拉格朗日插值公式具有形式对称，便于编程计算的特点。但是用它计算f（x）在插值点x的值时，也有不便之处：由于l _k （x）（k＝0，1，…，n）都依赖于全部插值节点，若增加（或减少）节点，则必须重新构造插值基函数，原先的插值多项式没有用。本节讨论n次代数插值的另一种形式，即使用牛顿多项式插值来克服这个缺点。

2.3.1 差商及其性质

从第2.2节看到，基函数是构造拉格朗日插值的基础，下面介绍的差商是构造牛顿插值的基础。

定义2.2 设函数f（x）有n＋1个互异节点x ₀ ，x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ，其相应函数值为f（x ₀ ），f（x ₁ ），f（x ₂ ），…，f（x _n ）。称 为f（x）在x _i ，x _j 处的一阶差商，并记为f［x _i ，x _j ］，即

可见差商可看作f（x）在区间［x _i ，x _j ］或［x _j ，x _i ］上的平均变化率。

相仿地，称 为f（x）在x _i ，x _j ，x _k 处的二阶差商，记为f［x _i ，x _j ，x _k ］，则

一般地，f（x）在x ₀ ，x ₁ ，…，x _k 处的k阶差商定义为

即f（x）的k阶差商为k－1阶差商的差商。

注： ①规定f［x _i ］＝f（x _i ）为f（x）在x _i 处的零阶差商；

②由微商的定义可知差商是微商的离散形式。

差商的性质：

性质1 k阶差商f［x ₀ ，x ₁ ，…，x _k ］可表示为函数值f（x ₀ ），f（x ₁ ），f（x ₂ ），…，f（x _k ）的线性组合。即

其中， 。

注： 性质1可用归纳法证明（略）。

性质2 差商与插值节点排列顺序无关，即f［x _i ，x _j ］＝f［x _j ，x _i ］。对k阶差商仍成立。

性质3 f（x）是n次多项式，则f［x，x ₀ ］为n－1次多项式。

例2.5 已知函数表

求f［x ₀ ，x ₁ ，x ₂ ］和f［x ₁ ，x ₀ ，x ₂ ］。

解 因为 ，

所以

同理可得f［x ₁ ，x ₀ ，x ₂ ］＝2.5

2.3.2 牛顿插值及其余项

线性插值可用差商形式表示为

由差商的定义知

将上式依次代入得

取

所以

f（x）＝N _n （x）＋R _n （x）

且

R _n （x _i ）＝ω _{n＋ 1} （x _i ）f［x _i ，x ₀ ，…，x _n ］＝0

称N _n （x）为牛顿插值多项式，R _n （x）为牛顿插值余项。

定理2.4 N _n （x）为插值问题的n次插值多项式，其余项

R _n （x）＝ω _{n＋ 1} （x）f［x，x ₀ ，…，x _n ］

由插值多项式的唯一性可知，当f ^（n＋1） （x）存在时，N _n （x）的余项仍为式（2.5）中的R _n （x）。于是

从而得到差商与导数的关系为

由牛顿插值多项式的形式可知，增加一个节点时，只需N（x）再增加一项，N（x）原有各项均不变。具体计算可按表2.1进行。

求出各阶差商，由表2.1中对角线元素作系数构造牛顿插值多项式。

例2.6 给出f（x）的函数表

求3次牛顿插值多项式N ₃ （x）。

解 根据已知数据先构造差商表如下

将差商表中带下划线的这些差商值代入公式得

2.3.3 差分的定义与性质

当插值节点等距分布时，被插值函数的平均变化率与自变量的区间无关，就可用差分来表示。

定义2.3 设等距节点x _k ＝x ₀ ＋kh（k＝0，1，2，…，n），y _k ＝f（x _k ），h为步长，则称

Δy _i ＝y _{i ＋1} －y _i （i＝0，1，2，…，n）为f（x）在x _i 处以h为步长的一阶向前差分。

Δ ² y _i ＝Δy _{i ＋1} －Δy _i ＝y _{i ＋2} －2y _{i ＋1} ＋y _i （i＝0，1，2，…，n）

为f（x）在x _i 处以h为步长的二阶向前差分。一般地，

Δ ^m y _i ＝Δ ^{m－ 1} y _{i＋ 1} －Δ ^{m－ 1} y _i ，（i＝0，1，2，…，n）

为f（x）在x _i 处以h为步长的m阶向前差分。

差分的性质：

性质1 差分是函数值的线性组合，即

性质2 差分与差商满足关系

证 利用数学归纳法证明：

当k＝1时， ，结论成立。

设k＝m－1时结论成立，即有

当k＝m时，有

所以命题成立。

性质3 差分与导数有关系

此外也可定义向后差分与中心差分，亦可得相似的性质。

2.3.4 等距节点的牛顿插值及余项

给定等距节点x _i ＝x ₀ ＋ih，将差分与差商的关系代入牛顿插值多项式，则可得

令x＝x ₀ ＋th，t＞0，则有

上式称为牛顿向前插值多项式。

同理，余项

称为牛顿向前插值多项式的余项。

注： ①利用向后差分可构造牛顿向后插值多项式。将插值节点按x _n ，x _n －1，…，x ₀ 的次序排列，可得牛顿向后插值多项式 ，相应的余项为 。

②与牛顿插值多项式的差商形式相同，可通过下面的差分表（表2.2）来求牛顿向前插值多项式。

例2.7 利用牛顿向前插值多项式计算例2.3。

解 取节点x ₀ ＝11，x ₁ ＝12，x ₂ ＝13，可得差分表如下。

于是牛顿向前插值多项式为

令t＝0.5，得

ln11.5≈N ₂ （11.5）＝2.442275。 LHblelK0Mvhnt+ia7pQYvcH6i6dH0u7btwB6kgKxpikSbF131XbE0bjkn4HtUItn