下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型的方法。
给出连续函数f（x）在区间［a，b］上一系列的函数值y i ＝f（x i ）（i＝0，1，…，n），或者给出一张函数表
其中，a≤x 0 ＜x 1 ＜…＜x n ≤b。
在某函数类Φ（x）中求一个函数φ（x），使得
并用φ（x）作为函数f（x）的近似表达式，称这样的问题为插值问题，满足式（2.2）的φ（x）称为f（x）的插值函数，f（x）称为被插函数。称点x 0 ，x 1 ，x 2 ，…，x n 为插值节点，区间［a，b］为插值区间。因此插值就是根据已知点的函数值求其余点的函数值，即依据被插值函数给出的函数表插出所要点的函数值。利用插值函数求f（x）的近似值，若插值点x在x 0 与x n 之间称为内插法，反之称为外插法。
由于函数类Φ（x）的选择不同，即选取的插值函数φ（x）不同，就产生不同类型的插值。用φ（x）的值作为f（x）的近似值，除要求φ（x）在某种意义上更好地逼近f（x）外，自然希望它是较简单的函数，或者它便于计算机计算。若φ（x）为代数多项式p（x），就是代数多项式插值，简称代数插值；若φ（x）为三角多项式，就是三角多项式插值；若φ（x）为有理函数，就是有理函数插值等。本章主要讨论结构简单的代数插值问题。
求f（x）的插值多项式p（x）的几何意义，就是通过曲线y＝f（x）上的若干个插值节点，作一条代数多项式曲线y＝p（x）来近似代替曲线y＝f（x）（如图2.1所示）。
由插值问题的定义可知，多项式插值问题是：在区间［a，b］上，根据函数表（2.1），构造一个次数不超过n的代数多项式p n （x）＝a 0 ＋a 1 x＋a 2 x 2 ＋…＋a n x n ，使
图 2.1 插值法的几何意义
而在其余点x处，一般说来会有误差，这个误差称为插值多项式的插值余项或截断误差，记为R n （x），即
下面是关于插值多项式的基本定理。
定理2.1 满足插值条件（2.3）的n次插值多项式是存在且唯一的。
事实上，由条件（2.3）知，插值多项式p n （x）的系数满足线性方程组
所以该方程组有唯一解，即插值多项式存在且唯一。
注： 对于次数不大于n的多项式f（x），其n次插值多项式就是其本身。
插值多项式p n （x）与f（x）的插值余项R n （x）＝f（x）－p n （x）满足下面的余项定理。
定理2.2 （误差估计）设f （n） （x）∈C［a，b］，任意x∈（a，b），f （n＋1） （x）存在，x 0 ，x 1 ，x 2 ，…，x n 为n＋1个互异插值节点，p n （x）为f（x）在［a，b］上的n次插值多项式，则对任意x∈［a，b］有余项
其中
证构造
，
因为
，所以F（x）＝0，且
F（x 0 ）＝F（x 1 ）＝…＝F（x n ）＝0，即F（t）有n＋2个零点，于是由罗尔定理知
至少有n＋1个零点。
以此类推，F （n＋1） （t）至少有一个零点ξ∈（a，b），使
即
所以
注意： 这里ξ∈（a，b）且依赖于x。