2.2.1 线性插值

对给定的插值节点，为求得插值多项式p _n （x）可以有各种不同的方法，下面先讨论n＝1的简单情形。

已知

求作一次多项式L ₁ （x）＝a ₀ ＋a ₁ x，使它满足条件：L ₁ （x ₀ ）＝y ₀ ，L ₁ （x ₁ ）＝y ₁ ，这种插值称为线性插值。

将已知条件代入，得线性方程组

解方程组得

所以

为了便于推广，记

则函数l ₀ （x）和l ₁ （x）具有性质

函数l ₀ （x）和l ₁ （x）称为线性插值基函数。于是可将求得的一次插值多项式改写为

注： 用线性插值进行近似计算，当插值区间较小时，近似程度较高。

例2.1 已知f（x）的函数表

求 的近似值。

解 利用线性插值公式（2.9）得

于是

2.2.2 抛物线插值

下面讨论n＝2的情况。

已知

设二次多项式L ₂ （x）＝a ₀ ＋a ₁ x＋a ₂ x ² 满足L（x _i ）＝y _i （i＝0，1，2），则根据定理2.1可求出a ₀ ，a _1， a ₂ ，得到相应的唯一的二次插值多项式，但计算量较大。下面仿照线性插值，用插值基函数构造抛物线插值多项式。

设L ₂ （x）＝l ₀ （x）y ₀ ＋l ₁ （x）y ₁ ＋l ₂ （x）y ₂ ，其中

下面以l ₀ （x）为例说明基函数的求法。由于l ₀ （x）为二次多项式，由式（2.10）可设

l ₀ （x）＝A（x－x ₁ ）（x－x ₂ ）

并由l ₀ （x ₀ ）＝1求出 所以

同理

于是

2.2.3 拉格朗日插值

（1）拉格朗日插值基函数

由线性插值式（2.9），抛物线插值式（2.11）可知，插值多项式可看作某些函数的线性组合，组合系数为插值节点的函数值y _i 。

定义2.1 称n次多项式l ₀ （x），l ₁ （x），l ₂ （x），…，l _n （x）为在n＋1个节点x _i （i＝0，1，…，n）上的n次插值基函数，其中

根据定义，插值基函数的性质：

②l _k （x）（k＝0，1，…，n）为由插值节点x ₀ ，x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 唯一确定的n次多项式。

③基函数和每一个节点有关，与被插函数无关。

（2）拉格朗日插值多项式

定理2.3 对于给定的n＋1个插值节点x ₀ ，x ₁ ，…，x _n ，

为插值问题的n次多项式插值函数，其中 。

称式（2.13）为多项式插值的拉格朗日形式，简称为拉格朗日插值多项式。

证 因为l _k （x）为n次多项式，所以L _n （x）为次数不超过n的代数多项式。

取x＝x _j ，由于 ，从而 ，满足插值条件。于是 为满足已知n＋1个插值节点函数值插值问题的n次多项式插值函数，即n次拉格朗日插值多项式。

注： 线性插值和抛物线插值分别是1次和2次拉格朗日插值多项式。

例2.2 设x ₀ ，x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 为插值节点，l _k （x）（k＝0，1，…，n）（n≥1）为拉格朗日插值基函数，则 。

解 取f（x）≡1，y _i ≡1，（i＝0，1，2，…，n）

则f（x）的n次拉格朗日插值为

插值余项R _n （x）＝f（x）－L _n （x），而余项

故

例2.3 已知y＝lnx的函数表

分别用拉格朗日线性和抛物线插值求ln11.5的近似值，并估计误差。

解 线性插值，其两节点x ₀ ＝11，x ₁ ＝12，插值基函数为

l ₀ （x）＝－（x－12），l ₁ （x）＝x－11

所以

L ₁ （x）＝－2.3979（x－12）＋2.4849（x－11）

ln11.5≈L ₁ （11.5）＝2.4414

余项

由于

故

抛物线插值，节点x ₀ ＝11，x ₁ ＝12，x ₂ ＝13，则可得

同理可得

例2.4 设f（x）＝x ⁴ ，试用拉格朗日余项定理写出以－1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。

解 设所求多项式为L ₃ （x），由余项定理得

于是

L ₃ （x）＝f（x）－（x＋1）（x－0）（x－1）（x－2）＝2x ³ ＋x ² －2x lz67vnJWV7fTZofLN74i+b8K/bE4foC4p0XPBd6UqKBOpFYBAMTY3EWAB1P7ElMc