一

数学是什么

这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角，等等在内。用英文名词来说，那就是Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单而且非常明了，几乎已用不到再加说明。但真要说明，那却问题很多。且先举罗素在他所著的《神秘主义与逻辑及其他论文》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑的一般。他说：

“Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true．”

将这句话很粗疏地译出来，就是：

“数学是这样的一回事，弄它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”

这样的定义，它的惝恍迷离，它的其妙莫测 ，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现时的数学的领域统括得完全，要将它的繁复灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有别的更好的话可说了。所以帕佩里茨、伊特尔森和路易·古度拉特几位先生对于数学所下的定义也是和这个气味相同的。

对于数学的一般的读者，这定义，恐怕反使得大家堕入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不来了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他的定义来相比较更容易明白。

在希腊，亚里士多德那个时代，不用说，数学的发达 还很幼稚，领域也极狭小，所以数学的定义只需说它是一种“计量的科学”，已很可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白而且能够满足的。他们解四则问题、学复名数 的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽则我们可以常识来解释，但真要将它的内涵弄个明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表出。第二，就是照常识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够就明确地划定数学的领域。像测量、统计这些科学，虽则它们各有特殊的目的，它们也只是一种计量。由此可以知道，单用“计量的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点。

若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孔德就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用了一支尺就可以量一幅布有几尺几寸宽，有几丈几尺长；用了一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若行星轨道的广狭、行星自己的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽则不能将前一个定义的缺点全然补正，但总是较进一步了。

孔德究竟是19世纪前半期的人物，虽则他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在的广阔，如群论、位置分析、射影几何、数论，以及逻辑代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没甚关系。即如笛沙格所证明的一个极有兴味的定理：

“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”

这个定理的证明，就只用到位置的关系而和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻轻巧巧地便将孔德所给的定义攻破了。

到了1870年，皮尔士就另外给数学下了一个这样的定义：

“数学是产生‘必要的’结论的科学。”

不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量，等等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序整然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。

照这般说法，皮尔士的定义可以算得完全无缺吗？

不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”，若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？

更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老法门，但是像皮亚诺、布尔和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，他们要掉一个方向对于数学的基础去下寻根问底的功夫。

于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。

关于这定义的改正，我们可以举出肯普的来看，他说：

“数学是一种这样的科学，我们用了它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同、个别和复合的一个数的概念上面。”

这个定义，实在太严肃太文气了，而且意味也有点含混。在肯普以后，博歇把它改变了一下，便这样说：

“倘若我们有某一群的事件同着某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”

在这个定义中，有一点最值得注意，博歇提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用什么数咧、量咧这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。

假如我们只照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实并不是和计算有什么因缘。

也就因了这个缘故，我喜欢用“数学”这个词来译Mathematics，而不喜欢用“算学”。虽则“数”字也还不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。

倘使我们再追寻一番，我们还可以发现博歇的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种功夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇东西不过想给数学的一般读者一点数学的概念，所以不再往里面穷追了。

将这个定义来和罗素所下的比较，虽然已距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真只是开玩笑吗？

我是很愿意承受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：

“数学只是一种符号的游戏。”

假如，有人觉得这样太轻佻了一点，严严正正的科学怎么好说它是“游戏”，那么，就这般说也可以：

“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”

对于数学这种东西，读者大都曾有过这样的疑问，这有什么意思呢？这有什么用呢？本来它不过给你知道一些关系，知道从某种关系推演出别的关系来；而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和什么意义了。

为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，更便当些。

劈头我们就看“一加二等于三”。

在这一个短短的句子里，照句法上的说法，一共是五个词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫着“一”？什么叫着“二”？什么叫着“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给人家看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶，一个这样，一个那样，这些的共相。从这些东西我们认识出这共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它一个称呼，于是就叫它是“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我回答不上来，我只能说，这只是一个符号，用了它让你们好叫喊，让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来便当些，所以“薰宇”两个字是我的符号。同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样地只是符号。

至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样地也可以，不过无妨浮面一点说，它们是表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相合；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相同。所以归根到底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。

单只这么一个例子，似乎还不能够说得十分明白。再举别的例子吧，假定你是将代数学完了的，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。

在算术里我们用的只是1、2、3、4……这些数，最初跨进代数的门限，遇到 a 、 b 、 c 、 x 、 y 、 z ，总有些不惯常。你对于二加三等于五，并不惊奇，并不怀疑。对于两个加三个等于五个，也不惊奇，也不怀疑。但对于2 a +3 a =5 a 你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在干什么。其实呢，2 a +3 a =5 a 和2+3=5对于你的习惯说，不过更其符号的而已，有了这一个使用符号的进步，许多关系更来得简单普遍，不是吗？若是将2 a +3 a =5 a 具体化，认 a 是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只狗碰到了三只狗成为五只狗；若 a 是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头一共就成五个鼻头。

再掉转一个方向来看，在算术中除法常常有除不尽的时候，比如3除2。遇着这样的场合，我们便有几种方法表示：

（1）2÷3=0.667弱

（2）2÷3=0.6余0.2

（3）2÷3=

（4）2÷3=

第一种只是一个近似的表示法；第二种表示得虽正确，但用起来不方便；第三种是循环小数，关于循环小数的计算，那种苦头你总尝到过的；第四种是分数， 是什么？你已知道就是3除2的意思。对了，只是“意思”，毕竟没有除。这和3除6得2的意味终是不同。所谓“意思”便是“符号”。因了除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号。有了这种符号，于是我们就可以推究出分数中的各种关系。

在算术里你知道从5减去3是2，但碰到要从3减去5，你就没法办，只好说一句“这不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有法子表示这个关系。但是到了代数里面，为着要探究一些更普遍的关系的缘故，不能不想一个方法来冲破这种困难。于是有些人便这样想，从3减去5为什么不能够呢？他们心口相问地，便这般回答，因为还差2的缘故。这一回答，好，关系就成立了，“从3减去5差2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差2”，于是这关系就成为3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。我们有了负数，一则可探讨它自身所含的一些关系，二则可以将我们所已得的一些关系更普遍化。

又如在乘法中，有时只是些相同的数在相乘，便给它一种符号，譬如 a × a × a × a × a 写成 a ⁵ 。这么一来，关于这一类的东西又有许多关系可发现了，例如：

a ⁿ · a ^m = a ^n+m

（ a ⁿ ） ^m = a ^nm

…………

不但这样，这里的 n 和 m 还只是正整数，后来却扩张到负数和分数去而得出下面的符号：

这些符号的使用，是代数所给的便利，学过代数的人都已经知道的，我也不用再说了。

由整数到分数，由正数到负数，由乘方到使用指数，我们可以看出许多符号的创立和许多关系的产生、繁殖。再说要将乘方还原，用的是开方，但开方常常会碰钉子，因此我们就创出无理数来，如 ， ， ， ……这也不过是些符号，这些符号经过一番的探索，便和乘方所用的指数符号结了很亲密的关系。

总结这些例子看来，除了使用符号和发现关系而外，数学实在没有别的什么花头。倘若你已学过平面三角，那么我相信你更容易承认这个话。所谓平面三角，不是只靠着几个什么正弦、余弦这类的符号来表 几个比，就去研究这些比的关系和三角形中的其他关系吗？

我说“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，你大约不至于再怀疑了。

在数学中，你可以碰到些实际的问题要你计算的，譬如三个十两五钱 一共是多少斤。但只是我们所已得的关系的具体化，换句话说，不过是一种应用。

也许你还有一个疑问，数学中的公式和定理固然只是一些“关系”的表出，但像定义那类的东西又怎样说法呢？我的回答是这样，那只是符号的规定。“（同一平面内）到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆”，这是一个定义，但也只是“圆”这个符号的规定。

正正经经地说，数学只是这么一回事，但我仍然高兴说它是符号的游戏。所谓“游戏”自然不是开玩笑的意思。两个要好的朋友拿了球拍在球场上打网球，并没有什么争胜的要求，然而兴致淋漓，不忍释手，在这时他们得到一种满足，这就是使他们忘去一切的原因，这叫游戏。小孩子独自拿了两块石子在地上造房子，尽管大汗满脸，气喘不止，但仍然拼了全身的气力去做，这是游戏。至于为银盾而赛球，为锦标而练习赛跑，这便不是游戏了。还有为过得无聊，无可如何地约几个人打麻将、喝老酒，这也算不来游戏。就在这意味上，我说“数学是符号的游戏”。

自然，从这游戏中可有些收获——发现一些可以供人使用的关系。但符号越使用得多，所得的关系越不容易具体化来供人使用。踏到数学的领域的后部，真的，你只见到符号和关系，那些符号，那些关系，要你说个明白，就是马马虎虎地说，你也无法下手的。

到这一步，好了，罗素便说：

“数学是这样的一回事，弄它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。” h0L4QBJiC7KZrr9Bw6D5G//26lZw4Zw2BynOcwWC764CKHJ6xmZGDL6iqLFGAHKY