六

堆罗汉

堆罗汉这种游戏，是学校中所常见到的，这里用不到再来说明，只不过取它做个例子：从最下排起数上去，每排次第少一个人，直到顶上只有一个人为止。像这类依序相差同样的数的一群数，在数学上我们叫它们是等差数列。关于等差数列的计算，本不十分难懂，小学的算术教本里面也都有得讲到，所以这里也将它放在一边，单只讲从1起到某一数为止的若干个连续整数的和，用式子表示出来，就是：

（1）1+2+3+4+5+6+7+……

和这个性质相类似的，还有从1起到某数为止的各整数的平方和同着立方和，就是：

（2）1 ² +2 ² +3 ² +4 ² +5 ² +6 ² +7 ² +……

（3）1 ³ +2 ³ +3 ³ +4 ³ +5 ³ +6 ³ +7 ³ +……

照图3看去，这个长方形由 A ， B 两块组成，而 B 恰好是 A 的倒置，所以：

A =1+2+3+4+5+6+7

B =7+6+5+4+3+2+1

A ， B 的总和是相同的，各等于全个矩形的面积的一半。至于这个矩形的面积，只要将它的长和宽相乘就可得出了，它的长是7，宽是7+1，因此面积便是：

7×（7+1）=7×8=56

而 A 的总和正是这56的 ，由此我们就得出一个式子：

这个式子推到一般的情形去，就变成了：

第二、第三个例子，我们也可以用图形来研究它们的结果，不过更繁杂一点，但也更有趣味，现在还是分开来讨论吧。

从图4，我们注意小方块的数目和大方块的关系，很明白地可以看出来：

1 ² =1

2 ² =1+3

3 ² =1+3+5

4 ² =1+3+5+7

……

7 ² =1+3+5+7+9+11+13

若用话来说明，就是2的平方恰等于从1起的2个连续奇数的和，3的平方恰等于从1起的3个连续奇数的和，一直推下去，7的平方就是从1起的7个连续奇数的和。所以若要求从1到7的7个数的平方和，只需将上列七个式子的右边相加就可以了。但这个法子虽没有什么不合理，毕竟不简便，而且从它要找出一般的式子也不容易，因此我们得另找一条路。

试将各式的右边表示的和，照堆罗汉的形式堆起来，我们就得出图5的形式（为简便起见，只用1、2、3、4四个数）：

从这几个图，可看出这样的结果：1 ² +2 ² +3 ² +4 ² 这个总和当中有4个1，3个3，2个5，1个7。所以我们要求的总和，依前一个形式可以排成图6，依后一个形式可以排成图7。并且把它们比较一下，我们马上就知道若将图6倒置，拼到图7，那么右边就没有缺口了。又若将图6不但倒置而且还翻一个转身，拼成图8，那么，左边也就直了。所以用两个图6和一个图7刚好能够拼成图8那样的一个矩形。由它，我们就晓得所求的和正是它的面积的 。

至于这个矩形：它的长是 ，它的宽却是4+1+4=9。因此，它的面积应当是10×9=90，而我们所要求的1 ² +2 ² +3 ² +4 ² 的总和应当等于90的 ，那就是30。按照实际去计算1 ² +2 ² +3 ² +4 ² =1+4+9+16，也仍然是30，可知这个观察没有一丝的错误。

若要推到一般的情形去，那么，图8这个矩形的长是：

而它的宽却是：

n +1+ n =2 n +1

所以它的面积就应当是：

这就可证明：

比如，我们要求的是从1到10十个整数的平方和， n 就等于10，这个和便是：

说到第三个例子，因为是数的立方的关系，照通常的想法，只能用立体图形来表示，但若将乘法的意义加以注意，要用平面图形来表示一个立方，也不是全然不可能。先从2 ³ 说起，照原来的意思本是3个2相乘，若用式子写出，那就是2×2×2。但这个式子我们也可以想象成（2×2）×2，这就可以认它所表示的是2个2的平方的意思，可以画成图9的 A ，再将形式变化一下，更可得出图9的 B 。

同样地，3 ³ 可以用图10的 A 或 B 表示，而4 ³ 可以用图11的 A 或 B 表示。

就图9、图10、图11的 B 仔细观察一下，我们得出下面的关系：

图9的 B 的缺口恰好是1 ² ，但1 ³ 和1 ² ，我们用同一形式表示，在意义上没有很大的差别，所以1 ³ 刚好可以填2 ³ 的缺口。

图10 B 的缺口，每边都是3，这和图9 B 的外边相等，可知1 ³ 和2 ³ 一起，又正可将它填满。

末了，图11的 B 的缺口每边都是6，又恰等于图10的 B 的外边。因此1 ³ 、2 ³ 和3 ³ 并在一起，也能将它填好。就照这个填法，我们便得图12，它恰巧是1 ³ +2 ³ +3 ³ +4 ³ 的总和。

从别一方面来说，图12只是一个正方形，每边的长都等于：

1+2+3+4

所以它的面积应当是（1+2+3+4）的平方，因此我们就证明了下面的式子：

1 ³ +2 ³ +3 ³ +4 ³ =（1+2+3+4） ²

但这式子右边括弧里的数，照第一个例子应当等于：

因此：

推到一般的情形去：

上面的三个例子，我们都只是凭了几个很小的数目的观察，便推到一般去，而得出一个含有 n 的公式， n 是代表任何整数。这个推证究竟可靠不可靠呢？换句话说，就是我们的推证有没有别的根据呢？就实际的情形说，我们所已得出的三个公式都是对的，但它的对不对是一个问题，我们的推证法可靠不可靠又是一个问题。

我来另举一个例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方是14641。从这几个数，我们可以看出三个法则：第一，这些数排列起来，对于中点说，都是对称的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒数第二位都等于乘方的次数。依这个观察的结果，我们可不可以说11的 n 次方便是1 n … n 1呢？要下这个判断，我们无妨再举出一个次数比4还高的乘方来看，最简便的自然就是5。11的5乘方，照实际计算的结果是161051。上面的三个条件，只有第二个还存在，若再乘到8次方，结果是214358881，就连第二个条件也不存在了。

由这个例子，可以看出来，单只就几个很小的数的变化观察得的结果，便推到一般去，不一定可靠。在这个理由的下面，我们就不得不怀疑到我们前面所得出的三个公式。倘使没有别的方法去证明，在那三个例子中是有特殊的情形可以用那样的推证法，那么，我们宁愿去找另外的一条路来解决。

是的，前面所已得出的三个公式很可以怀疑，但我们也并非毫无根据。第一个式子最少到了7是对的，第二、第三个式子最少到了4也是对的。我们若不惮烦地顺着再试验上去，可以看出来，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是对的。但这样试验，一来未免笨拙，二来无论试验到什么数，我们总是一样地不能够就保证那公式便有了一般性，为此我们只得舍去了这种逐步试验的方法。

我们虽怀疑那公式的一般性，但无妨“假定”它的形式是对的，再来加以检查，为着便利，容我在此重写一次：

（一）

（二）

（三）

在这三个式子中，我们说 n 代表一个整数，那么 n 以下的一个整数就应当是 n +1。假定这三个式子是对的，我们试来看看，当 n 变成 n +1的时候是不是还对，这自然单只就式子的“形式”去考查，但这种考查我们用不到怀疑。在某一意义上，数学便是符号的科学，也就是形式的科学。

所谓 n 变到 n +1，就无异于说，在各式的两边都加上一个含 n +1项，照下面的程序计算：

（一）

（二）

（三）

从这三个式子的最后的结果看去，和我们所假定的式子，除了 n 改成 n +1以外，形式全然相同。因此，我们得出一个极重要的结论：

“倘使我们的式子对于某一个整数，例如 n ，是对的，那么对于这个整数的下一个整数，例如（ n +1），也是对的。”

事实上，我们已经观察出来，这三个式子至少对于4都是对的。运用这个结论，我们无须再试验，也就有理由可以断定它们对于5都是对的。既然对于5对了，那么同一理由，对于6也是对的，再推下去就对于7、8、9……都是对的。

到了这里，我们就有理由承认这三个式子的一般性，再不容怀疑了。

这种证明法，我们叫它是数学归纳法。

数学上所常用的多是演绎法，这是学过数学的人都知道的。关于堆罗汉这类数列的公式，算术上的证明法，也就是演绎的，为了便于比较，也将它写出。本来：

S =1+2+3+…+（ n -2）+（ n -1）+ n

若将这式子右边各项的顺序掉过，就得

S = n +（ n -1）+（ n -2）+…+3+2+1

再将两式相加，我们便得出下式：

2 S =（1+ n ）+[2+（ n -1）]+[3+（ n -2）]+…+[（ n -2）+3]+[（ n -1）+2]+（ n +1）

=（ n +1）+（ n +1）+（ n +1）+…+（ n +1）+（ n +1）+（ n +1）

= n （ n +1）

两边再用2去除，于是：

这个式子和前面所得出来的完全一样，所以一点用不到怀疑，不过我们所用的方法究竟可靠不可靠也得注意。

一般地说来，演绎法总比较不大稳当，为的是它的基础是建筑在一些更普遍的法则上面，倘使这些被它所凭借的更普遍的法则当中，有几个或一个根本就不大稳固，那不是将有全盘动摇的危险吗？比如这个证明，第一步，将式子右边各项的顺序掉过，这是根据一个更普遍的法则叫作什么“交换定则”的。然而交换定则在一般情形固然可以运用无误，但在特殊的情形时，并非毫无问题。所以假如我们肯追根究底的话，这个证明法，可以适用交换定则，也得另有根据。至于证明的第二、第三步，都是依据了数学上的公理，公理虽则没有什么证明做保障，但不容许怀疑，这可不必管它。

归纳法既比演绎法来得可靠，我们无妨再来探究一下。前面我们所用过的步骤，归纳起来有四个：

（一）就少数的数目来观察出一个共通的形式；

（二）将这形式推到一般去，“假定”它是对的；

（三）校勘这假定的形式，是否再能往前推去；

（四）如果校勘的结果是肯定的，那么我们的假定就可认为合于事实了。

前面我们曾经说过：

1 ² =1

2 ² =1+3

3 ² =1+3+5

4 ² =1+3+5+7

由这几个式子我们知道：

1=1 ²

1+3=2 ²

1+3+5=3 ²

1+3+5+7=4 ²

就这四个式子观察，我们可以得一个共通形式，就是：左边是从1起的连续奇数的和，右边是这和所含奇数的“个数”的平方。

将这形式推到一般去，假定它是对的，那就得出：

1+3+5+…+（2 n -1）= n ²

到了这一步，我们就要来校勘一下，这形式再往前推一个奇数究竟对不对了，我们在式子的两边同时加上（2 n -1）下面的一个奇数（2 n +1），于是：

1+3+5+…+（2 n -1）+（2 n +1）

= n ² +（2 n +1）= n ² +2 n +1=（ n +1） ²

从这结果，可知我们的假定如果对于 n 是对的，那么对于 n +1也是对的。依我们的观察，我们的假设 n 等于1、2、3、4的时候都是对的，所以对于5，对于6，对于7、8、9……一步一步地往前推都是对的，而我们的假定可认为合于事实。

将数学归纳法来和一般的归纳法两相比较，这是一个很有趣味的问题。大体来说，它俩并没有什么根本的差异。我们还无妨说数学归纳法是一般的归纳法的一个特殊的形式，试从我们所取的步骤来比较一下。

第一步，在它俩当中，都离不了观察和实验，而观察和实验的对象也都同是一些特殊的事实。在我们前面所举的例子当中，似乎只用到观察，并没有经过什么实验。在事实上，我们所研究的对象，有些固然是无法去实验，只得单凭观察去探究的。不过这是另外一个问题。若就过程上说，我们所举的例子的第一步当中，也不是全然没有实验的意味。比如最后一个例子，我们从1=1 ² 这个式子是什么意义也发现不出来的，于是我们只好去看第二个式子1+3=2 ² ，就这个式子说，我们有许多的假定能够得出来。前面所用过的，说左边要乘方的2就是表示右边的项数，这自然是其中的一个。但我们也可以说，那指数2才是表示右边的项数。我们又可以说，左边要乘方的2是右边的末一项减去1。像这类的假定很可以找出不少的个数，至于这些假定当中哪一个近于真实些，那就不得不有别的方法来证明。到了这一步，我们无妨用各个假设到第三、第四个式子去试验一下，结果，我们便可看出，只有我们所已用过的那一个是合于实际的。一般的归纳法，最初也是这样地下手，将我们所要研究的对象尽量收集起来，仔细地去观察，遇着必要而且可能的时候，还小心地去实验。由这一步，我们就可以看出一些共同的现象来。

至于这些现象，它们从什么原因产生的？它们会生出什么结果？或是它们当中有什么关联？这，我们往往可以有若干假定提出，正和我们上一节所说的相同。在这些假定当中，自然免不了有一部分是根基极不稳固，只要凭仔细一些的观察或实验就可推翻的。对于这些，自然在这第一步我们就将它们弃掉了。

第二步，在数学归纳法，是将我们所观察得的形式推到一般去，假定它是真实的。至于一般的归纳法，因为它所研究的并不一定只是一个形式的问题，所以推到一般去的话很难照样应用。虽是这样，精神却没有什么不同，我们就是依我们观察和实验的结果，综合起来，提出一些较普遍的假设。

有了这假设，进一步自然是要校勘它们，在数学归纳法上，如前面所说过的，比较简单，只需将所假定的一般的式子当中的 n 推到 n +1就够了。若在一般的归纳法，却没有这种便宜可讨。到了这境地，我们得利用演绎法把我们的假定当作大前题，臆测它们对于某种特殊的事象，应当发生什么结果。

这结果究竟会不会有呢？这又只得靠观察和实验来证明了。经过若干的观察或实验，假如都证明了我们的臆测是不爽分毫的，那么，我们的假定就得了保障，成为一个定理或定律。许多大科学家往往能令我们起敬吃惊，有时他们简直好像大预言家，就是他们的假定的基础很稳固，所以臆测的结果也能合于事实的缘故。

在这里，有一点须得补说明白，若我们提出的假设先不止一个，那么依了各个假设都可得出些臆测的结果来，在我们没有别的事实来证明的时候，它们彼此之间绝没有什么价值的高下可说。但到了事实出来做最后的证人时，自然“最多”就只有一个假定的臆测可以胜诉。换句话说，也“最多”就只有一个假定是对的了。为什么我还要说“最多”只有一个呢？因为，有些时候，我们所提出的假设也许全都不对的。

一般的归纳法，应用起来虽不容易，但原理却不过如此。我们经过了上面所说的步骤，结果都很好。自然我们就可得出点定理或定律来了。不过有一点须得注意，我们在一切过程中，无论怎样地小心谨慎，究竟我们的能力只有这般大，所能及到的领域终不是全体，因此我们所已证明为对的假定，即使当成定理或定律来应用，我们还得虚心。我们常常应当想到，也许有新的，我们以前所不曾注意到的现象出来否定它，我们应当承认：

“科学只能诊断事实，不能否定事实。”

这句话是什么意思呢？

科学本来只是从事实中去寻出法则来，若有了一个法则，遇见和它抵触的事实，便只武断地将这事实否定，这只是自己欺骗自己。因为事实的存在，并不能由我们空口说白话地否认，便烟消火灭的。

我还是举个例子来说，从这个例子当中，可以看出我们常有的两种态度都不大合理。

一年多以前，很远很远地听着我们中国的中西医的斗争很激烈，自然这是一个极好的现象！从这斗争中，我相信总会有些新的东西在医学界产生出来。现在的结果如何，我不曾听着说起，不敢臆断，好在和我此地要说的话无关，也就无妨丢开。我提到这个问题，只是要说明两种态度——对于中医的两种比较合理的态度。

一种是拥护的，他们所根据的是事实，毕竟中医已有了它自己几千年的历史，凭了它也曾医治好了不少人的病，这是无可否认的。虚心而真有经验的医生，对于某几种病症，也确实有把握，能够着手成春。

一种是反对的，他们所根据的是学理，无论中医在实际上有什么奇效，既没有科学根据的必然的因果说明，即使有奇效，也只好说是偶然。至于一般中医的五行生克的说法，尤其玄妙，不客气地说，简直是荒唐。

依照前一种人的意见，中医当然应当存在；依照后一种人的意见，它就该被打倒。平情而论，各有各的理由，不全是也不全非。多少免不了一些情感作用掺杂在里面。若容许我说，那么，中医有它可以存留的一部，不过须得另外打个基础；同时它也有应当打倒的部分，但并非全盘推翻。然而，这并不是根于什么中庸之道的结论。

中医既有它的一部分成功的事实，我们就应当根据学理去整理它们，找出它们的合理的说明。比如说某种汤头治某种病症是有特效的，我们一方面已从西医知道某项病症所以发生的原因和要医治它所必需的条件，那么，我们正可以分析一下那某汤头所以合于这个条件的理由。这样，自然就有合理的说明可以得出，而给它一个稳固的基础了。拥护的人固然应当这样才真正能达到目的，就是要推翻的人也应当这样才不是武断、专制！

事实和理论不合，可以说有两个来源：一个是我们所见到的事实，并非是真的事实。换句话说，就是，我们对于那事实的一切认识未必真切明晰。譬如说，害疟疾的人，画一碗符水给他喝到肚里，那病就好了。这事，我也曾经试做过，真也有有效的时候，但我宁可相信，符水和疟疾的治疗风马牛不相及，只不过是这两个事实偶然碰在一起，我们被它蒙混着罢了。真的，我从前给别人画符水，说来就可笑，根本我就不知是应当怎么画的！

还有一个来源，便是学理本身有缺点，比如对于某种病，西医用的是一种药，而中医是用的汤头，分析的结果和它全不相关，那么只是一种病可有两种治疗法，并非中医的就不对，因为既有了对症治好的事实，这无可否认。

所谓科学诊断事实，由这个例子大约就可以说明白：第一，是诊断事实的真伪；第二，倘使诊断出它是真实的了，那就进一步给它找合理的说明。所以科学的精神，最根本的是不武断、不盲从！我们常常听着人家说，某人某人平时批评起别人来都很有道理，但事情一到他的手里总一样地糟。这确实也是一个事实！对于这个事实，有些人就很聪明地这么来解释说：学理是学理，事实是事实。从这解释当中还生出一个可笑的说法，那就是“书呆子”这个名词含有不少的轻蔑意味所暗示着的。其实凭空虚造的学理，哪里冒充得来真的学理？而真的学理，哪有不能应用到事实上去的理由呢？

话说得有些远了，归结一句，科学的态度是要虚心地去用科学的方法。 w7WjU1lJe7o4eEDB/86FXdXdbf1tHaXLRzw3ml4nnsonT6IQRJ32HmEwaLJCrwA6