五

恨点不到头

新年到了，诸君也许在做“掷状元红”的游戏吧。好，我的话就从掷状元红开始。

一手把6颗骰子掷到碗里，它们叮当叮当地乱转，转到气困力竭，碰巧出现5颗六和1颗五，这叫作“恨点不到头”。真是可恨，这个名堂不过只能到手一个状元，若那一点到了头，6颗骰子都是六，便算全色，就不只到手一只32注的状元签了。所以全六比“恨点不到头”高贵得多。再说，若别人家跟上来掷出一个名堂叫什么火烧梅花——5颗红 1颗五——他就有权利把你已经到手的状元夺了去，让你只不过得到几分钟的空欢喜，所以红又比六高贵一些。

玩骰子的朋友们，哪怕赌的不过是香签棍，不过是小石子，输输赢赢最少与各人的体面有关，所以谁都不想输，也就谁都希望红多，希望全六，然而它们是多么地难于出现呵！

不是吗？掷出1颗红可以到手一个秀才，掷出2颗红可以到手一个举人，然而偏偏总是1颗幺 、2颗幺滚了出来的时候多。玩骰子的朋友，都曾有过这样的经验吧！

是什么缘故呢？

骰子的构造就有些不可靠吗？有意做得叫红不容易出现吗？

不是，不是，你想，做骰子的人，并不是靠玩骰子赢钱过活的，他何苦替别人多费这样的心，难道还真有谁会感谢他吗？

有神吧，那么！

对，这在咱们中国人看来，是一定对的：想发财，敬财神；想生儿子，敬送子观音；想打胜仗，敬关二爷……想什么就敬管什么的神。玩骰子想赢，哪能没有神！果真有位骰子神吗？玩骰子的朋友，一个运道不来，总掷不出名堂，两手捧了骰子拜揖，向着骰子呵气，这都是在求神助呀！

读《中学生》的朋友们，大约总都念过一点“洋八股”的，虽然不见得就相信上帝，虽然深夜黑洞洞地走到坟场里，还不免毛骨悚然，但总不十分愿意相信什么神鬼了。那么，上面的回答，许是不值一笑的。但是，不相信神固然好，事实总一样地存在。若回答不出一个别的理由，硬叫别人不相信，谁肯服你！

这篇就是要离开了神权来说明这个事实。

先来一个极简单的例子，那最好就是猜钱。

一个人把钱在桌子上旋转起来，随手按下去，叫你猜那钱的上面是“麻的”还是“秃的”？这是一个小玩意，但也一样地可赌输赢。

一个钱只有两面，一面麻的和一面秃的。所以任它乱转的结果，出现麻的机会和出现秃的机会，同是偶然。在这偶然中若是只希望麻的或只希望秃的，那么，达到这希望的机会，都只有一半。照数学上的说法，就是二分之一。二分之一这个数，在数学上就呼它是转一个钱出现麻的面或秃的面的概率。

一个钱是两面，所以它转动的结果，“可能”出现的不同的样子有两个。你指定要麻的面或秃的面，那么就只有一面能给你“成功”。所以概率的基本原理是：

一件事，在机会均等的场合，“成功”数对于“可能”数的“比”就是它的“概率”。

这个原理，我们有两点应得注意。第一，就是要在机会均等的场合。有些人常说，专门放赌的人，他的骰子里面灌得有铅，让别人得到了要赢的一面特别重一些，不容易滚出，这就是机会不均等。严格地说，事实上的机会均等，可以算得是没有。这正如事实上我们没有真正的圆，没有真正的直线，没有真正的平面一般，但这和我们讨论原理、法则无关系。

第二点须得注意的，也可说是概率的基本性质，概率总是比1小。若等于1，那就成为必然的了，比如你将一个钱两面都涂上红，要它转出红的面，那就是必然转出来的。

在这以外，还有点也很重要，就是概率，我们照理论计算出来，要在数目很大的时候，才和事实相近，实验的数目越大，相近的程度也就越大。用一个钱转两三次，转出来的也许就会全是麻的面，或全是秃的面，但若转到一千次、一万次、十万次，你就可以看出麻的面或秃的面出现的次数 ，渐渐近于 。赌场中有句俗话说，“久赌必输”，这就是因为成功的概率天生就比1小，赌的次数越多，这概率越准的缘故。（这只是大概的说法，真要讨论赌业的问题，这还不够。）

成功的概率比1小，反过来，失败的概率也比1小，但它俩的和却恰好等于1，这很容易想得明白，用不到再说明了。

照转钱的例子来看掷骰子：一颗骰子有1、2、3、4、5、6六面，所以掷到碗里“可能”出现的样子有6。若你指定要的是红（4），那么成功的数只是1，所以它的概率便是1对6的比，只有 ，而失败的数，却是 。两个相加等于 ，恰好是1。你若老和别人赌红，久赌你当然输。羼几闲赢话，你要赢也能够，只需你的钱多，多到用不尽。那么，比如你第一次赌一个钱，你也只想赢个对本，失败了；第二次你就赌两个，再失败；第三次赌四个……总之，把以前输出的加上一倍去赌，包管你总有一天把钱赢到手。然而，朋友！要紧的是你有那么多的钱，不然别人的概率是 ，你的只是 ，结果总是要你脱了衣服押在那里的。

譬如我们的骰子是特制的，有一面是2，两面是3，三面是4，那么，掷到碗里可能出现的数仍然是6，出现2的概率便是 ；出现3的，是 —— ；出现4的是 —— 。

再举一个别的例子：譬如一只口袋里面只有黑白两种棋子，黑的数目是 p ，白的是 q ，那么随手摸一颗出来，这颗棋子要是黑的，它的概率是 ，反过来它要是白的，这概率便是 ，两个相加恰是 等于1。

看了这几个例子，概率的概念和基本原理大约可以明了了吧！但只凭这一点简单的原理，还不能说明我们所提出的问题，原来上面的例子，说到钱只一个，说到骰子也只讲的是一颗，就是最后的一个例子，口袋里棋子的数目虽没有什么数字的规定，这只相当于一颗骰子所有的面数，而我们所已说到的还只是摸出一颗黑棋子或一颗白棋子的概率。现在，进一步，我们来看较复杂的例子。比如用两个钱转，要计算转出一个麻一个秃的概率。又比如用两颗骰子掷到碗里，要计算它出现全红的概率，以及由上面的口袋中连摸两颗棋子若要全是白的，我们来计算它的概率，这都较为复杂了。

暂且将这三个问题丢下，我们先来看另外的一个例题。比如，一只口袋里有红、白、黑、绿四种颜色的棋子，红的3颗、白的5颗、黑的6颗、绿的8颗，我们伸手在袋里任意摸出一颗来，要它是红的或黑的；这样，它的概率是多少呢？

第一步，我们知道，这只口袋里面所有的棋子一共是：

3+5+6+8=22

所以随手摸一颗可能出现的样子是22。

在这22颗棋子当中只有3颗是红的，所以摸一颗红的出来的概率是 。

同样的理由，摸一颗黑的出来的概率是 。

因为无论红的出现或黑的出现，我们的目的都算达到了，所以我们成功的概率，应当是它们俩各自的概率的和，就是：

一般地来说，比如那口袋里有的棋子是 A ₁ ， A ₂ ， A ₃ ……种，各种的数目是 a ₁ 、 a ₂ 、 a ₃ ……那么，摸一颗棋子出来是 A ₁ 的概率便是 ，或是 A ₂ 、 A ₃ ……的概率是： 、 ……若我们所要的是某几种中的一种出现，那么，我们成功的概率就是这几种各自出现的概率的和。

另举一个例子，比如一只口袋里只有白棋子5颗，黑棋子8颗，我们连摸两次，第一颗要是白的，第二颗要是黑的（假如第一颗摸出仍然放回去），这个成功的概率有多少呢？

这一个问题，乍看去好像和前一个没有什么分别，但仔细一想，绝然不同。口袋中的棋子是5加8一共13颗，所以第一次摸出白棋子的概率是 ，第二次摸出黑棋子的概率是 ，这都很容易明白。但我们现在的问题是：我们成功的概率是不是 和 的和呢？它们两个的和恰好是1，前面已经说过，概率总比1小，若等于1就成为必然的了。事实上，我们的成功不是必然的，可见得照前例将这两个概率相加，是谬误的。那么，将怎样求出我们成功的概率呢？

仔细思索一下，这两个例子，我们成功的条件虽然都是两个，但在这两个例子中，两个条件的关系却大不相同。前一个例子，两个条件——出现红的和出现黑的——无论哪条件成立，我们都成功。换句话说，就是“只需”有一个条件成立就行；在这第二个例子却“必需”两个条件——第一颗白的、第二颗黑的——都成立。而第一次摸出的是白子，第二次摸出的还不定然是黑子，因此，在第一个条件成功的希望当中还只有一部分是全然成功的希望。照上例的数字说，第一个条件的成功概率是 ，而第二个条件的成功的概率是 。所以我们全部成功的概率，在 当中还只有 ，就是：

之

因了这两种概率的性质绝然不同，在数学上就各给它一个名字，前一种叫“总和的概率”，后一种叫“构成的概率”。前一种是将各个概率相加，后一种是将各个概率相乘。前一种的性质是各个概率只需有一个成功就是最后的成功；后一种的性质是各个概率必须全都成功，才是最后的成功。

事实上，我们所遇见的问题，有些时候，两种性质都有，那就得同时将两种方法都用到。假如我们的第二个例子，不是限定要第一次是白的，第二次是黑的，只需两次中的颜色不同就可以。那么，第一次是白的，第二次是黑的，它的概率是 ；而第一次是黑的，第二次是白的，它的概率是 。这都属于构成的概率的计算。但无论是先白后黑，或先黑后白，我们都算成功。所以我们成功的概率，就这两种说，是属于总合的概率的计算，而我们所求的数是：

概率的计算是极有趣味而又是最需要小心的，对于题目上的条件一点也放松不得，但这里不是来专门讲它，所以我们就回到开始的问题上去吧！

第一，6颗骰子掷到碗里，滚去滚来，究竟有多少花头好出现呢？关于这个问题，我们先得假定一个条件，就是6颗骰子我们能够将它们辨别得清楚。照平常的情形，只要掷出1颗红，就是秀才，无论这颗红是6颗骰子当中的哪一颗滚出来的，这样，数目就简单了。

依了这个假定，照排列法计算，我们一共可以掷出的花头，应当是6的6次方，就是46656种。但若6颗骰子全然一样，不能分辨出来，那就只有7776种了（6 ⁶ ÷6）。

在这46656种花样当中，出现1颗幺的概率有多少呢？我们既假定了6颗骰子是可以分辨得清楚的，那么无妨先就某一个骰子出现幺的概率来讨论，因为我们只要1颗幺，所以除了这一颗指定要它出幺的以外，都须滚出其他的五面来才可以成功。换句话说，就是其余的5颗骰子必须不出现幺，照概率的基本原理，指定的骰子出现幺的概率是 ，其他5颗骰子不出现幺的概率每个都是 。又因为我们的最后成功，要这些条件都同时存在才行，所以这应当是构成的概率的计算法，它的概率便是：

但是，无论6颗骰子当中的哪一颗滚出幺来，都合于我们的要求，所以我们所求的概率，应当是这6颗骰子每一个出现幺的概率的总和。那就等于6个 相加，即是：

我们一看这数差不多近于 ，所以这概率可算得比较是大的。无怪事实上我们掷6颗骰子到碗里，总常看见有幺了。

依照这个计算法，我们可以掷出两个幺来的概率是：

照推下去，可以掷出3，4，5，6个幺的概率是：

将这六个概率一比较，很明白地可以看出来，概率依次减少，所以事实上六颗骰子掷到碗里滚出全色的幺来是极少有的。

在我们的理论上，一颗骰子出现1、2、3、4、5、6的机会是均等的，所以出现1颗红的概率也是 ，并不比出现1颗幺要难些。同样的理由，出现5颗六或5颗红的概率也和出现5颗幺的一样，仍是 ，而全六或全红的概率也只有 。

这就可以再进一步来看“恨点不到头”和“火烧梅花”的概率了。它不但要5颗出现六或红，而且还要剩下的一颗出现的是五。照通常的道理想起来，这第二个条件的概率当然是 。但在这里却有一点要注意， 这个概率是由一颗骰子有六面来的。然而就第一个条件讲，已经限定是5颗六或红，这颗就绝不能再是六或红。因此六面中得有一面须先除掉，只有五面是合条件的，所以第二个条件的概率应当是 ，而那两个名堂各自出现的概率便是：

从这计算的结果，我们可以知道全色比五子出现的概率小，我们觉得它困难这很合理。至于把红看得比幺高贵些，这只是一种人为的约束，并不是它的出现比幺的要更难些，到此我们的问题就算解决了。

也许，还有人不很满足，因为我们所得出的只是客观的理论，和主观的经验好像不大一致：我们将骰子掷到碗里时，满心不愿意幺出现，而偏偏常常见到的都是它。要解释这疑团倒很容易，你只需去试验几次，改过来，出现1个幺得一个秀才，出现2颗幺得一个举人，你就可以看出来，红又会比幺容易出现了，这是不是因为骰子也和我们人一般是有意志的，而且惯和我们为难呢？

说骰子也有意志，而且还是惯和我们为难，这似乎太玄妙了，比说有鬼神在赌场上做主宰还更玄妙些。那么只好说是我们的经验错误了！

经验怎么会错误呢？其实就说它并没有错误，也没有什么不可以的，只是这个经验，纯是主观的罢了。我们一进赌场，哪怕是逢场作戏，并非真赌什么输赢，但我们总想比别人都来得得意。因此，我们的注意力当然只集中到红上面去，它的出现的困难就使我们过分地能够感到。幺的出现是我们不希望的，所以在我们的心理上，对它的感情恰好相反，因了厌恶它，仇人相见分外眼明，就觉得它常常都在滚出来了。

归结起来，我们的经验，是生根在感情上的。倘若我们能够不惮烦，每次把各个数出现的数目都记下来，一直记到几百千万次，再将它们来统计一下，这才是纯理性的、客观的。这个经验一定和我们平常所得到的大相悬殊，而和我们计算的结果相近。所以科学的方法第一步是观察和实验，而这两种功夫要它们的结果可靠，就须得观察者和实验者的头脑能够充分地冷静。只就客观的事实记录，毫不掺杂一点主观的情感或偏见，然而这就是极难的功夫。许多大科学家，也常常因为自己的情感和偏见贻误他们的事业！

在我们的日常生活当中，又不能真是冷冷静静地过日子，每遇见一事都先看明白，打算清楚，再按部就班地去做。季文子要三思而后行，孔老先生已觉得他太过分了，只说再思就可以。这可见我们的生活靠理性的成分少，靠直觉和情感的时候多。我们一天一天地这么生活下来，不知不觉间已养成一个容易动感情和不能排除偏见的习惯，一旦踏进科学的领域，怎能不失败呢？

像掷骰子这类的玩意儿，我们可以借了数字明白将它的变化计算出来，使我们得到一个明确的认识。但别的现象，因了它本身的繁复，因了我们的数学和其他的科学还并没有达到充分进步的境界，我们就没法这样地去得到明确的认识。因而在研究的时候，要除去情感和偏见就更不容易了。

类于玩骰子的事，我们要举起例子来，真是俯拾即是，不胜枚举，这里试来再随便说几个，以证明我们的日常生活是怎样的不理性的。

比如你家里有人生了病，你正着急非凡，有一位朋友好心来看望你，他给你介绍医生，他给你说单方 。你听他满口说出的都是那医生医好了人的例子和那单方的神效的奇迹。然而你信了他的话，你就许不免要大倒一次霉。你将讨厌他吗？他是好心，他和你说的也都不是欺骗的话，只怪你不曾问他那医生，那单方曾经有多少人上过他们的当！其实，你真个去问他，他也就回答不上来，这不是他有意来骗你，只是他不曾注意到。

又比如前几年，上海发财票很风行的时候，你听那些买发财票的人，他们口里所讲的都是哪一个穷措大 ，东拼西凑地买了一张，就中了头彩。不然就是哪个某次也得了大奖，你绝不会听到他们说出一个因买发财票倒运的人来。他们一点儿不知道吗？不是的，也许他们自己就连买了好几次不曾中过，但是这种事实不利于他们，所以他们不高兴留意，也就不容易想起来说。即使想起了，他们总还想将要到来的一次不会就和以前的一样。

确实的，在我们的日常生活当中，我们所喜欢保留在记忆里的，总是有利于我们的事实。因了这样，我们永远就都只会打如意算盘。若说有例外吗？那就是经过不知多少次失败的人，简直丧了胆，他的记忆里，又全都是失败的事实了。然而无论是哪一种人，总同一地只是偏见。

我们的生活是否应当完全受冷静的理性的支配？即使应当，究竟有没有这样的可能？这都是另外的问题，姑且存而不论。只是我们现在已经有许多人都觉得科学重要，竭力地在鼓吹着，那么科学的方法当然是根本的问题。别人的科学发达，并不是从地上捡了来的，也没有什么神奇奥妙，不过是他们能够应用科学方法去整理每天呈现在他们眼前的事象而已。

但要想整理事象，第一步就须得先能够将那事象看过明了透彻。偏见和感情好比一副着色的眼镜，这副眼镜架在鼻梁上面，两眼就没法把外面的真实色相看过明白。所以踏进科学的领域的第一步，是观察和实验。而去观察和实验之先，必得从鼻梁上将那副着色的眼镜扯下来。这自然不是一件容易的勾当，但既需要它，不容易也得干！

观察和实验说来很简单，只要去看、去实验好了，但真能做到好处，简直可以说科学的领域已踏到了一半。即使我们真能尽量地除去主观的成见和情感，有时因为所观察和所实验的范围太狭了，也一样地得不出普遍的近于真实的结果。容我再来跑一次野马说一段笑吧！

从前，有一家小少爷生了病，要去请医生，因他们家的丫头的眼睛能够看得见冤鬼，主人家便差了她出去。临出门时，嘱咐她见着那医生的后面跟着的冤鬼最少的，便请了他来。她出到街上走去走来果然见到了一位，他的背后只有一个冤鬼跟着，她就请了他家去，并且将她所见到的情形背着医生告诉了主人。主人非常高兴，对那位医生十二分地尊敬，但和医生谈了不少的话，终于问到了他行了几年的医，他的回答是：“今天上午刚开始，只医过一个人。”

朋友！这笑话有趣吗？我们要研究科学的时候，第一最苦的是没有可以看清冤鬼的眼睛，但即使是有了，就不会错吗？

写这篇的意思，原不过是想说明我们在日常生活中，容易被眼前的事实欺骗，将真实的事象隐藏了去。因为说起来一时觉得方便，就借了掷骰子来做例子。即写到这里觉得这有个大缺点，就是前面说的，都并不是观察和实验的结果，而只是一种原理的演绎。倘使真有人肯去将六个骰子在碗里掷，掷过几十万次，每次的情形都记录下来，那个材料，在研究上，比这单从理论推演出来的还更有意义些。

自然，我不是说前面的推论还有什么可怀疑的地方，必须要有观察和实验的结果来替他做镖客！但倘若我们真是要研究别的问题的时候，我们顶好还是从观察和实验的功夫做起。依靠了现成的理论来演绎，一不小心，我们所依靠的那理论，就先已统治着我们，成为我们的着色的眼镜，不是吗？在科学的研究中，归纳法原比演绎法来得重要呀！

什么是归纳法，下次再谈吧！ LFnKWlUzGmjlPNDejParPPLSoEdRbyByeSlQFbU9RFVdqGwUvE0stD2rWU8oWbGJ