1.11　高维弦论的经典不稳定性

现在来看1.10节的问题：形如 的经典时空的稳定性问题，其中 是小尺度的紧致空间。尽管我的论证并不十分确定空间 的性质，我还是用 为紧致6维空间（即著名的卡丘流形，我将在1.13和1.14节细说）形式的弦论来说明，那么 为10维时空。其中涉及一些超对称的元素（1.14节），但它们在我下面的经典讨论（可认为适用于系统的“体”部分）中不起任何作用，所以我现在擅自将超对称忽略不计，到1.14节再考虑它。实际上，我要的 ，基本上说只需要满足至少是2维的，这当然也是当下弦论的倾向，尽管我要的时空 应满足一定的场方程。

我在前面提过（1.10节），根据弦论，确实应该存在某些场方程适于高维空间 的度规。在一级近似下，我们可以考虑 满足的方程组就是爱因斯坦真空方程 10 G = 0 ， 10 G 是从 的10维度规构造的爱因斯坦张量。这些方程是加给时空 的，弦必须处于那个时空才能避免 反常 ——即1.6节所指的那种令理论家们提高时空维度的反常。实际上，在 10 G = 0 中的“ 10 G ”只是小量α ' 的幂级数展开的第一项。这个α ' 叫弦常数，是一个极小的面积参数，通常认为只是略大于普朗克长度（见1.5节）的平方：

α' ≈10 -68 m 2 .

于是，我们有某种幂级数形式的 的场方程（A10）:

0 ＝ 10 G + α ' H + α ' 2 J + α ' 3 K +…，

其中 H ， J ， K 等应从黎曼曲率及其各阶导数来构造。然而，由于α ' 非常小，高阶项在特定形式的弦论中通常都是忽略不计的（不过这种做法的有效性还存疑，因为没有关于级数收敛性和最终行为的信息，参见A10和A11节）。特别是，前面所说的卡丘空间（见1.13和1.14节）可以明确认为满足6维空间方程 6 G = 0 ，只要假定标准的爱因斯坦真空方程对 也成立（对物质场的真空“基态”来说，这是合理的），这就引出对应的乘积空间 的方程 10 G = 0 。 [2] 根据上面的讨论，我们假定真空方程 10 G = 0 确实适合空间 。我们感兴趣的是，假如对“额外维”空间 （即卡丘空间）进行小扰动，会发生什么呢？需要说明的是，关于我考虑的扰动的性质，有一点很重要。在弦论群体中，有很多关于扰动的讨论，它们通过改变模（将在1.16节出现）将一个卡丘空间变形成为另一个略微不同的空间，在特殊的拓扑类型下定义了特定形式的卡丘流形。我们在1.10节提过的零模式，就属于改变那种模的数值的扰动。在这一节，我不特别考虑这类变形，它们不会超出卡丘空间族。在传统弦论中，通常认为必须留在这个空间族里，因为这些空间在超对称性准则（限制6个额外空间维来构造这种流形）下才是稳定的。然而，这些“稳定性”考虑旨在说明卡丘空间是满足超对称准则的唯一的6维空间。通常的稳定性概念是说，偏离卡丘空间的小扰动还会回到那样的空间，却没考虑这样的可能：如此扰动也许会离开那个空间族，最终导致 奇异 空间，不存在光滑的度规。实际上，正是后一种向奇异空间的“逃亡演化”才是以下论证的显然结果。

为研究这一点，我们先明确一个基本情形， 不受扰动，即 ，这里 是狭义相对论的平直闵可夫斯基4维空间（1.7节）。因为 平直，可以另表达为乘积空间

（见A4图A8，这等于是将坐标 x，y，z，t 分组，先是（ x，y，z ），然后是 t ）。3维欧几里得空间 是普通空间（坐标 x ， y ， z ），1维欧几里得空间 是普通时间（坐标 t ），后者不过是实直线 的复本。有了这种形式的 ，整个（未扰动的）10维时空 可以表达为（ 和 是 的因子空间）

这不过是将坐标重新分组，其中 是7维时空

（ 的坐标是先时间 t ，然后是 的坐标）。

我将考虑在 t =0时将6维空间 （如卡丘空间）变成新空间 的一个小（但非无穷小）扰动，这里我们可将其看作沿 确定的时间方向的传播（时间坐标 t ），这就得到一个演化的7维时空 。眼下，我假定扰动只对 ，额外的3维欧氏空间 保持不变。这与演化方程是完全一致的，但因为扰动肯定会随时间以某种方式改变 的6维几何，我们并不指望 会保持如 的乘积形式。 的精确的7维几何取决于爱因斯坦方程 7 G = 0 。然而，整个时空 在演化中还会保持乘积 ，因为只要 满足 7 G = 0 ，则完全的爱因斯坦方程 10 G = 0 依然为乘积空间所满足（因为平直空间 当然满足 3 G = 0 ）。

6维空间 为 演化的初值曲面（图1.33）。这时，方程 7 G = 0 沿时间未来方向（由 t ＞0决定）传播扰动。在 上还应满足一定的约束方程，要用严格的数学语言来确保这些约束方程在整个紧致空间 的每一处都得到满足，多少还是一个微妙的问题。不过，我们为 的如此初始扰动赋予的函数自由度还是

表达式中的“28”来自将 n=7 代入 n （ n -3），这是在一个初始（ n -1）维曲面上的每一点的独立初始数据分量，对爱因斯坦张量为零的 n 维空间来说，“6”是初始6维曲面 的维度［Wald1984］。这既包括了 本身的内在扰动，也包括了 嵌入 的外在扰动。当然，这个经典的自由度远远超过了函数自由度 ，即我们对适用于寻常3维世界活动的物理理论所预期的自由度。

但问题远比这复杂，因为世界上所有这样的扰动都将导致 的奇异演化（见图1.34）。大致说来，这意味着额外维肯定会皱起来，曲率变成无穷大，于是经典方程的演化变得不复可能了。这个结论来自20世纪60年代末证明的数学的 奇点定理 ——特别是霍金和我在70年代前夕确立的奇点定理［Hawking and Penrose1970］。定理特别强调，几乎任意包含（ n -1）维紧致类空曲面（这里即6维卡丘空间 ）但不包含闭合类时线圈的 n 维时空（ n ≥ 3），必然演化到一个时空奇点，只要时空的爱因斯坦张量 n G 满足一个叫 强能量条件 的（非负）能量条件（这里当然是满足的，因为在整个 上 7 G = 0 ）。“几乎”与不包含“闭合类时线圈”的附带条件，在这里可以忽略，因为这些可能情形即使发生，也仅在自由度远低于 的一般扰动的例外条件下。

还要做一点技术性说明。奇点定理并不是真的断言曲率一定发散到无穷大，而只是说，在一般情形下，演化不可能超出某个点。尽管原则上可能发生例外情形下的其他事情，依然可以预料，演化不能延续的一般原因还是曲率确实会发散［Clarke1993］。与此有关的是，这里假定的强能量条件，尽管为 7 G = 0 自动满足，但当我们考虑前面所说 α' 的幂级数的高阶项行为时，它却并不是理所当然的。不过，时下多数弦论似乎都在忽略 α' 高阶项的水平上考虑其行为，直把 作为卡丘空间。奇点定理告诉我们的是，只要额外维的扰动可以 经典地 处理——这是我们前面1.10节的考虑得出的明确结论，当然是合理的做法——我们就必须预想到，6个额外空间维会出现暴烈的不稳定性，皱起来 趋向 一个奇点态。而在奇点之前，却必须认真把 α' 的高阶项甚至量子效应考虑进来。依赖于这个扰动尺度，我们满可以料想时间会“皱”成“一刹那”，这里我们要记住， 普朗克时间 （光经过普朗克长度的时间，见1.5节）不过是10 -43 秒！不论额外维皱成什么，我们看见的物理也不一定非受它的破坏。弦论家们为我们宇宙孜孜以求的这幅10维时空图景，几乎是不会令人满意的。

这里还有一个问题需要指出，即以上考虑的扰动 仅 影响6个额外维，而宏观维（即3维欧氏空间）不变。实际上，在整个9维空间 中，扰动的函数自由度远多于只影响 的扰动，它们的自由度是 。上面的论证似乎可以修正（不过方式很复杂），使同一个定理［Hawking and Penrose 1970］依然成立，得出同样的奇点结论，不过这时是针对整个时空［《通向实在之路》注31.46，932页］。除此以外，我们还清楚地知道，如果宏观4维空间的任何扰动相当于以上考虑的额外6维空间的扰动，对寻常物理来说一定是一个灾难，因为像 空间那么小的曲率简直不可能在我们看得见的现象中感知。这确实引出一个棘手的问题，在任何情形下，现代弦论都对它无能为力：如此异乎寻常的曲率尺度如何与我们共存却互不相干呢？在2.11节我们会重提这个问题。 u/iK8sfxUMo1rS+UqI6R1v11TGeaSykXhfg1MGVZ7hCSNCee+bg/21IX4Nk7c1u7