公元前11世纪，周文王之子、周武王之弟周公在洛水北岸建造了洛阳，后来成为东周国都。与周公同时代的大夫商高是西周初年的数学家，他率先指出了第一组勾股数：“勾广三，股修四，径隅五。”这就意味着：

3 ² +4 ² =5 ²

此乃勾股定理的特例，后者是中国数学家的独立发现，比古希腊的毕达哥拉斯定理要早。据中国最早的数学典籍之一《周髀算经》记载，一次周公在镐京问商高：“听说大夫擅长数学。天没有台阶可攀登，地又不能用尺寸测量，请问数是怎样得来的？”商高回答：“数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来，矩是依据乘法表来的。”周公曰：“大哉言数！”

美索不达米亚位于底格里斯河和幼发拉底河中下游，也即今伊拉克境内。古老的两河流域孕育了灿烂的文明，从苏美尔人到巴比伦人，都使用楔形文字，并将其刻写在软泥板上，泥板晾干后像石头一样坚硬，加之气候炎热，得以长期保存。在已发掘出的50多万块泥板书中，大约有300块是有关数学的。美国耶鲁大学博物馆收藏了不少公元前2000年至前1600年间的泥板书，其中一块编号7289，记载了 的近似值，用60进制表示如下：

≈1+ + + =1.41421296

这是相当精确的估计，因为 的正确值为1.41421356…。现藏于纽约哥伦比亚大学，编号普林顿322号的泥板书则显示，古巴比伦人已经知道了勾股数组，其中最小的一组为（45，60，75），恰好是商高给出的那组数的15倍。

上述例子或许可以说明，勾股数（毕达哥拉斯数组）可能是人类最早发现的自然数奥妙之一。同样，数学可能是自然科学中最早出现的两门学科之一，另一门是天文学，它们同属于毕氏学派所倡导的“四艺”。在古代，天文学家通常也是数学家，正如戏剧家往往同时也是诗人。

数学诞生于游牧时代，那时人们的主要财产是牲畜。为了计算它们的只数，人们便学会了计数，继而学会了加法和减法。与此相应的是，诗歌可能是最早出现的文学形式，不过那时恐怕已进入农耕时代，人类已择地居住下来了。由于缺少科学技术和其他手段，为了有好的收成，人们只能祈求上苍风调雨顺。为此需要祷告即念念有词，诗歌因此诞生。而在艺术史上，最古老的创作形式可能要数岩画（Petroglyph），这方面有据可查。

1879年和1940年，一对西班牙父女和四位法国儿童先后发现了15000年前的史前岩画，分别是在西班牙北部桑坦德市的阿尔塔米拉（Altamira）岩洞和法国南方多尔多涅省的拉斯科（Lascaux）岩洞里。这两个岩洞的墙壁上都刻画有许多野牛、长毛象和驯鹿等动物，它们是冰河时代人类用简陋的石头或骨头工具完成的。而在我国大西北，宁夏回族自治区中卫市的黄河北岸，方圆450平方千米的大麦地岩洞里，也有一万多幅史前岩画，其中一部分属于旧石器晚期到新石器时代。

学者们猜测，那些原始狩猎者可能认为，只要他们画了狩猎图，再用长矛或石斧痛打一番，真正的野兽便会束手就擒。显而易见，最初的数学和艺术是各自独立产生的，都源于人类生存的需要。那么它们在历史的长河里是如何发展、相遇而又碰撞的呢？这是本书想要探讨的问题。正如代数与时间艺术——音乐有着较为密切的关系，空间艺术——绘画也与几何相互作用。进一步，不同时期的绘画与几何之间，又存在着不一样的相互关系。例如，文艺复兴艺术与欧氏几何，毕加索的立体主义与非欧几何，后现代主义艺术与分形几何。

20世纪美国数学史家莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908—1992）认为，“文艺复兴是数学精神的复兴”。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认，“只有紧紧地依靠数学，才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵”。也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限，才使得接下来的17世纪成为“天才的世纪”，且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海（Alfred Whitehead，1861—1947）在列举了诸多伟大发现之后感叹道，“这个世纪可以说是时间不够，没法把天才人物的重大事件摆布开来”。

相比之下，音乐与数学的关系更为隐秘，但历史却更加悠久，肇始于毕达哥拉斯时代。有一天，这位哲人走过一家铁匠铺，听到了叮叮当当的声音，他经过研究，发现了音程之间的数的关系，继而提出了“万物皆数”这一哲学论断，持续影响了后世的欧洲文明。而到了18和19世纪，德意志的名山哈茨山南北两侧，两座地理上对称的小城爱森纳赫和不伦瑞克，相继诞生了“音乐之父”巴赫和“数学王子”高斯。前者被誉为“音乐家中的数学家”，后者的数学发现和理论有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同时代的瑞士数学家欧拉则撰写了著作《音乐新理论的尝试》，他还提出了调性网络的概念，如今仍应用于和声学的研究。

高斯是非欧几何学的三位发现者之一，另一位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名，但有一句话流传后世，“从虚无中，我开创了一个新的世界”。非欧几何学大大拓宽了数学的研究领域，它与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。在黎曼几何中，球面上的直线是大圆（圆心在球心的圆），两点间的最短距离是经过这两点的大圆上的弧线。例如，从上海飞纽约的最短航线不是经过太平洋，而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此，引力源于时空弯曲，光沿着弯曲的弧线传播。

鲍耶去世七年以后，诞生了二元政体的奥匈帝国，而在他去世前四年，奥地利医生弗洛伊德已经出生，他后来创立了精神分析学，对现代主义艺术进行了细致的剖析。弗洛伊德与布洛伊尔合著的《癔病研究》是所谓的自动写作法的延伸，而他的《梦的解析》是一部具有划时代意义的巨著，书中分析了梦的工作和基本活动，认为梦是以扭曲的形式体验到的被禁止的欲望，所有的玩笑都有认真的成分。弗洛伊德还给出了力比多和本我、自我、超我等概念，为潜意识学说奠定了基础，堪称人类认识自身的里程碑。特别地，弗洛伊德的学说深刻地影响了超现实主义诗歌和绘画。

进入20世纪以来，抽象化成为数学和艺术的共性，我们各举它们的两个主要分支——拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例，说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表，而抽象代数充斥着理性的符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中，也有两个有着颇为相似的风格特征，那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是，弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释了弗氏学说，还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。

说到数学和艺术的关系这个主题，有许多科学家（包括诺贝尔奖得主）和艺术家都曾做过不同程度的探讨。但我留意到，他们更关注数学和艺术的外在形式，比如对称之美（也有的在方法论上做过探究）。但从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性，似乎还没有人做过系统的阐释。本书是这方面的一次尝试。正如西班牙哲学家乔治·桑塔耶纳所言：“机智的特征在于深入到事物的隐秘深处，从中找寻到相互关系。”幸运的是，本人在数学和艺术两方面都做了长时间的实践和探索，有着第一手的经验和认识，加以适当的提炼和总结，写成了这本小书，期待得到各方读者的批评指正。

值得一提的是，1997年元月，我获得机会申报霍英东教育基金会的高等学校青年教师基金项目，决定以“数学与艺术”为题并列好目录和写作计划，随后冒昧打电话给有一面之交的数学家吴文俊先生（中国科学院院士、首届国家最高科学技术奖得主），没想到吴老先生认为这是创新项目，值得一试，他欣然同意，并亲笔撰写了推荐书。遗憾的是，那次申请没有成功，我也没有再见到吴老。20多年过去了，教育部设立人文社科专项科普基金，我以“数学与艺术”为题再次申报，终获成功，也算可以告慰吴先生在天之灵了。

2020年秋天，杭州 GZiMYxPr9wEld3X6hE4ew2zbTP3ho2GSay+K2PH4MM+s2CeDadikq1YhfHP07FGP