1.13　平面三角形的角与边的论证

一

已知三角形的角，可求各边 （见图1.12） 。

令：三角形为 ABC ，根据《几何原本》第四卷问题5，对△ ABC 作一个外接圆。

两个三角形的角度之和等于360°， 、 和 三段弧的长度均可求得。当弧已知时，内接三角形相对应的边的长度即可按上表求出。假设直径 AC 的长度为200000 ^P ，参照上表，很快求出边长。

二

已知三角形的一角和两边，可求另一边和另两角。

已知：三角形的两边可以相等或不相等，任意一角可以是锐角、直角或钝角，且已知角可以是也可以不是已知两边的夹角，而为任意一角 （见图1.13） 。

证一：

令：三角形 ABC 的两条已知边 AB 和 AC 相等，两边的夹角∠ A 已知。那么，底边 BC 两侧的角可求得。

∵∠ ABC ＝∠ ACB ，且这两角均等于两直角减去∠ A 后数值的一半。

假设：底边 BC 两侧任一角已知。

∴使用两直角减去底边两角，即可得出第三角的度数。

当三角形的角和边都已知， BC 相应的值就可在表中查取。取边 AB 或边 AC 等于100000 ^P ，则直径 BC 等于200000 ^P 。

证二：

假设：∠ BAC 是已知两边形成的直角。那么，得证的结果与上述相同 （见图1.14） 。

∵ AB ² ＋ AC ² ＝ BC ²

∴ BC 的长度和各边的关系即可求出。

以 BC 为直径，作△ ABC 的外接半圆。取 BC 等于200000 ^P ，则可得∠ ABC 和∠ ACB 所对的弦 AB 和弦 AC 的长度。

∵∠ A 为直角，180°为两直角之和。

∴∠ ABC 和∠ ACB 的度数即可求出，并可用其查表。

如果底边 BC 和夹直角中的任一边已知，可求出同样的结果。

证三：

令：∠ ABC 为锐角，其边长 AB 和 BC 已知。

从 A 点向底边 BC 作垂线 AD （必要时可延长 BC ，这主要取决于垂线落在三角形内还是三角形外）。由垂线 AD 形成的三角形分别为△ ABD 和△ ADC （见图1.15） 。

∵∠ ADC 为直角，设∠ B 为已知角。

∴△ ABD 的角都已知，且∠ A 和∠ B 所对应的弦 BD 和 AD 均可从表中查出。

如果直径 AB 等于200000 ^P ，且 AD ＝ BD ＝ CD ＝ AB ， BC - BD ＝ CD 。

那么：直角三角形 ADC 的两边 AD 、 CD 可知，所求边 AC 和所求角∠ ACD 都可按上述方法求出。

证四：

假设：∠ B 是钝角（结果与上述一样）。

从 A 点向底边 BC 的延长线作垂线 AD ，构成△ ABD 。

∵∠ ABD 为∠ ABC 的补角，∠ ADC 为直角。

∴如果取 AB ＝200000 ^P ，则 BD 、 AD 可知 ^[4] 。

直角三角形 ADC 的情况与其相同。因为 AD 和 CD 已知，即可求出 AC 边和∠ BAC 、∠ ACB （见图1.16） 。

证五：

令：与∠ ABC 相对的边 AC 已知， AB 已知，△ ABC 的外接圆的直径等于200000 ^P 。

由 AC 与 AB 的比值可知， AB 可用相同的单位表示。查表可求出∠ ACB 和∠ BAC 的度数。利用两角的角度，即可求出弦 BC 的值。

三

已知三角形的各边，可求各角。

证一：

众所周知的是，在等边三角形中，每个角的度数都等于两直角度数的三分之一。

在等腰三角形中，两条等边与第三边的比等于半径与弧所对弦的比。已知弧的度数，可查表得出两等边形成的夹角。底边形成的两个角的度数等于两直角减去两等边所夹角所得数值的一半。

亟待研究的是不等边三角形。任何不等边三角形都可以分解成直角三角形 （见图1.17） 。

令：△ ABC 是三边都已知的不等边三角形， BC 为最长边。

从 A 点向最长边 BC 作垂线 AD 。按照《几何原本》，锐角所对应的边 AB 的平方小于其他两边的平方之和，且差值是 BC 与 CD 乘积的两倍。

∠ ACB 为锐角，否则按照欧几里得在《几何原本》中的论述， AB 将成为最长边，这显然与我们的假设矛盾。

因此：△ ABD 和△ ADC 都是边和角已知的三角形，由此可求出△ ABC 的各个角。

证二：

结合《几何原本》，我们用另一种方法也能得到相同的结果 （见图1.18、1.19） 。

令： BC 为最短边，以 C 为中心、 BC 为半径的圆会与三角形的其他两条边或一条边相交。

假设：圆与三角形的两条边相交，与 AB 相交于 E 点，与 AC 相交于 D 点。延长 ADC 到 F 点，使线段 DCF 的长度等于直径。

根据欧几里得定理可知， FA × AD ＝ AB × AE ，且该乘积等于从 A 点到圆所作切线的平方。

∵线段 AF 的各段和线段 AF 均为已知， CF 、 CD 为半径，且 CF ＝ CD ＝ BC ， CA - CD ＝ AD 。

∴不仅 BA × AE 的值可求出，线段 AE 的长度和 所对应的线段 BE 的长度也可求出。

连接线段 EC ，构成各边均为已知的等腰三角形 BCE 。并求出∠ EBC 。那么，△ ABC 的另外两个角，即∠ BAC 和∠ BCA 也能求出。

又设：该圆不与 AB 相交，且 BE 已知。

那么，在等腰三角形∠ BCE 中，∠ CBE 已知，∠ ABC 为其补角，则第三角也可知。

以上论证都是在平面三角形中获证，下面我们将论证球面三角形的情况。 5108ybw3fZWl7/vg4wp8diQW4WvJxi0OIQfJICgKAAt7XKBu9+I9Rb9VMrvbflxT