2.1　说好的万物皆数呢

不知你是否认真想过下面这个问题：

问题2.2 什么是 ？

在开始烧脑之前，我们还是先来闲扯两句，聊聊 是怎么来的。没有 ，地球不照样转，我们的日子不也照样过吗？其实不然，至少在遥远的古希腊，有一群人的日子会过不好。

那是公元前500年前后，在爱琴海周边不知何故冒出了一群有闲的智者，他们不事生产，终日思考宇宙的本质、生命的意义等各种大问题，毕达哥拉斯（Pythagoras）就是其中一员。他及其门徒们认为“万物皆数”，即世间万物的和谐都能用数字来解释与描述。比如，当琴弦长度成简单整数比的时候，发出的和音最悦耳。要注意，毕达哥拉斯他们所谈论的“数”，是如今所谓的 自然数 ，即1,2,3这种我们打小会数的数。世间万物无外乎这些数以及它们的比例耳！这是一种信仰，支撑着毕达哥拉斯学派不断探索着自然。直到有一天，他们中的一员发现了一件不得了的事情。

这个发现来源于毕达哥拉斯学派另一个闻名于世的伟大成就，那就是西方所称的毕达哥拉斯定理——也即我们的勾股定理：

定理2.3 （毕达哥拉斯定理Pythagoras Theorem） 若一个直角三角形的两直角边长度为 a 和 b ，斜边长度为 c ，那么 a ² + b ² = c ² 。

如果我们画一个边长为 a = b =1的等腰直角三角形，按照上述公式一算，立马能得到

c ² =2

斜边长度的平方等于2，这又咋了？如果我是毕达哥拉斯，至此也不会怎样，估计会自言自语道：那就让我们来找到一个分数，其平方等于2呗！你可以试着找一找，或者相信我，很遗憾，这样的分数不存在。

断言2.4 不存在一个分数，其平方等于2。

正是这个断言 ，直接摧毁了毕达哥拉斯学派的整个信仰基础。据说，发现这件事的学生被推入大海，其他门徒也必须发誓保守秘密。但只要是真理，就有被发现的一天，它是藏不住的。时至今日， 于我们已经是一个再平凡不过的记号了。

那话说回来，凭什么断言2.4就是 真 理呢？它为什么是 真 的呢？如果要论证一个怎样的分数存在，很简单，找出来就行了。但是要怎么论证不存在呢？找了很久都找不到并不说明问题，我们得用逻辑推理来 证明 ！

断言2.4的证明 假设存在一个分数 m / n ，其平方等于2，其中 m,n 都是自然数。显然，可以不妨设它们不全都是偶数，否则可约去公因子2。我们有

即

m ² =2 n ²

注意到右边是一个偶数，于是 m 的平方是一个偶数，那么 m 必然也是一个偶数，设 m =2 k 。于是

（2 k ） ² =2 n ²

即

2 k ² = n ²

同理，这又表明 n 是一个偶数。于是， m 和 n 都是偶数，与它们不都为偶数矛盾，故假设错误，不存在这样的分数。　　　　　　　　　　　　　　　　　□

这是一段流传千古的证明，精彩，漂亮。要知道为什么这个证明震撼并摧毁了毕达哥拉斯学派——说 x ² =2这个方程无解没有人会反对，但边长为一米的正方形可是实实在在看得见摸得着地存在的，它的对角线长度就是一个平方等于二的量！可我们证明了它不可能是分数，说好的万物皆数呢？！

洞察2.5 我们周遭物理世界的几何性质逼迫我们不得不承认存在一个量其平方等于二 ^[1] 。

闲聊了这么多，无非就想说明一件事—— 的确 存在 。让我们回到正题，既然它不是分数，那它到底是个什么东西呢？如果你回答 就是1.414…，那我就要继续问了，那它是1.4142…吗？是1.4142135624…吗？这个省略号“…”是什么意思？如果你回答 是一个平方等于2的数，那什么是“数”呢？什么又是一个数的平方呢？

问题2.6 什么是数？

2是一个数吗？肯定是的咯。那“二”呢？“two”呢？相信你能感觉到，它们不但都是数，而且是在用不同的记号表达着同样的一个“东西”，即那个我们数两个苹果或两个梨时天然感觉到的量。这个感觉说不清道不明，但真真切切地存在——谁都会数数嘛。

这就麻烦了，如何刻画、把握与定义一个说不清道不明的东西呢？哲学家维特根斯坦（Wittgenstein）有言“一个词的含义是它在语言中的用法 ”。在工程界也有着所谓 鸭子测试 （Duck Test）的准则：如果一个事物看起来像鸭子、游起来像鸭子、叫起来也像鸭子，那它就是个鸭子。这指引着我们通过概念的 性质 来定义概念本身。

洞察2.7 我们通过性质来定义概念。

换言之，我们不关心一个概念 是什么 ，而关心它 满足什么 。正是概念满足的性质定义了这个概念本身。

为什么要这样呢？因为可能有很多具体的对象都 承载 着我们关心的概念，这个概念 不是 其中任何一个具体对象，而 是 所有这些对象所共同承载着的那个存在，其彰显于这些对象所共同具有的性质。如图2.1所示，如果我们要定义概念“圆形”，会发现它既 不是 “盘子”，也 不是 “车轮”，而 是 盘子与车轮所共享的那种怎么转都不变的形状。关于定义的这一点认识对后文进入抽象世界至关重要。

除此之外，我们不描述概念 是 什么还有一个很重要的原因——很遗憾，我们可能永远无法知道某个概念真正是什么。最经典的例子当属柏拉图（Plato）的 洞穴寓言 （allegory of the cave）。想象你自打出生便被关在一个洞穴里，洞口有一块峭壁，阳光将洞外人们日常生活的影子打在这块峭壁上。日复一日，你能看到的世界只有这块二维峭壁上的倒影，诚然其中有日出日落、阴晴圆缺、人头攒动……但是我们都知道，那些都只是表象，只是我们这个“更加真实”的三维世界在你的二维世界中的投影！很遗憾，你永远不可能知道这些，你永远不可能真正知道峭壁上的那些活动着的东西 是 什么。

基于以上两点，我们不谈论概念是什么，而只关心其性质，并由此定义概念本身。那么，我们选取哪些性质呢？不能太多，否则范围缩得太窄而可能有遗漏；也不能太少，不然范围太大就海纳百川了。这道边界划在哪里呢？不要忘了，任何时候，当我们在谈论一个概念时，一定是有语境、有上下文、有目的、有话题的。

洞察2.8 我们基于所在讨论的话题，选择恰好充分的若干期望被满足的性质来定义概念。

具体来说，我们现在要定义“数”，我们的语境是什么呢？是今天的天气？是一二三四的味道？当然不是。我们能懵懂地感觉到，我们在谈论的东西，关乎数（第三声），关乎运算。于是，如果一个东西能用于计数，还能进行加减乘除，那不管它是什么，于我们讨论的话题就足以被称为“数”了！在加减乘除四则运算中，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，故我们可以进一步将要求降低到能进行加法与乘法。于是，这些就是我们要找的那恰好充分的性质！

洞察2.9 数是这样的存在，其可以用于计数，彼此间可以相加、相乘。反之，如此这般的存在，便可以被认为是数。

可这还没完，那什么叫“计数”，什么又叫“相加”“相乘”呢？我们先来看第一个问题。

门前大桥下，游过一群鸭。快来快来数一数，二四六七八。 这首脍炙人口的儿歌想必你能哼出来。相比于一、二、三、四、五这些数（第四声），一个、两个、三个、四个、五个地数（第三声），几乎是生而为人与生俱来的能力。计数不过就是数数的同义词。作为如此习以为常的天生能力，要如何定义数数呢？让我们来想一想，数数时数到的“二”，其本质是个什么。英国人叫其“two”，所以显然“二”“two”这些名称本身并无关乎其本质。还有一个角度，我们可以说“二”是“一”后面的那个数，是“三”前面的那个数。那什么是“一”，什么又是“三”呢？什么是“前面”，什么又是“后面”呢？

仿佛到了一个死胡同。看来我们不能盯着“一”“二”“三”这些具体的孤立数字不放，而是要把视角抬高，先把“数数”这个概念明确了！毕竟每一个数的存在是由数数这个概念的存在衍生来的。不难发现，数数这个概念完全由如下两个性质刻画：

1．有一个计数的开始；

2．我们可以一个一个不停地数下去。

基于此，我们可以做出如下定义：

·　定义“一”为第一点所规定的那个计数的开始；

·　定义“二”为从“一”数下去的下一个对象；

·　定义“三”为从“二”数下去的下一个对象；

·　……

抛开措辞不谈，深究起来，这里还有问题。这个定义并没有排除一种可能性：数着数着会不会兜回来？一、二、三、二？也即，一个数的下一个数会不会等于之前的某个数？光看定义是有这种可能的，虽然我们可以说这一点已经被“能不停地数下去”所排除，因为不然的话，我们数数就变成“一二三二三二……”，没有“下去”呀！话虽如此，但想必你也意识到了，这正是自然语言的模糊与歧义所在，根本没有办法用它来明确定义如数数这般已然模糊不清难以明言的人类本能。于是，使用一种更加纯粹、规范、无歧义的语言势在必行！ J8kM4AwdABcKk/GHzhWh8iNx1JR+ntT75kcKxLKnBryX2KlrO5INSrfQ53+0vQpS