2.5.1 高阶插值的Runge现象

根据区间［a，b］上给出的节点可以得到函数f（x）的插值多项式，作为f（x）的近似函数，在插值节点处精确相等。增加节点，代数插值多项式次数增高，相应的点（节点）数增多，然而插值多项式逼近f（x）的精度并不随之增加。

例如函数 ，在［－5，5］上任意阶导数存在，但在［－5，5］上取n＋1个等距节点 ，则其拉格朗日插值多项式

n→∞时，拉格朗日插值多项式是发散的，在某些点误差非常大，此现象称为龙格（Runge）现象，如图2.2所示（n＝10）。

可见，次数太高的插值多项式并不能很好地逼近一个一般的函数。

2.5.2 分段低次插值

为了避免龙格现象的发生，人们常常采用分段函数进行分段插值。即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上运用插值法构造低次插值多项式。例如线性插值多项式和抛物线插值多项式等，前者称为分段线性插值，后者称为分段抛物线插值。

给定函数f（x）在［a，b］上n＋1个互异节点a≤x ₀ ＜x ₁ ＜…＜x _n ≤b的函数值y _i （i＝0，1，…，n）。

若在每一小区间［x _{i －1} ，x _i ］上作线性插值，即取

作为f（x）在［x _{i －1} ，x _i ］上的近似表达式，则称φ ₁ （x）为f（x）的分段线性插值函数。

可以证明，对于取值f（x _i ）＝y _i （i＝0，1，…，n）的被插函数f（x），令h _i ＝x _i －＝…x _{i －1} （i1，2，，n），并记 ，则有误差估计式

同样地，若在每一小区间［x _i －1，x _{i ＋1} ］（中间节点x _i ）上作抛物线插值，即取

作为f（x）在［x _{i －1} ，x _{i ＋1} ］上的近似表达式，则称φ ₂ （x）为f（x）的分段抛物线插值函数。相应地有误差估计式

注： 分段插值不能保证各小段间的光滑性。

例2.9 设函数 ，x∈［－5，5］，讨论由10等分时分段线性插值的误差限。

解 将区间［－5，5］分为10等分此时，h＝1，又 ，所以 。于是

2.5.3 三次样条插值

代数插值多项式有很好的光滑性，但随节点增加反而精度降低，因为高阶差分误差传播大。分段低次插值算法简单，近似程度好，然而光滑性差。由于航空、造船等高精端工程设计的需要而发展起来的样条插值方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域都有广泛的应用。

样条插值是用样条函数去逼近函数。

定义2.4 对区间［a，b］的一个划分Δ：a＝x ₀ ＜x ₁ ＜…＜x _n －1＜x _n ＝b，函数S（x）满足：

1）S（x）在［x _i ，x _{i ＋1} ］，（i＝0，1，…，n－1）上为k次多项式；

2）S（x）及其1，2，…，k－1阶导数在区间［a，b］连续。

则称S（x）为区间［a，b］上对应于划分Δ的k次多项式样条函数，x ₀ ，x ₁ ，…，x _n 为样条节点。且若对于节点x _i 上给定的函数值f（x _i ）＝y _i （i＝0，1，…，n），有

则称S（x）为k次样条插值函数。

k＝1时的样条插值函数就是分段线性插值，k＝3时是使用较多的三次样条插值函数。

例2.10 已知函数

是以0，1，2为节点的三次样条函数，求系数b，c的值。

解 取x ₀ ＝0，x ₁ ＝1，x ₂ ＝2，由定义知S（x）∈C ² ［0，2］，即

S（x ₁ －0）＝S（x ₁ ＋0），S′（x ₁ －0）＝S′（x ₁ ＋0），S″（x ₁ －0）＝S″（x ₁ ＋0）

于是由S（x）和S′（x）分别在x ₁ ＝1处连续得

解得

b＝－2，c＝3

为求解三次样条插值函数，先介绍三次样条插值问题。设

其中S _i （x）（i＝1，…，n）为不超过三次的多项式。

三次样条插值函数S（x）在每个子区间［x _i ，x _{i ＋1} ］上可用三次多项式的4个系数唯一确定，因此S（x）在［a，b］上有4n个待定参数。

由于S（x）∈C ² ［a，b］，有

该条件给出了3（n－1）个约束。另外，插值条件

S（x _i ）＝y _i ，i＝0，1，2，…，n

给出了n＋1个约束。从而总共给出了4n－2个约束，与待定参数相比还少2个约束。为了确定S（x），在区间［a，b］的端点处补充两个条件，称为边界条件。常用的边界条件有下列3种。

①给定端点的一阶导数值 ， ；

②给定端点的二阶导数值 ， ；特别地，对于S″（x ₀ ）＝S″（x _n ）＝0的边界条件称为自然边界条件；

③周期边界条件S（x ₀ ）＝S（x _n ），S′（x ₀ ）＝S′（x _n ），S″（x ₀ ）＝S″（x _n ）。

下面仅介绍三次样条插值函数的具体构造方法。

（1）用节点处一阶导数表示三次样条插值函数

记S′（x _j ）＝m _j （j＝0，1，…，n），则在区间［x _j ，x _{j ＋1} ］（j＝0，1，…，n－1）上满足：

S（x _j ）＝y _j ，S（x _{j＋ 1} ）＝y _j＋ 1，S′（x _j ）＝m _j ，S′（x _{j＋ 1} ）＝m _{j＋ 1} （j＝0，1，…，n－1）

设h _j ＝x _{j ＋1} －x _j ，当x∈［x _j ，x _{j ＋1} ］时，有

（j＝0，1，…，n－1），其中p，q为待定系数。

则

因为

所以

解之得

于是

由二阶导数在内节点处连续S _j″ （x _j ＋0）＝S″ _j －1（x _j －0），j＝1，2，…，n－1可导出关于参数m _j 的方程组

其中

注： 方程组中参数 ， 已知时，称式（2.28）为三转角方程。

（2）用节点处二阶导数表示三次样条插值函数

令 。

当x∈［x _j ，x _{j ＋1} ］时，直线 过（x _j ，M _j ）和（x _{j ＋1} ，M _{j ＋1} ）两点，从而有

对上式连续积分两次

根据插值条件S _j （x _j ）＝y _j ，S _j （x _{j ＋1} ）＝y _{j ＋1} 确定出任意常数c _{1 j} ，c _{2 j} ，

于是

由上式知，只要求出所有的参数M _j ，就可确定S _j （x）。

对上式求导，并利用一阶导数的连续性： ，j＝1，…，n－1得

或

则可得方程组

其中

方程组（2.31）称为三弯矩方程。它含有n＋1个参数M ₀ ，M ₁ ，…，M _n ，还需要利用前面的任一组边界条件才能完全确定所有参数。例如，给定边界条件

由式（2.30）可分别得方程

即

注： 若是第二种边界条件，则M ₀ ，M _n 是已知的。

例2.11 已知函数在节点处函数值

求满足边界条件y′（0）＝1，y′（3）＝0的三次样条插值函数。

解 方法1用一阶导数为参数的三转角方程

由于h _j ＝1（j＝0，1，2），计算得

因为m ₀ ＝1，m ₃ ＝0，所以得三转角方程

解得 ， 。则三次样条插值函数为

方法2用二阶导数为参数的三弯矩方程

因为h _j ＝1（j＝0，1，2）， ，λ _j ＝1－μ _j ，所以

又由 计算得

由式（2.31）得

由边界条件得

2M ₀ ＋M ₁ ＝6，M ₂ ＋2M ₃ ＝－78

于是得三弯矩方程

或用矩阵形式表示为

解得 ， ， ， 。

则三次样条插值函数为

注： 本题是第1种边界条件，用三弯矩方程求解要复杂一些。

例2.12 已知数据表

求y＝f（x）在［0，3］上的三次样条插值函数，并作图。

解 由于已知函数在端点的二阶导数值，因此用三弯矩方程求解相对简单一些。已知h _i ＝1（i＝）0，1，2，则 ， ，g ₁ ＝－3，g ₂ ＝3；从而由式（2.31）有

将M ₀ ＝1，M ₃ ＝0代入得

解得 ， 。则三次样条插值函数为

图形如图2.3所示：