随着计算机的发展和普及，数值计算已成为工程设计与科学研究的重要手段。掌握数值计算方法，会用计算机解决科学与工程实际中提出的数值计算问题，已成为科技人员必须具有的能力。

所谓数值计算方法，就是研究怎样利用计算尺、计算器、电子计算机等计算工具来求出数学问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算的全过程。它的理论与方法随计算工具的发展而发展。本书介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及有关理论。

众所周知，传统的科学研究方法有两种：理论分析和科学实验。今天伴随着计算机技术的飞速发展和计算数学方法与理论的日益成熟，科学计算已成为第三种科学研究的方法和手段。科学计算的物质基础是计算机，其理论基础是计算数学。随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国防尖端技术，例如机电产品的设计、建筑工程项目的设计、气象预报和新型尖端武器的研制、火箭的发射等，都有大量复杂的数值计算问题亟待解决。它们的复杂程度已达到非人工手算（包括使用计算器等简单的计算工具）所能解决的地步。数字电子计算机的出现和飞速发展大大推动了数值计算方法的发展，许多复杂的数值计算问题现在都可以通过使用计算机进行数值计算而得到妥善解决。

用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中的具体技术问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代数方程等，然后选择合适的计算方法（算法），编制出计算机程序，最后上机调试并进行运算，以得出所欲求解的结果来。求解实际问题的基本过程如下框图所示。

具体地说，数值计算方法首先要构造可计算出各种问题解的计算方法；然后分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性；第三，要分析方法的效率，分析比较求解同一问题的各种方法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分析是密切相关不可分割的。对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值计算方法。这里所说的“算法”，不仅是单纯的数学公式，而且是指由基本运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。

选定合适的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计算多项式

P（x）＝a _n x ⁿ ＋a _{n－ 1} x ^{n－ 1} ＋…＋a ₁ x＋a ₀

的值时，若直接计算a _i x ⁱ （i＝0，1，…，n），再逐项相加，共需做

次乘法和n次加法。n＝10时需做55次乘法和10次加法。用著名的秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式P（x）改写成

P（x）＝（（…（（a _n x＋a _{n－ 1} ）x＋a _{n－ 2} ）x＋…＋a ₂ ）x＋a ₁ ）x＋a ₀

来计算时，只要做n次乘法和n次加法即可。如当n＝10时，只要做10次乘法和10次加法。可见算法的优劣直接影响计算的速度和效率。

算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。因此，最有效的算法，应当实用范围广，运算工作量少，需要存储单元少，逻辑结构简单，便于编写计算机程序，而且计算结果可靠。 lz67vnJWV7fTZofLN74i+b8K/bE4foC4p0XPBd6UqKBOpFYBAMTY3EWAB1P7ElMc