辑是研究演绎推理的，那归纳推理就不管了吗？当然不是，作为日常生活中非常重要的一种推理手段，归纳推理当然要研究，这便是名为统计学（Statistics）的数学分支所关注的领域。其旨在建立一套理论，让我们能更好更有效地利用经验来进行推理。这里顺便聊一些私货。其实，现如今大红大紫的所谓基于深度神经网络的人工智能，在方法论上我看来并无新鲜事，无非是统计学的衍生。得益于互联网与硬件的发展，我们能够将更多的经验 输入给模型 并归纳总结 它们，这几乎要让人们淡忘了“智能”演绎的一面，以及历史上诸多先人为探索演绎智能所做出的贡献与成就。依我看，正是因为基于演绎推理的智能早就被先人探索到头了，人们卡在瓶颈太久了，才导致在归纳推理上的一点突破，被赋予了不着边际的夸张价值。要知道，开启信息时代的计算机编程理论，正是从基于形式语言的数理逻辑理论发展起来的，我们其实早已浸润在演绎推理所塑造的宏伟智能之中——我们用的电脑手机、玩的游戏、坐的汽车飞机，这一切我们早已习以为常的事情，都是基于自古希腊起人类对演绎推理的自省、探索与征服啊！ 0/gIvuEENegMuBXtkaGblbQ8swwKIi8LS5s0m4ipK+Y05cEfiLsq1fz3Ap5Fed00