1.6　弦论的源头

现在我们来看弦论的原始思想如何适应我们的问题。从上面的讨论我们看到，紫外发散的问题源自微小距离和时间下的量子过程。我们可以认为问题的根源在于把物质实体看做 粒子 组成的，且认为基本粒子在空间占据单个的 点 。当然，我们也许可以认为裸粒子的点特征只是一种非实在的近似，可是当我们将这种基本实体看做某种有着空间延展分布的东西时，又会生出另一个反问题：像那样延展的东西，假如不必想象为由什么更小的东西组成的，那又该如何描述呢？而且，像这样的模型，假如要求散开的实体像统一的整体那么活动，则总会存在一些微妙的与相对论矛盾的问题（因为在相对论中信息传播速度是有限的）。

弦论对这个难题建议了另类的回答。它提出，物质的基本成分既非0维空间延展的类点粒子，也非3维空间的弥散分布，而是像1维的曲线。这个想法看起来有点儿奇怪，但我们还是要记住，从时空的4维观点看，即使在经典理论中，我们也不把点粒子简单地描述成一个点，因为它是在时间中持续的（空间）点——所以它的时空描述其实是1维流形（见A5），叫粒子的 世界线 （图1.9a）。相应地，我们应该把弦论的曲线想象为时空的2维流形或曲面（图1.19b），叫弦的 世界面 。

在我看来，弦论（至少其原始形式）特别诱人的一个特征是，这些2维弦历史（即弦的世界面）在适当的意义上可以认为是 黎曼曲面 （但是，关于所涉的维克旋转，见1.9节，特别是图1.30）。我们将在附录A10中更详细地讨论，黎曼曲面是一个1维复空间（记住，复数的1维相对于实数的2维）。神奇的复数为复空间赋予了很多优点。黎曼曲面就显示了很多神奇的方面。这些曲面（即复曲线）在量子力学的复线性法则主导的情形中扮演着重要角色，这个事实为微观物理学的两个不同方面的微妙的相互作用乃至和谐统一开启了大门。

为更具体说明这个基本的弦概念所扮演的角色，我们回到1.5节的费曼图。如果我们想象图中的线条代表着基本粒子的真实的世界线，而粒子像空间的点，则图的顶点代表了粒子间的零距离相遇，我们可以认为紫外发散就源自这些相遇的类点特征。反过来，如果基本实体是小线圈，则它们的历史应该是时空中的箭头管。这时，我们就不会有费曼图中的点状相遇，而可以像管子工人一样将那些管道光滑地连接起来。在图1.10a～c中，我画了几个（任意粒子）无圈的费曼图（树图），而图1.10d是更典型的带圈的图。在图1.11中，我画了它们在弦情形的对应图样。这时，点状相遇被清除了，过程以完全光滑的方式表现出来。我们可以想象图1.11的弦历史曲面（包括它们的交汇）为 黎曼 曲面，从而可以借助其美妙的数学理论来研究基本的物理过程。特别的是，我们发现标准费曼理论中的闭圈（产生紫外发散的）只是在黎曼曲面中形成了多连通的拓扑。费曼图的每个圈只是给我们的黎曼曲面的拓扑添加一个新“柄”（专业地说，它增加了一个亏格。黎曼曲面的亏格就是柄的数目）。（关于拓扑的柄，见1.14节图1.44a和附录A5的图A11。）我们还注意到，费曼理论的初末态对应于我们的黎曼曲面的孔或洞，能量和动量的信息就是从这些地方显露的。在一些曲面拓扑学的通俗解释中，名词“孔”相当于我这里说的“柄”。但弦论用的非紧致黎曼曲面也有我所说的这种意义上的孔（或洞），所以我们需要仔细区分这些不同的概念。我们将在1.16节看到，黎曼曲面还有其他孔洞。

现在说说我在1.3节开头提到过的弦论初期的一个特别动机，与当时困惑物理学家们的一些强子物理学的观测结果有关。我在图1.10a～c中画了三个费曼图，示意了两个粒子（不妨假设为强子）进出的低阶过程。在图1.10a中，两个强子一起形成另一个强子，而它又几乎立刻分裂为另外两个强子。在图1.10b中，初始的一对强子交换一个强子，然后生成另一对强子。图1.10c类似于b，只是最终的两个强子颠倒了。现在我们清楚地看到，对给定的初始和终了状态，三个图的每一个都存在多种可能的中间强子，我们必须将所有可能加起来才能得到正确结果。事实也是如此，但为了获得完整的答案，在当前的低阶计算中，似乎应该把所有这三个图的和加在一起（即每种情形都分别对图1.10的三种可能求和）。然而，所有这三个求和都是一样的，因此不必对所有三个图求和，任何一个求和都会给出正确答案！

我们前面说过该如何用费曼图来计算，从那个观点看，这里的情形显得很奇怪，虽然我们认为应该把所有可能都加起来，但大自然似乎告诉我们，那三个貌似不同的图（1.10a～c）中的任何一个所代表的过程都够了，如果把它们都包括进来，倒会得到“求和过度”的结果。我们可以在完整的QCD体系中理解这一点，其中我们用基本的夸克而非强子来表达所有的强子过程，因为夸克是强子的构成元素；那样，我们就以基本夸克来“数”独立状态的数目。可是在弦论初建时，还没有获得恰当的QCD形式，那么另寻他路来解决这个问题（和其他相关问题）似乎也是理所当然的。弦论的解决方法如图1.11a～c，我画了与图1.10a～c的三种可能性对应的弦论图。我们注意，三个过程的弦图是拓扑等价的。就是说，从弦的观点看，图1.10a～c所示的三个过程确实不应该分开计算，它们只不过是以不同的方式看到的同一个基本过程的样子。

然而，并非所有弦图都一样。看对应于图1.10d的弦图，即图1.11d，在这个（更高阶的）费曼图出现的 圈 是通过弦历史的 拓扑柄 表现的（见1.11节图1.44a，b和附录A5的图A11）。不过，我们又看到弦论方法的一个潜在优点。传统费曼图出现闭圈时，会给我们带来发散的表达式，但弦论为我们提供了一条非常雅致的看圈途径，即从2维拓扑的角度去看它，这是数学家们在硕果累累的黎曼曲面理论中习以为常的方法（A10）。

这种新的认识为人们重视弦论的思想提供了绝好而直观的动力。不过更专业的动力还是它引领了物理学家的方向。20世纪70年代，南部阳一郎（Yoichiro Nambu，2008年因另一个贡献，即亚原子物理学中的自发性对称破缺，获诺贝尔物理学奖）提出弦的概念，是为了解释维尼奇亚诺（Gabriele Veneziano）两年前提出的一个令人惊奇的描述强子碰撞的公式。可以注意到，南部的弦很像橡皮筋，它的作用力随弦的延伸正比地增大（当然它不同于普通的橡皮筋，它的力只有在弦长收缩到零时才变成零）。从这儿我们看到，原先的弦确实是想提供一个强相互作用的理论，在这一点上它的建议在当时是非常清新诱人的，特别是那会儿QCD还没成为有用的理论。［QCD的一个关键要素，即著名的 渐近自由 ，要到1973年才由格罗斯（David Gross）和韦尔切克（Frank Wilczek）以及普利泽（David Politzer）分别独立发展起来，他们最终获得了2004年诺贝尔物理学奖。］我和很多人都认为，弦的建议是很值得发展的计划，但我们也注意到，是 强子 （强）相互作用的本性驱动了基本的初始弦概念的产生。

然而，在理论家们努力发展恰当的弦的量子理论时，遭遇了一个“ 反常 ”的事情，这驱使他们踏进一块奇异的领地。这儿的 反常 ，是因为经典描述的理论在用量子力学法则（通常是某种对称性）时失去了某个关键性质而出现的——在眼下情形，经典理论指的是我们依照寻常的经典（如牛顿）物理学来建立以弦为基本实体的动力学理论。在弦论的情形，那种对称性是指在弦的坐标参数变换下的一种基本不变性。如果失去了这种参数不变性，弦的数学描述就不会有作为一个弦论的恰当意义，所以，由于参数不变性的（反常）缺失，这个经典弦论的 量子 形式实际上并不具有弦论的意义。不过，1970年前后，人们得到一个惊奇的结论，假如时空维数从4增加到26（即25个空间维和1个时间维）——坦白说，这确实是一个很奇怪的想法——则理论中产生的反常的东西将奇异地消失［Goddard and Thorn 1972；也见Greene 1999，§12］，这样弦的量子理论总算能运行了！

事情似乎是这样的：很多人都喜欢浪漫地想象，在直觉背后可能存在一个高维的世界，而且那高维可以构成我们生活的现实世界不可分割的一部分！不过我本人的反应却不同。我对这个消息的第一反应是，不管那建议的数学多迷人，我都不会把它真的当成与我们已知宇宙的物理有关的模型。于是，在我没看见有其他可能的（迥然不同的）方式来看弦论的思想时，它们原先给物理学家的我灌注的兴趣和兴奋就都荡然无存了。我相信我的反应在物理学的理论家中并不稀罕，尽管我特别不满意它提出的空间维数剧增还有一些特殊原因。我将在1.9～1.11节、2.9节、2.11节、4.1节、特别是4.4节讨论这些原因，但眼下我只需要简单解释一下弦论家们的思想方法，看看他们为什么不会反感物理空间呈现的3维与弦论明显需要的25维（外加1时间维）之间的矛盾。

这说的是所谓 玻色弦 ，它想代表我们熟悉的 玻色子 。我们将在1.14节看到，量子粒子分两类，一类包含玻色子，另一类包含叫 费米子 的粒子。玻色子和费米子具有不同的特征性的统计性质，而且玻色子的自旋数总是整数（绝对单位下，见2.11节），而费米子的自旋总是与整数相差一个1/2。这些问题留待1.14节讨论，在那儿还将讨论它们与超对称性的关系——那是为了将玻色子和费米子融合到一个总体纲领中提出的一种方法。我们还将看到，超对称性的建议在现代弦论中扮演着中心角色。实际上，正是格林（Michael Green）和施瓦茨（John Schwarz）发现，通过融入超对称性，弦论所需的时空维度将从26减少到10（即9个空间维和1个时间维）［Green and Schwarz1984；Greene1999］。这个理论的弦被称为 费米弦 ，描述费米子，通过超对称与玻色子相关联。

理论与现实观测在空间维度上出现那么巨大而荒唐的偏离，这也许令人感到不安。为此，弦论家们会举出一个更老的建议，是德国数学家卡鲁扎（Theodor Kaluza）在1921年提出的， 后来经过瑞典物理学家克莱因（Oskar Klein）的发展，也就是我们现在知道的卡鲁扎—克莱因理论，它用一个5维时空理论同时描述引力和电磁力。卡鲁扎和克莱因是如何面对他们理论的第5维时空不能直接被他们宇宙的居民观测的现实呢？在卡鲁扎原来的纲领中，5维时空具有与爱因斯坦纯引力论相同的度规，但在沿第5维空间的一个特殊矢量场 k 方向多一个额外的对称性（见A6图A17），几何在 k 的方向上没有任何变化。用微分几何的话来说， k 叫 基林 （Killing）矢量，即生成那个连续对称性的矢量场（见A7图A29）。而且，在这个时空下描述的任何物理对象也都有一个沿 k 方向的不变描述。因为任何这样的物体都享有这个对称性，因此时空里没有“谁知道”那个方向，因而对其中的事物来说， 有效的 时空还是4维的。尽管如此，加在4维有效时空上的5维结构还是可以解释为那个4维空间里的电磁场，满足麦克斯韦方程，而且以应有的方式贡献于爱因斯坦的能量张量 T 。 这实在是一个极有创意的想法。实际上，卡鲁扎的5维空间是A7意义的有着1维纤维的丛 。丛的基空间是我们的4维时空 ，但 不是5维空间 的自然嵌入，因为正交于 k 方向的4维面元“扭曲”了，这扭曲恰好描述了电磁场（图1.12）。

后来，到了1926年，克莱因换了一种方式来看卡鲁扎的5维空间，他的想法是， k 方向的额外维很小，卷曲成小圈（ S 1 ）。为了直观认识发生的事情，通常将时空图画成一根软管（图1.13）。在这个类比下，管长的方向表示普通时空的4个宏观维度，绕管线圈的方向则表示卡鲁扎—克莱因理论的额外的第5个“小”时空维度（或许为10 -35 米的普朗克尺度）（见1.5节）。如果我们从远处看水管，它就像1维的，管子的2维表面特征就看不见了，像是丢了1维。相应地，在卡鲁扎—克莱因图像中，第5维类似于环绕管子的线圈方向，在寻常的经验尺度下是不能直接感觉到的。

同样，弦论家设想，弦论的额外22个空间维像卡鲁扎—克莱因的第5维一样是非常“渺小”的，因而它们也跟环绕管子的那个小维度一样，在大尺度下是看不见的。他们认为，我们就是这样失去了那22个额外空间维的直接感知，虽然弦论需要靠它们从反常问题解放出来。实际上，正如本节开头说的，弦概念的强子物理学动机似乎意味着强子尺度（大约10 -15 米）可能应该是那些额外空间维的适当“大小”——它虽然与强子的大小密切相关，在日常经验的水平上却是很小。我们将在1.9节看到，更新的弦论普遍提出更加微小的额外维，大致在10 -33 ～10 -35 米之间。

这建议有意义吗？我相信它还引起一个更深层的问题，即前言里提到的函数自由度问题，我们在A2（和A8）中还有更细的讨论，不熟悉的读者现在可以参考［Cartan1945；Bryant et al.1991］。如果我们关心经典场，遵从通常类型的方程（决定场在时间中的传播方式），则所涉的空间维数会产生巨大差别，如果各种情形都认为只有一个时间维，那么考虑的空间维数越多，场的自由度越大。根据A2的符号，一个 c —分量场在 d 个空间维的空间中能自由确定的函数自由度为

这个量与一个 C —分量场在 D 个空间维的空间中自由确定的函数自由度比较，可以表达为

这与场在每点的分量数 C 和 c 的相对大小无关。这儿用双重大于号 ，是为了强调，只要空间维数大，不论分量多少（即 C 和 c ），左边的函数自由度都不容置疑地远远大于右边的（见A2和A8）。关键在于，对普通的经典场来说，每点只有有限个分量——我们在每一点有普通类型的场方程，能演绎 d 维初始空间中（有效）自由确定的数据的确定性时间演化——因而数 d 是至关重要的。如果初始空间有不同维数，同样的这个理论，也不可能是等价的。假如 D 大于 d ，那么 D —空间理论的自由度总是大于 d -空间理论！

尽管在我看来这对经典场论是完全清楚的，量子（场）论的情形却未必那么清楚。不过，量子论通常是经典论上的模型，因而在我们的预期中，量子论与其基础经典论之间的偏离，首先应该具有为经典论提供量子修正的特质。在这类量子论中，我们需要很好的理由来认识，为什么两个量子论即使各有不同的空间维时也可能存在某种等价。相应地，这引出更深层的关于量子论（诸如超维弦论）的物理相关性问题。对它们来说，空间维数都大于我们直接感知的维数。当额外空间维存在巨多潜在函数自由度时，系统也将拥有大量额外自由度，这时会发生什么呢？这些巨量的自由度有没有可能隐藏起来而不在那些理论的物理世界里完全表现呢？

在一定意义上，即使对经典理论来说，这也是可能的，只要那些额外自由度起初 并不真的存在 。这就是卡鲁扎提出原始5维时空建议的情形，它只是明确要求额外维存在一个精确的连续对称性。在卡鲁扎的初始计划中，这个对称性由基林矢量 k 的性质来确定，因而函数自由度归结为传统的3维空间理论的情形。

于是，为了考察高维弦论思想的合理性，首先应该理解卡鲁扎和克莱因究竟想做什么。这将为电磁论提供一幅爱因斯坦广义相对论精神的几何图像，也就是将力展示为时空结构的表现。我们在1.1节说过，1916年首次完整发表的广义相对论令爱因斯坦将引力场的性质完全融入弯曲4维时空的结构。当时已知的基本自然力是引力和电磁力，人们当然以为，在恰当的观点下，电磁力的完整描述（包含了它与引力的相互作用）也应该找到一个用某种时空几何语言的完整描述。值得注意的是，卡鲁扎做的确实能实现这一点，不过代价是必须给时空连续统引入一个额外的维度。 dmMlhrFUTttsOQSNoEnou3eJib3tN9DiBbHoVrzS1Igstk9q1k0/Eu2A1SAds7Qq