1.15　AdS/CFT

尽管我不知道有多少（更不知是谁）专业弦论家允许自己被上面提到的那些争论——即1.10、1.11节和1.14节最后的争论，以及（一般地）A2，A8和A11的函数自由度问题——牵着偏离了主要目标，他们近年来确实被领进了多少有些异于从前的领域。不过，额外函数自由度的问题还是至关重要的，而且通过其中的一些最重要发展来结束这一章似乎恰到好处。在1.16节，我将十分简短地描述弦论路线引领我们进入的一些奇异境地，即人们所说的 膜世界 、 弦景观 和 沼泽地 。其中更有数学趣味且与各物理领域有着诱人联系的是所谓的AdS/CFT对应——也叫 全息猜想 或 马尔德西纳对偶 。

AdS/CFT 对应 ［Ramallo 2013； Zaffaroni 2000； Susskind and Witten 1998］通常被说成 全息原理 。我要首先说明这不是一个确定的原理，而是一些有趣概念的集合。它们确实有一定的经验数学的支持，但乍看起来却与一定的严肃的函数自由度相悖。大致说来，全息原理的思想说的是两种形态迥异的物理理论是相互对应的：一种定义在某个（ n +1）维时空区域（叫 体 ）（弦论即是这种理论）；另一种定义在那个时空区域的 n 维 边界 （这是更传统类型的量子场论）。第一印象是，从函数自由度的观点看，如此对应似乎是不可能的，因为体理论具有的函数自由度为 （对某个 A ），而边界上的理论似乎只有小得多的自由度 （对某个 B ）。假如两者或多或少是通常的时空理论，则情形就是这样。为了更好理解这种可疑对应的深层原因以及这个建议的可能困难，我们先来看看它的一些背景。

早期的思想来源之一是业已确立的黑洞热力学特征，这实际上是第3章很多推理的基础。那就是我们将在3.6节遇到的基本的贝肯斯坦—霍金的黑洞熵公式。公式告诉我们，黑洞里的熵正比于黑洞的表面积。那么粗略地说，一个物体，假如完全处于随机（“热化”）状态，则其熵基本上就是物体自由度的总数。（这一点可以更精确地用一个强有力的一般公式来说明，它来自玻尔兹曼，我们将在3.3节具体讨论。）这个黑洞熵公式的怪异之处似乎在于，假如我们有一个有着大量小分子（或其他基本定域成分）的物质所制造的寻常经典物体，则物体潜在可能的自由度数量正比于物体的体积。于是我们预期，当物体处于完全热（即最大熵）状态时，它的熵将是一个正比于其体积而非其表面积的量。于是我们形成这样的观点：对黑洞来说，发生在内部的事情是与它的2维表面相联系的——那个表面的信息在一定意义上 等价于 其3维内部承载的信息。那么按照这样的观点，我们便有了某种形式的全息原理：黑洞内的自由度的信息以某种方式“秘藏”在黑洞边界（即视界）的自由度中。

这种一般类型的论证是从弦论的一项早期工作传下来的［Strominger and Vafa 1996］，其初心是想通过在球面上计数内部区域的弦自由度，来为霍金公式找一个玻尔兹曼式的基础。它先假定引力常数很小，则曲面不能代表黑洞边界，然后“提升”引力常数，从而使界面变成黑洞的视界。这时，弦论家将结果作为理解黑洞熵的一大进步，因为以前还不曾在玻尔兹曼和贝肯斯坦—霍金公式之间建立过任何直接联系。然而这个论证（在诸多方面局限且不现实）遭遇了很多反对意见，量子引力的圈变量方法［Ashtekar et al.1998，2000］的支持者们提出一个竞争的方法。不过这个方法自己也遭遇了麻烦（似乎更小）。我相信，公平说来，眼下还没有一个完全令人信服的毫不含糊的过程，能从一般的玻尔兹曼熵的定义获得贝肯斯坦—霍金黑洞公式。不过，黑洞熵公式的正确性论证还是通过其他方法令人信服地确立起来了，它们并不需要 直接的 玻尔兹曼基础。

从我个人角度看，为黑洞内部赋予一个“体”而且认为还有“自由度”在洞内持续存在（见3.5节），是很不恰当的观点。这个图景与黑洞内的因果行为不符。我们不得不认为存在一个能破坏信息的内奇点，那么弦论方法所追寻的平衡在我看来就有点痴心妄想了。圈变量过程的论证在我看来要比早期的弦论合理得多，但依然无法获得与黑洞熵一致的数量结果。

我们现在来说全息原理的AdS/CFT形式。眼下而言，它还是一个未经证明的假说（首先由马尔德西纳在1997年提出［Maldacena1998］，得到了威腾［Witten1998］的强烈认同），而不是已经确立的数学原理，尽管人们会说，有大量数学证据证明，我们为物理模型提出的貌似风马牛不相及的两个建议，确实存在着精确的数学对应。这个思想是，我们有可能证明，人们希望更好认识的某个定义在（ n +1）维空间区域 的理论（这里即弦论），实际上等价于一个已经很好认识了的定义在那个区域的 n 维边界 上的理论（这里即传统形式的QFT）。前面说过，这个思想的起源与黑洞物理的深层问题有关，但名词 全息 却有自己的来源，即我们熟悉的 全息图 。通常认为这里显现的维度信息矛盾并非是不可能的，因为具有这种一般性质的事情已经发生在全息图了。其中，实际上只不过是一个2维曲面上的信息密写成一幅3维图像，所以才有了 全息猜想 和 全息原理 的说法。然而，真正的全息图却不是这个原理的例子，因为我们经常获取的3维效果更像是立体成像，是2维图像（我们双眼感觉的）给我们深度的印象，这是来自函数自由度 而非 。不过这也为我们提供了3维密写的良好近似，若更仔细和精巧，还能提高近似度，令人想起3维图像之外的运动。额外信息有效隐藏在我们双眼难得及时看见的高频数据中［'tHooft 1993； Susskind 1994］。

在这个原理的特定形式AdS/CFT 对应 中，区域 是5维时空，叫 反德西特宇宙学 。我们将在3.1，3.7和3.9节看到这个宇宙学模型原来是属于一大类模型（一般所说的FLRW模型），那类模型的其他成员似乎很有希望模拟我们现实的4维宇宙的时空几何。而且，根据目前的观测和理论，德西特空间可能很好近似我们宇宙的遥远未来（见3.1，3.7和4.3节）。另一方面，4维反德西特空间 并不是宇宙的合理模型，它的宇宙学常数的符号与观测宇宙的恰好相反（见1.1，3.1和3.6节）。这个观测事实似乎没有妨碍弦论家们满怀热情地相信 在分析我们宇宙性质中的作用。

如本书前言强调的，研究物理模型经常是为了从它得到能深化我们一般认识的洞察，而不必要求它们就是物理实在的，尽管在眼下情形似乎还真有几分希望证明宇宙学常数是负的。马尔德西纳在1997年首次提出他的AdS/CFT建议时，恰好在观测［Perlmutter et al.1998和Riess et al.1998］呈现出 Λ 是正数（而非他要求的负数）的诱人证据之前。即使到2003年，我与威腾讨论这个问题时，也似乎还有一定希望看到观测同样允许负的 Λ 。

AdS/CFT猜想指出， 上的恰当弦论在适当意义上完全等价于 的4维共形边界 上的更传统形式的规范理论（见1.3和1.8节）。然而，如先前指出的（1.9节），目前的弦论思想要求时空流形是10维而非如 的5维。解决这个问题的方法是考虑弦论不仅适用于5维空间 ，也适用于10维时空流形

（关于符号“×”见A7节图A25或1.9节，这里 S 5 是半径为宇宙学尺度的5维球面，见图1.37）。（相关的弦论为IIB型，但我不想在这里区分不同类型的弦论。）

有一点至关重要，即 S 5 （宇宙学尺度的，因而与量子考虑无关）一定有着在 S 5 因子内具备的函数自由度，那因子当然渗透了 内的任意动力学，只要那动力学可用来满足AdS/CFT为边界 提出的传统3维空间的动力学。这里无须求助1.10节的论证靠可能的量子效应来阻止额外函数自由度的激发。在 S 5 中，这些巨大的自由度没有被压缩的可能。这明白告诉我们，AdS/CFT模型不以任何直接方式代表我们生活的宇宙。

在AdS/CFT图景中， 就转移到 的共形边界 ，从而生成 的一类边界

但这远非 的 共形 边界。为说明这一点，我得解说一下什么是共形边界；为此请读者看图1.38a，其中整个双曲平面（我将在3.5节说这个概念）以共形精确的方式来表示，其共形边界恰好是周边的一个圆。这是荷兰艺术家埃舍尔（M. C. Escher）的一幅著名而美妙的木刻画，它精确说明了双曲平面的共形表示（最早源自1868年的贝尔特拉米（Eugenio Beltrami），但通常被称为庞加莱圆盘），这个几何的直线由与边界圆周垂直相交的圆弧表示（图1.38b）。在这个非欧平面几何中，通过点P的很多直线（“平行线”）都不与直线α相交，而三角形的三个角 α，β，γ 之和小于π（=180º）。图1.38还有高维形式，其中3维双曲空间被共形表示为普通球面 S 2 的内部。“共形”的基本意思是所有小形态的东西——如鱼的鳞片——都非常精确地以这种描绘来表示，形态越小，表示的精度越高，尽管同样小形态的不同例子有着不同的大小（鱼的眼睛直到边界都保持为圆形）。共形几何的一些强有力的思想见A10节，在时空背景下的讨论在1.7节末尾和1.8节开头。（我们将在3.5和4.3节来说共形边界的概念。）结果表明，在 的情形，其共形边界 基本上可解释为普通闵可夫斯基时空 （1.7和1.11节）的共形复本，不过要通过一定的方式（我们稍后会讲）“紧化”。AdS/CFT的思想是，在时空 的弦论的特殊情形，弦论的数学本性的神秘也许可以通过这个猜想来解决，因为我们已经很好认识了闵可夫斯基空间上的规范理论。

还有一个因子“× S 5 ”的问题，它应该为函数自由度贡献主要部分。就全息摄影的一般思想说， S 5 在很大程度上被忽略了。如前面说的， 肯定不是 的共形边界，因为为了“达到” 去“压扁”无限区域 ，并未波及 S 5 。但对共形挤压而言，需要同等对待所有维度。处理 的信息的方法是借助 模式分析 ，换句话说，就是将它编码为一列数字（在AdS/CFT考虑中叫 塔 ）。如A11末尾指出的，这是模糊函数自由度的一个好办法！

跟我走到这儿的读者大概也隐约听到了可能来自AdS/CFT的警钟，因为假如定义在4维边界 上的理论是某种普通4维场论，则它可以从函数自由度为 （对某个正整数 A ）的量构造出来，而对其5维内部 ，假如我们也可将内部理论视为普通类型的场论（见A2和A8节），则必然有大得多的函数自由度 （对任意B）。这为我们认同两种理论的等价性提出了巨大的难题。不过这里还有几个复杂的问题需要我们考虑。

第一件要考虑的事情是空间内部的理论意味着弦论而不是普通的QFT。对这个建议，人们有理由立刻想到，弦论的函数自由度实际上应该比基元为点的理论大得多，因为就经典函数自由度来说，弦圈比单点的数量多得多。然而这样估计弦论的函数自由度数量却是误导的。更好的办法是将弦论简单看成说明寻常物理的不同方式（毕竟这也是它的部分目标），这样我们就（在某种经典极限下）回到一般形式的函数自由度了，与通常（ n +1）维时空的经典场论的情形一样，即形如前面讨论的 。（这里我忽略了 S 5 的巨大自由度。）形式 当然是空间的经典爱因斯坦引力的函数自由度——从而大概也是我们应该从空间的弦论的恰当经典极限获取的结果。

然而，所谓经典极限还意味着另一个问题。这样的问题，我们将在2.13（和4.2）节以完全不同的方式来考虑。它们也许存在某种联系，但我现在还没想沿这一点走下去。不过有一个问题，就是对空间的体和边界我们很可能看到不同的极限，这就引出一个复杂的因子，关联着我们眼下的困惑：既然边界函数自由度只是形如 ，远小于空间内的 ，那么全息原理又如何能够满足呢？当然，一种可能性是AdS/CFT猜想本来就不对，尽管已经显现了似乎强力的证据，部分证明在空间与边界的理论之间存在密切的联系。那有可能是，例如，边界方程的每一个解实际上都是从空间方程的解衍生出来的，但有大量的空间解找不到一个对应的边界解。当我们考虑 上的某个类空3维球 S 3 ，它在 的类空4维球 D 4 上延展，然后分别考虑3维和4维拉普拉斯方程，就会发生那样的事情： S 3 的每个解来自 D 4 的唯一解（见A11节），但 D 4 的很多解却给不出 S 3 （= D 4 ）上的解。在更精致的水平上，我们发现实际方程的被称为BPS（Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfield） 态 的某些解——它们具有一定的对称和超对称性质——就呈现出边界理论与相关空间理论之间的惊人的精确对应。但我们可以问，当所有函数自由度都牵涉进来时，这些特殊状态在什么程度上说明了一般情形？

另一点考虑是（如A8节），我们对函数自由度的忧虑基本上是局域性的，于是以上经典形式的AdS/CFT所面临的问题可能不适于整体情形。整体约束有时能极大减小经典场方程的解的数量。为说明AdS/CFT对应的这个问题，我们需要面对文献中显得有些混淆的一个问题：所谓“整体”在AdS/CFT对应中到底是什么意思？实际上，这里涉及两种不同形式的几何。在每种情形，我们都有一个完全有效（当然也有模糊）的共形几何——这里的共形在时空语境下指一族 零锥 （见1.7和1.8节）。我区分这两种几何为 及其共形边界 基本的 卷曲 和 展开 形式。符号 和 在这里指 卷曲 形式，而 和 指 展开 形式。专业上说， 叫 的 通用覆盖 。图1.39解释了这里涉及的概念（我希望说充分了）。卷曲的 最容易通过恰当的代数方程来实现 [3] ，且具有 的拓扑。展开形式则有 拓扑，其中 内的每个圆 S 1 （通过无限多次地环绕它）展开为一条直线（ ）。我们需要这个“展开”的物理原因是这些圆是闭合类时世界线，通常认为在任何想模拟现实的模型时空里都是不能接受的。（因为具有这些曲线为世界线的观测者可能发生自相矛盾的作用，他们有可能根据自由意志去改变那些已经发生在过去的事情！）于是，展开过程使这个模型更有可能成为现实的。

的共形边界是所谓的紧化4维闵可夫斯基空间 。我们可（共形地）将这边界视为狭义相对论的普通4维闵氏空间（见1.7节图1.23）连同其自身的共形边界 （如图1.40），但在这里，我们通过将 中的任意光线（零测地线）的无限远未来端点 a + 与无限远过去端点 a - 粘结（图1.41），从而恰当地将其共形边界的未来部分 与过去部分 粘结起来。结果表明，展开的边界空间 （ 的通用覆盖空间）共形等价于爱因斯坦静态宇宙 （图1.42）；也见3.5节（图3.23），是一个不随时间变化的空间3维球面： 。这个空间共形于闵氏空间连同其粘结的共形边界 （2维情形），都在图1.43中指出来了（也见图3.23）。

这些空间的展开形式似乎没有给经典场方程解施加多少整体约束。根本说来，我们需要担心的东西是，诸如麦克斯韦方程情形下总电荷的消失——其源来自空间方向（生成爱因斯坦宇宙的 S 3 ）的紧化。我看不出对展开的 和 上的经典场方程会有什么更多的拓扑约束，因为对时间演化就没有进一步的约束。但通过卷曲 和 的时间方向来生成 和 的时间方向的紧化，肯定能大幅度减少经典解的数量，因为只有那些具有与紧化一致的周期性的解才能在卷曲过程中保留下来［Jackiw and Rebbi1976］。

于是我假定， 展开形式 的 和 才真的是与AdS/CFT猜想相关的空间。那我们如何避免两个理论之间的显然的函数自由度矛盾呢？答案很可能在于这对应的一个特征，不过我还没讲。这就是边界的杨—米尔斯场论不是真正的标准场论（即使不说其4个超对称生成元），因为它的规范对称群必须在群维度趋于无穷的极限下考虑。从函数自由度观点看，这有点儿像看谐函数的“塔”（它决定了在 S 5 空间发生什么事情）。额外的函数自由度可以“藏”在这些无穷的谐函数里面。同样，规范群的大小也要取无穷大才能使AdS/CFT对应起作用，这个事实很容易解决函数自由度表现的冲突。

总的说来，我们还不清楚AdS/CFT对应是否开辟了一个新研究领域，联系了众多理论物理的活跃领域，在诸如凝聚态物理、黑洞和粒子物理学等分离学科之间建立了意外的联系。另一方面，在这些思想的深厚、多样和非现实的物理图景之间存在着奇异的矛盾。它依赖于宇宙学常数的错误符号，它需要4个超对称生成元，但一样也没观测到；它需要作用于无限多（而不是粒子物理学需要的3个）参数的规范对称群；它的时空体有太多的维度！最引人入胜的还是看这些东西会将我们引向何处。 h01nWc+glhZ4PljyZn1ftpkC46nRHzikRysAGyEXs1RK5z8yYzD5FHCdueqNZ5Bk