1.13　M理论

弦论在早期宣扬的一个特殊美德是它应该为我们提供一个独一无二的物理学纲领。这个希望叫喊很多年了，后来却声响渐小，涌现出五个不同类型的弦论，分别叫 I 型 ， IIA 型 ， IIB 型 ， 杂化 O （ 32 ） 型 和 杂化 E 8 ×E 8 型 （我不想在这儿解释这些名字［Greene1999］，尽管1.9节讨论过杂化模型）。这么多的可能性困扰着弦论家们。然而，杰出理论家威腾（Edward Witten）1995年在南加州大学发表了一篇影响深远的演讲，把那些思想组成一个大家族，族中的所谓 对偶 的特定变换指出了那些不同弦论间的一种微妙的 等价 。这篇演讲在后来被看作引领了“第二次弦革命”（第一次弦革命发生在1.9节说的格林和施瓦玆的工作周围，是引入了超对称性，将时空维度从26降到10；见1.9和1.14节）。照这个想法，几个看起来迥然不同的弦论纲领背后存在一个更深层的而且可能还是唯一的理论——虽然其数学蓝图尚不清楚——威腾称它为M 理论 （“M”代表“大”（master）、“矩阵”（matrix）、“神秘”（mystery）、“母亲”（mother）或其他几种可能，全看研究者的想象力）。

M理论的特征之一是，除了1维弦（及其2维时空历史）外，还需要考虑一般被称为膜的更高维结构，将普通的2维薄膜的概念推广到 p 个空间维，所以这种 p 膜有 p +1个时空维。（实际上，这种 p 膜早有人独立于M理论就研究过［Becker et al.2006］。）上面说的对偶能成立，只是因为不同维的膜同时相互转换，就像用来充当各自额外空间维度的不同卡丘空间一样。这个思想拓展了弦论的本来意思——当然也说明了为什么需要M理论这样的新名字。值得注意的是，原来的弦与复曲线（即1.6和1.12节提到的黎曼曲面，A10节有描述）的优美联系，曾是弦论最初吸引人并能成功的一个关键，却被那些高维膜丢弃了。另一方面，新思想里也无疑有着别样的数学美——其实，有些异乎寻常的数学威力（从1.12节最后引用的托马斯那话中可以看出来）就藏在那些耀眼的对偶里。

为了更好理解，我们把它说得具体一点。考虑对偶的一个突出应用，叫 镜像对称 。这种对称为每个卡丘空间找一个不同的卡丘空间来配对，它们交换一定的描述卡丘空间特定“形状”的参数（叫 霍奇（ Hodge ）数 ）。卡丘空间是特殊类型的6维实流形，也可解释为3维复流形——那些6维流形具有 复结构 。一般说来， n 维复流形（见A10最后部分）就是 n 维实流形（见A5）的类比，只是以复数系 （A9）代替实数系 。我们总可以将 n 维复流形重新解释为赋予了复结构的2 n 维实流形。但只有在适宜的环境下，2 n 维实流形才能被赋予那样的 复结构 ，从而被理解为一个 n 维复流形（A10）。此外，每个卡丘空间都有一种不同的所谓 辛结构 （也就是A6说的相空间具有的那类结构）。实际上，镜像对称实现了复结构与辛结构相互交换的奇异数学技巧！

我们这里考虑的镜像对称的特殊应用，是从纯数学家（代数几何学家）们前些年一直研究的一个问题生出来的。两个挪威数学家艾林斯特鲁德（Geir Ellingstrud）和斯特罗姆（Stein Arilde Stromme）发展了一种在特殊型的3维复流形（叫 5次曲线 ，由5阶复多项式定义）上计数有理曲线的方法，其实就是卡丘空间的一个例子。想想复曲线（1.6节和附录A10）就是所谓的黎曼曲面；如果曲面的拓扑是球面，则那复曲线就叫有理曲线。在代数几何中，有理曲线能“卷曲”成上升的螺旋曲线，最简单的例子就是复直线（1阶），其次是复圆锥截面（2阶），然后，我们有有理三次曲线（3阶）、四次曲线（4阶）等等，每一阶都有一组精确的、可计算的有限数量的有理曲线。（ n 维平直环境空间里的曲线的 阶 ——现在常常叫它的 度 ——就是它与一个任意放置的（ n -1）维平面的交点数。）在复杂计算的帮助下，两个挪威数学家发现，1，2，3阶曲线分别对应如下的数字：

2875，

609250，

2682549425，

但继续算下去就很难了，因为既有的计算技术太复杂了。

弦论家坎德拉斯和他的合作伙伴们听说这些结果后，就开始运用M理论的镜像对称程序，因为他们发现那些程序可以在镜像的卡丘空间上进行不同类型的计数。在这个对偶空间里，不用数有理曲线，而是做比原来简单得多的不同计算，（其中，系统有理曲线被“镜像”为一族更容易把握的曲线）。根据镜像对称，这应该同样得出艾林斯特鲁德和斯特罗姆计算的数。坎德拉斯和同事们发现的是对应的数字序列：

2875，

609250，

317206375，

引人注意的是，前两个数与挪威学者们发现的相同，而第三个数却奇怪地完全不同。

首先，数学家们指出，由于镜象对称的论证只是来自物理学家的某种猜想，并没有清晰的数学理由，1、2阶数的一致肯定基本上属于巧合，没理由相信从镜像对称方法获得的更高阶数。然而，后来发现挪威人的计算代码里有一个错误，改错后，第三个数就变成了317206375，正与镜象对称预言的结果相同！而且，镜像对称论证很容易拓展，可以计算4，5，6，7，8，9，10阶的有理曲线，得到如下结果：

242467530000，

229305888887625，

248249742118022000，

295091050570845659250，

375632160937476603550000，

503840510416985243645106250，

7042881649784546686113488249750，

这无疑提供了一个值得注意的旁证来支持镜像对称思想——这个思想的出现是为了说明，两个貌似截然不同的弦论在某种更深层意义上却是“同一个”理论，只要它们涉及的两个不同的卡丘空间在上述意义上是对偶的。不同数学家（Kontsevich，Givental，Lian，Liu，and Yau）的后续工作［Givental 1996］在很大程度上证明了物理学家的一个纯粹的猜想实际上是一个严格的数学事实。但数学家以前没有线索表明镜像对称这样的东西会是真的，就像1.13节最后那段托马斯的评论说的那样。数学家也许不了解这些思想的物理基础有多薄弱，对他们来说这就是大自然的礼物，令人想起17世纪后期的醉人日子，那时，牛顿等人为了揭示自然的运行而发展起来的微积分的“魔法”开始显出数学自身的强大力量。

当然，我们很多在理论物理学家群体中的人，确实相信自然的运行高度精确地依赖于拥有强大力量和精微结构的数学——如麦克斯韦的电磁学，爱因斯坦的引力论，薛定谔、海森伯、狄拉克等的量子论所深刻揭示的。于是，我们也可能为镜像对称的成绩感到震撼，认为它们也许提供了某种证据，令人相信产生如此强大和微妙的数学的物理学理论也可能像物理那样有着深刻的有效性。不过我们要小心这个结论。有很多强力而诱人的数学理论并没有提出任何严肃的与物理世界的运行有关的建议。一个恰当的例子是怀尔斯（Andrew Wiles）的绝妙的数学功绩，他在前人工作的基础上，在1994年最终确立了［在泰勒（Richard Taylor）的帮助下］被称为 费马大定理 的350多年的老猜想。怀尔斯确立的东西（证明的关键）与镜像对称得到的结果有几分相似，即确立从貌似完全不同的数学程序得到的两个数字序列是完全相同的。在怀尔斯的情形下，两个序列的等同是著名的 谷山 — 志村猜想 的一个论断：为了证明费马大定理，怀尔斯成功地用他的方法来确立猜想所需要的部分（后来，在1999年，Breuil，Conrad，Diamond和Taylor在怀尔斯方法的基础上确立了整个猜想，见Breuil et al . 2001）。纯数学中有很多这样的结果，而我们清楚地知道，对一个新的深刻的物理学理论来说，我们需要的远不仅仅是这样的数学，尽管它可能微妙、困难，有时还带着真正的“魔性”。为了让我们心服口服地相信数学可能与物理世界的实际运行有着直接的联系，物理学从根本上需要来自实验的动机和支持。这些问题实际上是我们将在下面讨论的问题的核心，在弦论发展中扮演着关键角色。 IlCHefh8kBJDHhVOeQjifD7ZraA8/55tFB9Dgqq9I6z2DHejM88JkYjh4KeSvL5R