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二维时空中的量子引力至少有两个最简单的候选模型。从20世纪80年代起就一直被不断研究着的矩阵模型便是其中之一。这些模型在[7-11]中被提出，之后在[12-14]中被求解出来；[15]做了全面的综述并包含大量的资料。第二个候选模型是拓扑引力理论，也就是黎曼曲面模空间中的相交理论。在过去人们便开始猜想二维拓扑引力是等价于矩阵模型的[16，17]。
两者的等价性导出了用矩阵模型配分函数来表达模空间中某些上同调类相交数的公式，该配分函数由KdV方程[18]或等价地由维拉宿约束[19]决定。孔采维奇（Kontsevich）用一种新的矩阵模型直接计算了模空间中的相交数（这种矩阵模型也是由KdV方程和维拉宿约束所控制的），从而证明了这些公式[20]。
10多年前，玛丽亚姆·米尔扎哈尼（MaryamMirzakhani）在她的博士论文中找到了这个等价性的新证明[1，2]（一些别的证明参见[21，22]）。她把重点放在理解带边双曲黎曼曲面模空间的韦伊-彼得森体积，证明了该体积包含了相交数的所有信息。曲面Σ上的双曲结构是由平坦
联络决定的，所以Σ上双曲结构的模空间M可以认为是平坦
联络的模空间。事实上，定义M上韦伊-彼得森辛形式的公式与以紧李群（例如SU（2））为结构群的平坦联络模空间上辛形式相同。对紧李群来说，模空间的体积可以通过剪切和粘贴的直接方法来计算[23]。这里涉及用三洞球面来粘成Σ的构造。你可能会简单地希望对
和韦伊-彼得森体积做类似的计算。但是关键的差别在于：在
的情形中，为了定义和计算模空间的体积，你需要模掉Σ的映射类群的作用（否则得到体积是无限的）。然而模掉映射类群的作用与简单的剪切粘贴方法不相容。玛丽亚姆·米尔扎哈尼用一种惊人的优美方法克服了这个困难。我们将在第2部分中简单回顾这一方法。
二维引力的矩阵模型有一个自然的推广，其中引入了向量自由度[24-29]。从物理的观点看，这个推广与有复结构的二维带边流形上的二维引力有关。我们称这样的二维流形为开黎曼曲面（如果Σ的边界为空集，我们称它为闭黎曼曲面）。自然地，我们希望类似于闭黎曼曲面的情形，开黎曼曲面的模空间也有与带向量自由度的矩阵模型相关的相交理论。为了构造这样的理论，你立刻会遇到困难：开黎曼曲面的模空间是带边的并且没有一个自然的定向；这两点导致了在这个空间上定义相交理论并不是一件显然的事情。这些困难被潘德里潘德，所罗门和特斯勒通过一种相当出乎意料的方法克服了[3]。这个解法涉及在某个初看起来毫不相关的问题里引入自旋结构[4-6]。在第3部分，我们将解释其中的要点。在第4部分，我们将回顾有向量自由度的矩阵模型，并证明它们在模掉某个小的变形后，可以导出开黎曼曲面模空间相交理论中的维拉宿约束。
我们考虑的是文献[12-14]中研究的矩阵模型的直接推广。相同的问题可以使用有源高斯矩阵模型的不同方法来处理，参见[30]及[31]的第8章。另一不同方法还可以参考[32]。[33]则说明了矩阵模型和相交理论之间的关系。