二

数学所给予人们的

我想在这篇短文中答复许多人对于我所提出的“数学有什么用”的问题。我希望我的这一篇简略的述说能引起人们对于数学的伟大的功绩的注意，不把很狭的用去估计它的价值——虽然这是无损于它的。

只要人的生活不是全然在懵懂混沌中，就没有一个时候——无论怎样短——脱离了数学的关系。张三比李四高一点；同样的树，远的看去低，近的看去高；今天的风比昨天大……这许多的比较都是在人心受了数学的锻炼以后才能获得的。从白马湖要到上海去，就比到宁波去需多备川资，多带零用物品，多留出几天的空闲；准备一月的粮比备一天的粮要多储几斗米；没有事到山上去跑的时候，见着太阳已发了红色快掉下去，就得放快一点脚步才得免了黑夜的奔走。这一类的事，也不是从有生以来就不曾受过数学的锻炼的人所能够的。

一百页的书打算五天念完，每天平均应当念多少？雇一个人做了三天的工，要给他多少工钱？想缝一件大布长衫要买多少布才不至于不足，也不至于多出可省的剩余？这些自然都是很浅的、很明白的，没有一个人否认的数学所给予人的“用”。但数学对于人的贡献若只有这一点，也就不值得去学，纵然不得不学，也是一件极轻而易举的事了。中国的旧式商人，通了“小九九” 便可受用不尽，若是还知点“飞归” 的就要被人称颂，实在是一个呱呱叫的人物了。对于这点，没有人还怀疑数学的“用”，但以这点于人很微末的帮助来赞美数学，它虽未必叫屈，也绝无所容心。一般人对于数学，反是觉着越学越没有用，这是它的所引以为憾的，虽然它的目的不全在给人以“用”。

人们若不想返到数千年以前的生活，不愿穴居野处，钻燧取火，茹毛饮血，和别人老死不相往来，现在的物质文明，一切科学的、工艺的、机械的贡献在或种限度以内，它的价值是不能抹杀的。物理学家、化学家、生物学家支配世界的力量和天文学家、艺术家以及思想家原是难于轩轾 。人们与别的一切生物不同，能够享受较满足、较愉快的生活，全仗他们的思想。数学就是思想的最重要的工具，在20世纪以后，找一种不受数学的影响的思想界的产物，恐怕是不可能的吧？

抱残守缺的中国式的旧工艺，已经渐渐地失了它的满足人的需要的力量了。而公输子之巧，不以规矩，也不能成方圆；师旷之聪，不以六律，仍然不能正五音。没有他们的巧或聪的人们，怎能不墨守成法呢？可怜的中国啊！要建筑一所比较合于卫生的、美丽的、高大的房屋，就不得不到洋人或读过洋书的人的面前去屈尊就教了！

在空闲的时间到剧园里去听戏或音乐会里听音乐，为增一点知识到演讲会中去听讲演，都有一件使人感着苦痛的事实发现，不是力量大、腿长或钱多的人，必定被挤到人群的后面，到了一个听而不闻的地位，乘兴而去败兴而回。哪能想到有容五六千人，没有一个人坐着不能听的讲堂，已在美国筑了起来，供给不少的人享乐呢？更何能想到这样伟大适用的讲堂凭了一个极简单的代数式Y ² =70.02X就可以筑起来呢？凭着这样一个极简单的式子，工程师坐在屋里，吸着雪茄，把一切墙的形式、台的长、天花板的高，都不费多大的力就从从容容地决定出来，而且不差分毫。这不是什么神奇的事体，只依声浪直线进行，照和投射角相等的角折回的性质和一个代数式的几何的曲线的性质，便受用不尽了！更大、更美的建筑，数学也有同样的贡献啊！除了丁字尺、三角板、两脚规，还有什么方法可以取方就圆、切长补短呢？基本的帮助，就是不少的帮助吧！

（ a + b ） ² = a ² +2 ab + b ²

（ a + b ） ³ = a ³ +3 a ² b +3 ab ² + b ³

（ a + b ） ⁴ = a ⁴ +4 a ³ b +6 a ² b ² +4 ab ³ + b ⁴

这样的式子，在它的本身不曾和铜元、钞票一样地明白地显示它的“用”，哪知道经济学上也不能不和它亲善呢？债券的价格、拆换、生命保险、火灾保险，都要以它为根据的。

虽依上面的说法，把数学所给予人的，讲得比一般人所能想到的大一点，仍然不能得到它的真实的、伟大的贡献。若从天文学上考察，可以使我们更惊异，相信它的力量了。

太阳已落下西边去，月亮也唤不起的夜里，在我们眼里所感着的美，不是挂了满天的星吗？有闪缩的，有飞舞的，没有一个人不是用“无数”两个字来表示它们的不能数的多。数学对于这样人不能数的星，却用了几个简单的式子，就能统括起它们行动的路来，依着式子就可决定它们在某时的相关的位置，比用我们的两眼所看的还正确。在海王星没有被发现的时期，因研究关于星的摄动，许多天文学家和亚当斯就从数学上决定了它的轨道。当它行到望远镜可以看着的地位的时候，亚当斯和他的朋友依计算所得的地位将望远镜移转，这从前不曾发见而为数学所已决定的海王星果然无所逃避，被他们看见了。

这样的例证虽然多，都是理科上的运用，一般以数学为理科的基础的朋友们当然不否认，别的人难免仍有微词。单以数学为理科的基础，虽没有大错，却把数学的力量狭看了。

数学在哲学的领域以内占相当的势力，这是从人类的文化略有基础的时候就是这样的。柏拉图教他的弟子学哲学，要他们先学几何锻炼思想。毕达哥拉斯的哲学更和数学分不了家。其实哲学家不受数学洗礼的真是不易寻出来，读过哲学史的人对于这话总不至于以为武断吧？

逻辑可当得哲学的基础了，数理逻辑的创建，更使哲学的研究得到了较大的助力。虽然这种的研究才在萌芽状态，但“它可以使我们易于研究比‘言辞的推论所能得出的’更抽象的观念，它可以指示‘用别的方法想不到’的有效的假定，它可以帮助我们立刻看出一个逻辑的或科学的理论之建筑所需要的至少的材料是什么”也就其功不可没了。

数学上对于“连续”和“无限”的研究，得到了美满的结果以后，哲学上的疑问，有不少也就得到解答。数学和哲学在某部分是难于分出界限来的，因此数学不只是理科的基础。假使哲学在人的思想界能显出更大的权威来，数学的功效也就值得称为伟大了，何况它所加惠于人的还不止此呢？

以求善为目的的人们很易将数学轻视，有时更以为数学是可使人习于深刻的，应当反对。但真正的善本没有深刻与否的问题，后一层没有答辩的必要。数学是以求真为主的，于善有关系吗？数学对于人既有绝大的贡献，本身当然是善的。以数学为基础的科学，也是以有助于人的幸福为目的，数学也是没有罪的。至于因科学受了利用而产生不少的罪恶——机械供资本家使用而使一班操手工业的，不能不忍辱含垢地到工厂里去讨苦痛生活，军国主义者利用科学制造杀人的猛烈的器具，这不是科学的罪恶，更不是为科学的基础的数学的罪恶。

“善”不是在别是非吗？“善”不是要寻求道德的真正的意义吗？这样的企图要满足，恐怕不能不借助数学吧？

很容易表现和数学冲突，或无关系的，要算艺术了。自然艺术是从情感发出的，但纯粹不多少加入点理智的成分的情感，人也是不容易有的吧？“真”和“美”也不是可以绝对分开的啊！秩序咧、和谐咧，不是美的必要条件吗？音阶的组成，不也要赖数学来将各音的振动的关系表明吗？一张画上各种物件的关系位置，各部分的大、小、长、短不也是数学所支配着的吗？

数学本身也能将美贡献于人的。我们和外界接触的时候，森罗万象，倘若在心里不能有相当整理，弄得秩然有序，自然界的可憎，恐怕要使人不可一朝居了！这种综合的能力，从数学发生出来的比较简要确实，非别的所能比拟的。就是表现一种图形的变化，也以数学为简单明了。数中间的神妙变化，给以人的美感也是不可解说的啊！从一到无穷的整数中，整数是无穷的；从一到二间的数也是无穷的；从一到二分之一，或二十分之一，二百分之一……以至于二亿分之一间的数仍然也是无穷的。这样的想象只能使人们感着枯燥没有一点美感吗？崇高和伟大是兴起美感的，使我们感着大而又大，大之外还有大，无论如何可以超出我们的想象力以外，这样的美感从什么地方还可得着呢？大，大至无穷；小，小至无穷；变幻，变幻至无穷；极纷繁不可计的，可以合综到极简单；极简单的可以推演到无量数。这样的能动的、内心的美感不值得赞颂吗？

已经说过的话也不少了，或者已可以表现数学所给予我们的很不算小吧。我们所能从它得到的只有这些吗？还有更大的没有呢？我想，将我们居住的世界在精神上扩延出去，使我们不执着在现实的六合 以内，才是数学最大的恩惠。要说到这一层，较详的叙述实无法免去。

我们想象有种在直线上生活的人——说他是人——他的行动只有前进和后退，没有改变方向——无论上下、左右的能力。这样的人，倘若被我们在他进行 的直线的路中前后都加上了极薄极薄、极短极短的阻隔——只要有阻隔，无论怎样薄怎样短——要不许他冲破那阻隔，他只有陷到不幸，困死在里面了。在我们看去，这是何等地可笑呢？脚一提或由左右一移动就得到生路了。但这是我们不只能在直线方向活动的人替他想的，他绝不能领会。

比他更进步——假定说——的人，我们设想他不但能在直线上活动，在平面内都能活动。这个世界的人，自然不至于有前一种世界的人的厄运，因为他可以由旁边活动——虽然还不能上下活动——得到生路。但是，我们对于他，只要在他所在的平面上，围着他画一个小圈，虽然这圈是用墨笔画的，在我们已经看不出它的厚来，只要不许他冲破，也就可以限制他的活动，围困他了。我们用我们的智慧可以指示他，叫他不用力地跳下就可以出来。但“跳”是上下的活动，是他不能理会的，所以这样的指示就和对牛弹琴一样，不能给他微末的帮助，这也是我们从旁看去以为可笑的。

我们笑他们，固然他们只有忍受了，或者他们和我们一样，不唯不能领受别人的指示，而且永远想不到那样的指示是有的。这句话似乎很可惊异了，但是我要提出一个问题：假如有人将我们用一口极薄的纸做成的箱子封闭在里面，不许我们扯破箱子，我们能出来吗？不在里面困死吗？直线世界的人不打破他前后的阻碍不能出来，我们笑他；平面世界的人不打破他四周——前后左右——的围圈不能出来，我们笑他；我们自己呢，不过多一条出路——上下——把这条多的出路一同封住，也就只有坐以待毙，这不应当受非笑吗？不，这是不应当的，因为我们和他们有一点不同。他们的困难是我们所能解除的，我们的困难是不能解除的。因为除了前后、左右、上下三条路，实没有第四条路。这样的解释，不过聊以自慰罢了。我们在立体世界想不出第四条路和他们在直线世界想不出第二条路，在平面世界想不出第三条路不是一样的吗？不是只凭各自的生活的环境设想吗？直线世界的人不能因他的想象不能及而否认平面世界的人的第二条路，平面世界的人不能因他们的想象所不能及而否认我们的第三条路，我们有什么权利因我们的想象不能及否认第四条路呢？不将第四条路否认掉，第五、第六条路也就同样地难于否认。有了三条路以外的路，不打破薄纸做成的纸箱，除了我们立体世界的笨伯有什么不能出来呢？这样的说法，执着在物质的现实界的人们除了惊异摇首而外，只有用实际的生活做武器来反对。在立体世界的实际方面，第四条路是不能找出的。但这样由合理的推论得到的理想的世界——这里只是比喻说，数学上自有根于理论的证明——使我们的精神生活不囿于六合以内，这是何等伟大的成就！愚蠢的人们劳心焦思地统领着一班富于兽性的人，杀戮了许多善良的朋友，才争得尺寸的地盘。不费一矢，不伤一人，不和任何人相角逐，在立体的世界以外，开拓了第四、第五条路来。不占有而享受，精神界的领域何等广漠！这就是数学所给予人们的！ awcK9Ue8Yy2gHwbZ7moyGXTBdC9ffdCoXV6jYtki3ZgGOfWgwH9vSwQht6Gep+gi