无穷原则

为了帮助你理解我们讨论的方向，我先说一下什么是微积分，它想要什么，以及它与其他数学学科的区别。幸运的是，有一个宏大而美丽的理念将贯穿这个话题的始终。一旦我们了解了这个理念，微积分的结构就可以被看作统一主题之下的变体。

遗憾的是，大多数微积分课程都将这个主题埋藏在大量的公式、步骤和计算技巧之中。仔细想来，尽管它是微积分文化的一部分，而且几乎每位专家都知道它，但我从未见过它在哪里被阐明。我们不妨把它叫作“无穷原则”，无论是在概念上还是历史上，它都会像引导微积分本身的发展那样指引我们的讨论过程。虽然此时此刻它听起来好像胡言乱语，但通过我们一步步地探索微积分想要什么及其如何实现所想，理解无穷原则将变得越来越容易。

简言之，微积分就是想让复杂的难题简单化，它十分痴迷于简单性。这可能会让你感到惊讶，因为微积分向来以复杂性著称。而且，不可否认的是，一些权威的微积分教科书的篇幅都超过1 000页，重得像砖头一样。但是，我们不要急着做判断或下结论。微积分无法改变自己的样子，它的庞大笨重是不可避免的。它看起来复杂，是因为它要设法解决复杂的问题。事实上，它已经处理和解决了人类有史以来面临的一些最困难和最重要的问题。

微积分成功的方法是，把复杂的问题分解成多个更简单的部分。当然，这种策略并不是微积分独有的。所有善于解决问题的人都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块，而是无休无止地切分下去，直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。之后，它会逐一解决所有微小的问题，这些问题通常要比那个庞大的原始问题更容易解决。此时剩下的挑战就是把所有微小问题的答案重新组合起来，这一步的难度往往会大一些，但至少不会像原始问题那么难。

因此，微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。

这种策略可用于我们能够想象的做无尽切分的所有事物，这类事物被称作连续体，据说它们是连续的。比如，正圆的边缘，悬索桥上的钢梁，餐桌上逐渐冷却的一碗汤，飞行中标枪的抛物线轨迹，或者你活着的时光。形状、物体、液体、运动和时间间隔等都是微积分的应用对象，它们全部或者几乎都是连续的。

请注意这个创造性假设背后的真相。汤和钢铁实际上并不连续，尽管在日常生活的尺度上它们看起来是连续的，但在原子或超弦尺度上并非如此。微积分忽略了原子和其他不可切分实体造成的不便，这不是因为它们不存在，而是因为假装它们不存在会大有帮助。正如我们将在后文中看到的那样，微积分偏好有用的虚构。

更广泛地说，被微积分建模为连续体的实体类型，包含了我们能想到的几乎所有东西。微积分可以描述球如何不间断地滚下斜坡，光束如何在水中连续地传播，蜂鸟的翅膀或飞机机翼周围的连续气流如何使它们在空中飞行，以及患者开始采取药物联合疗法后，他血液中的HIV（人体免疫缺陷病毒）颗粒浓度在接下来的日子里如何持续下降。在每种情况下，微积分采取的策略都一样：先把一个复杂而连续的问题切分成无穷多个简单的部分，然后分别求解，最后把结果组合在一起。

现在，我们终于可以阐明这个伟大的理念了。

无穷原则

为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起，就能理解最初的那个整体。 IFTLHE3Y8OIWGEFBd5zahI9fWnCgiat8B10UZBhcIuEzYXL4pylh60hkFNTHlZcA