1.4　QFT的叠加原理

叠加原理是量子力学的一块基石，也是所有量子理论（而不仅是QFT）的共同特征。特别是，它对我们第2章的讨论起着关键作用。在本节中，我要先简单介绍这个原理，以便于理解QFT的无穷大问题的来源。当然，量子力学的主要讨论还是留待第2章（特别是2.5和2.7节）。为体现叠加原理在QFT中的作用，我们考虑如下情景。假定某个物理过程导致一个特定的观测结果，我们会假定那个结果是通过某个中间作用 Ψ 产生的，但还可能有另一个中间作用 Φ ，几乎也能产生同样的观测结果。那么，根据叠加原理，我们必须在特定意义上考虑两个作用 Ψ 和 Φ 同时参与了中间作用！这当然是反直觉的，因为在寻常的宏观尺度下，我们不会看到两个不同的可能事件同时发生。然而对亚微观事件，我们不可能直接观测是否一个中间作用发生了而另一个没发生，于是我们只得允许两个都可能发生，这就是所谓的 量子叠加 。

这类事件的原型是著名的双缝实验，它常被用来介绍量子力学。现在我们考虑一束对着屏幕的量子粒子（如电子或光子），从源到屏幕之间，粒子必须通过一对邻近的平行缝隙（图1.2a）。在眼下的情形，每个粒子在到达屏幕时会在每个位置留下各自的黑色记号，显示粒子的 颗粒 本性。可是当很多粒子穿过时，会出现明暗条带的干涉图样。多粒子到达时出现暗带，少粒子到达时出现明带（图1.2d）。这种情形的标准而详尽分析将我们引向一个结论 ：每个单独的量子粒子在某种意义上同时穿过了两条缝，两条可能路径奇异地叠加在一起。

如此奇异结果的理由是基于下面的事实：假如关闭一条缝而留下另一条（图1.2b，c），则不会出现条带，而只呈现相当均匀的点分布，中心位置强度最大。然而当双缝开启时，在屏幕的黑带之间会出现灰色的区域，这些区域出现的地方在单缝开启时应该是全黑的。当粒子有两条可能路径时，这些灰色区域会受到 抑制 ，而黑色区域会得到 加强 。如果每个粒子只是重复甲缝或乙缝单独开启时的行为，那么双缝开启时的效应应该只是简单相加而已，我们不会看到奇怪的干涉条纹。干涉的出现只是因为一个粒子同时面对两条路线，两种可能粒子都感觉到了，从而产生最终的结果。从某种意义说，两条路径共存于粒子从源到屏幕之间。

这当然与我们经历的宏观物体的行为相冲突。例如，两扇门相通的两个房间，我们先看见一只猫在其中一间，然后看见它在另一间，则我们通常会推测它穿过了其中的某一扇门，而不会认为它能以怪异的方式同时穿过两扇门。但是对猫那样的小动物来说，可以毫无扰动地连续观测它的位置，从而确定它究竟是从哪道门穿过的。假如在上面描述的双缝实验中，对单个的量子粒子也那么去做，我们就会在一定程度上干扰粒子的行为，从而破坏屏幕上的干涉图样。在屏幕上产生明暗干涉条纹的这种单量子粒子的类波行为，是因为我们不能确定它穿过哪条缝，才容许那令人困惑的中间粒子叠加态。

在双缝实验里，我们能看到单量子粒子行为的极端奇异性，尤其是当我们关注屏幕上两个暗带缝隙中间的P点时，我们会看到，双缝开启时，粒子根本不能到达P点；而只有单缝开启时，粒子却很容易穿过它到达P点。那么，在双缝开启时，供粒子到达P点的两条可能路径似乎莫名其妙地相互消减了。然而，在屏幕的其他位置，例如干涉图样最深的Q点，我们看到的不是两条可能路径的消减而是加强，因而当双缝开启时，粒子到达Q点的概率是单缝开启时的4倍，而不是普通经典物体（非量子粒子）时的2倍。见图1.2d。这些奇异特征是所谓的 玻恩定则 的结果。我们马上会看到，那个法则将叠加形式的粒子强度与粒子实际出现的概率联系起来了。

顺便说一下，在物理学理论、模型或状态的语境下， 经典 一词就是 非量子 的意思。特别是，爱因斯坦的相对论是经典理论，尽管它是在很多量子论的萌芽概念（如玻尔原子）出现之后才提出来的。更特别的是，如我们下面要说的，经典体系不遵从我们上面遇到的奇怪的代表量子行为特征的不同可能性的叠加。

我准备到第2章（特别是2.3节以后）再完整地讨论当前的量子物理学认识的基础。这里，我想我们只需暂且接受这个奇怪的、现代量子力学用以描述那些中间状态的数学法则。结果表明，这个法则是异乎寻常地精确。什么样的法则呢？量子论的数学体系主张，在只有两个可能中间态 Ψ 和 Φ 时，叠加的中间态数学表示为两个可能态的某种和 Ψ + Φ ，或更一般的线性组合（见附录A4和A5），

w Ψ + z Φ

其中 w 和 z 为复数（包含 的数，见附录A5），不能同时为零！而且，我们还得认为态的这种复数叠加在实际观测量子系统之前应该是一直维持着的，而在观测时，叠加态将被两个态的概率混合所取代。这确实很奇怪，但我们在2.5～2.7节可以看到这些复数——有时称为 振幅 ——是如何应用的，它们又是如何以显著的方式与概率和物理系统在量子水平的时间演化（薛定谔方程）发生联系的；根本说来，它们还与量子粒子微妙的自旋行为乃至普通物理空间的3维性有关！尽管本章不详尽说明振幅与概率（玻恩法则）的精确关系（因为那需要 Ψ 和 Φ 的 正交性 和 标准化 概念，我们最好留待2.8节以后），还是将玻恩定则的要旨列举如下：

当叠加态呈现为w Ψ +z Φ 时，为决定系统究竟处于态 Ψ 还是 Φ ，观测发现：系统处于态 Ψ 的概率与态 Φ 的概率之比等于| w | 2 与| z | 2 之比。

注意（见附录A9和A10）复数 z 的平方模| z | 2 等于 z 的实部与虚部的平方和，也就是在维塞尔（Wessel）平面（即复平面）中 z 到原点的距离的平方（附录A10图A34）。还要注意，从这些振幅的模平方引出的概率解释了粒子强度的4倍增强，正如我们前面看到的，其中两条缝的贡献在相互加强（参见2.6节最后）。

我们必须小心地认识到，在这些叠加中的“加”大不同于寻常的“和”（尽管“加”在现代的普通用法里的约定意思就是“和”），甚至也不同于“或”。它在这里的真正意思，在一定意义上是认为两个概率以一种抽象的数学方式加在一起。于是，在双缝实验中， Ψ 和 Φ 代表一个粒子的两个不同的瞬时位置，则 Ψ + Φ 并不代表各在其位置上的两个粒子（这等于说“一个粒子在位置 Ψ 和另一个粒子在位置 Φ ”——意味着共有 两个 粒子），我们也不能认为两个粒子是寻常的可以互相替换的，这个 或 那个总会出现一个，只是我们不知道是哪一个。实际上，我们应该想象是一个粒子莫名其妙地同时占据着两个位置，按照奇异的量子力学的“加”法而叠加在一起。当然，这看起来很奇怪，20世纪初的物理学家如果没有很好的理由也不会被逼着那么去想。我们将在第2章探讨这些理由，但现在我只想请读者暂且认同这个算法确实是有成效的。

还应该认识到，根据标准的量子力学，叠加过程是普适的，从而适用于两个以上的中间态的情形。例如，假如有三个可能状态 Ψ ， Φ 和 Γ ，那么我们应考虑如 w Ψ + z Φ + u Γ 的三项叠加（这里 w ， z ， u 为不全为零的复数）。相应地，假如有四个可能中间态，我们就需要考虑四项叠加，等等。这是量子力学要求的，也有精彩的实验证实了这种亚微观水平的量子作用的行为。虽然它确实奇异，却是数学和谐的。其实以上所说的就是数学的带复数标量的矢量空间，我们将在附录A3，A4，A9考虑；从2.3节开始我们还将看到量子叠加是一个无处不在的角色。然而在QFT中，事情糟糕多了，因为我们常常不得不考虑无限多中间态的情形。这令我们必须考虑无限多个可能态之和，问题也就凸显出来：这种无限的求和可能给我们带来发散的级数，其和以某种方式（如附录A10和A11）趋于无穷。 g14AlrlqXEkvPm4JIhNO4v/3jk7CE6UGUm5KskCHK0hQnP3cX2Vh0/4G0BF2yjJq