1.12　圆周的弦长

按照数学家的普遍做法，我将圆分为360°。但是根据托勒密的《天文学大成》，早期的数学家将直径划分为120等分。但由于弦长大部分是无理数，甚至平方后也是，因此，为了避免弦长在运算中出现分数，后人采用了1200000等分，也有人采用了2000000等分。印度数码通行后，又出现了更多的适用型直径体系。运用这些体系做快速运算，显然比希腊人或拉丁人建立的体系更为精确。因此，我采用了直径的200000等分。这种等分法完全可以排除较大的误差，如果出现数量比不是整数比的情况，我们只能取一个近似值。下面，我将严格仿照托勒密的方法，用六条定理和一个问题来阐述我的观点。

定理一：

如果知道圆的直径，则内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。

直径的一半等于六角形的边长。欧几里得在《几何原本》中证明：三角形边长的平方等于六角形边长平方的3倍，正方形边长的平方等于六角形边长的2倍。因此，如果取六角形边长为100000 ^P ，那么，正方形的边长为141422 ^P ；三角形的边长为173205 ^P 。证明如下 （见图1.5） 。

令：六角形一条边长为 AB 。

已知：根据《几何原本》第二卷第十题，线 AB 在 C 点被分为平均比值和极端比值两段。我们令较长的一段为 CB ，并将它延伸至相等长度 BD 。

因此，线 ABD 也被分成了平均比值和极端比值。

延伸部分 BD 是较短的一段，内接于圆内十角形的一边。已知 AB 是六角形的一边。那么，我们可以求出 BD 的长度。

E 点平分线段 AB 。由《几何原本》可知，线段 EBD 的平方是线段 EB 平方的5倍。

已知： EB 的长度为50000 ^P 。由它的平方的5倍可得 EBD 的长度为111803 ^P 。

又得： EBD - BD ＝111803 ^P -50000 ^P ＝61803 ^P ，即我们所求的十角形的边长。

同理，五角形边长的平方等于六角形边长与十角形边长平方的和。由此可得五角形边长为117557 ^P 。

结论：当圆的直径已知时，内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。

推论

当已知任意圆弧的弦时，可求得半圆剩余部分所对的弦长。内接于一个半圆的角为直角。在直角三角形中，与直角相对应的边（即直径）的平方等于另外两边的平方之和。十角形一边所对的弧为36°。定理一已证明它的长度为61803 ^P ，直径为200000 ^P 。因此，半圆剩下的144°所对的弦长就是190211 ^P 。五角形一边的长度为117557 ^P ，它所对的弧为72°，剩下的108°半圆所对弦长可求得为161803 ^P 。

定理二（定理三的预备定理）：

在圆的内接四边形中，以对角线为边形成的矩形等于两组对边所作矩形之和 （见图1.6） 。

令：矩形 ABCD 为圆的内接四边形。

∵对角线的乘积 AC × DB ＝ AB × DC ＋ AD × BC 。取∠ ABE ＝∠ CBD 。可得出∠ ABD ＝∠ EBC ，∠ EBD 为两角所共有。且∠ ACB ＝∠ BDA 。

∴两个相似三角形（△ BCE 和△ BDA ）的相应边长成比例，即 BC ∶ BD ＝ EC ∶ AD 。

EC × BD ＝ BC × AD 。

∵∠ ABE ＝∠ CBD ，∠ BAC 与∠ BDC 都因截取同一圆弧而相等。

∴△ ABE ∽△ CBD 。

同理， AB ∶ BD ＝ AE ∶ CD ， AB × CD ＝ AE × BD ，且 AD × BC ＝ BD × EC 。

∴ BD × AC ＝ AD × BC ＋ AB × CD 。得证。

定理三：

已知一个半圆中两段不相等弧所对的弦长，则可求得两弧之差所对的弦长 （见图1.7） 。

在半圆 ABCD 中， AD 为直径。令 AB 和 AC 为半圆中两段不相等弧所对的弦长，求弦长 BC 的长度。

根据定理一的推论，我们可求出半圆中弧的弦 BD 和 CD 的长度。在半圆中形成四边形 ABCD ，对角线 AC 和 BD ，以及 AB 、 AD 和 CD 这三条边都已知。

根据定理二，在四边形 ABCD 中， AC × BD ＝ AB × CD ＋ AD × BC 。

∴ AC × BD - AB × CD ＝ AD × BC 。如果该数值除以 AD 的长度（这是可行的），即可得到弦 BC 的长度。

假设：五角形和六角形的边长已知，二者之差为72°-60°＝12°。

那么：用这个方法求得弦长为20905 ^P 。

定理四：

已知任意弧所对的弦，可求其半弧所对的弦长 （见图1.8） 。

令：圆为 ABC ， AC 为直径， BC 是给定的弧。

过圆心 E 作直线 EF 与 BC 垂直。根据《几何原本》， EF 将 BC 等分于 F 。延长 EF ，将弧 BDC 等分于 D 。作弦 AB 和 BD 。△ ABC 和△ EFC 为直角三角形。

∵∠ ECF 为△ ABC 和△ EFC 的公共角，且△ ABC ∽△ EFC ， BFC ＝2 CF 。

∴ AB ＝2 EF ，弦 AB 的长度可由定理一的推论求得，从而求出 EF 和 DF 的长度。

作直径 DEG ，连接 BG 。在△ BDG 中，从直角顶点 B 向斜边作垂直线段 BF 。

∵ GD × DF ＝ BD ² ，于是可求出弧 BDG 的一半所对的弦 BD 的长度。

根据定理三，已求得对应于12°的弦长，那么，对应于6°的弦长也可求出为10467 ^P ；3°为5235 ^P ； 为2618 ^P ； 为1309 ^P 。

定理五：

已知两弧所对的弦，可求出两弧之和所对的弦长 （见图1.9） 。

令：圆内已知的两段弦为 AB 和 BC ，求对应于整条 ABC 弧的弦长。

作直径 AFD 和 BFE 及直线 BD 和 CE 。

AB 和 BC 已知，且 DE ＝ AB ，由定理一可推论出这些弦长。

连接 CD ，构成四边形 BCDE 。该四边形的对角线 BD 和 CE 以及三条边 BC 、 DE 和 BE 都可求得。剩余的一边 CD 可由定理二求出。

因此，我们可以得到与半圆余下部分所对的弦，即整个 所对的弦 CA 的长度。

至此，与3°、 和 相对的弦长都已求得。取这样的间距和数值，可以制作精确的图表。如果要增加1°或 ，使两段弦相加，或作其他运算，那么所求得的弦长是否正确就值得怀疑了。因为目前还找不到它们之间的图形关系。但另一种方法可以做到这一点，并且不会产生较大的误差，只是需要使用一组非常精确的数字。托勒密也计算过1°和 的弦长。他最先指出这个问题。

定理六：

大弧与小弧之比大于所对应两弦长之比 （见图1.10） 。

令： 和 为圆内两段相邻的弧，且 BC ＞ AB （需要说明的是， BC ∶ AB 的比值大于构成 B 角的弦的比值 BC ∶ AB ）。直线 BD 等分 B 角。

连接 AC ，该线段与 BD 相交于 E 点。再连接 AD 和 CD 。由于它们所对的弧相等，因此， AD ＝ CD 。

∵在△ ABC 中，角等分线 BE 与 AC 相交于 E 点。

∴ EC ∶ AE ＝ BC ∶ AB ，且 BC ＞ AB ， EC ＞ EA 。

作 DF ⊥ AC 。 DF 等分线段 AC 于 F 点（此点应在 EC 内）。

在每个三角形中，大角对长边。

因此，在△ DEF 中， DE 边长于 DF 边。 AD 边长于 DE 边。以 D 为中心、 DE 为半径画的圆弧，与 AD 相交并超出 DF 。

令：此 与 AD 相交于 H ，并与 DF 的延长线相交于 I 。

由此可知，扇形 EDI ＞△ EDF 。△ DEA ＞扇形 DEH 。

∵△ DEF ∶△ DEA ＜扇形 EDI ∶扇形 DEH 。但扇形与其弧或中心角成正比，而顶点相同的三角形与其底边成正比。

∴用 EDF ∶ ADE 表示的角度之比大于用 EF ∶ AE 表示的顶边之比。并能进一步证明，∠ FDA ∶∠ ADE 的角度比大于 AF ∶ AE 的边长比。

同理可证，∠ CDA ∶∠ ADE ＞ AC ∶ AE ， CE ∶ EA ＜∠ CDE ∶∠ EDA ，∠ CDE ∶∠ EDA ＝ CB ∶ AB 。 CE ∶ AE ＝ BC ∶ AB 。

由此得证：弧长之比 CB ∶ AB 大于弦长之比 BC ∶ AB 。

由于两点之间直线最短，弧线总是长于其所对的弦。但随着弧线弯曲程度的不断减小，不等于符号便趋近于等号，最终直线和圆弧同时在圆上的切点处消失。在这种情况出现之前，它们的差必定小到无法计算。我们来看 （见图1.11） ：

令： 。

设：直径 AB 长200000 ^P ，按定理四可得， 所对弦长为5235 ^P ， 所对弦长为2618 ^P 。 是 的两倍，但 AB 弦不到 AC 弦的两倍，后者比2617只大一个单位。

取 ＝ ， ＝ 。

可得： AB 弦为2618 ^P ， AC 为1309 ^P 。虽然 AC 弦应当大于 AB 弦的一半，但似乎又是一样大，两弧之比与两弦之比趋于一致。由此可知，趋近于直线的弧线之差根本无法察觉，它们似乎已化为同一条线。

因此，我可以毫不犹豫地把 和1309 ^P 这两个数值同样用于1°或某些分度所对弦的计算。那么， 与 相加，可得1°所对弦为1745 ^P ； 为 ； 为582 ^P 。

如果需要制一个表，我相信只需录入倍弧所对的半弧就足够了。用这种简化方法，我可以把以前需要在半圆内展开的数值压缩到一个象限之内，因为在证题和计算时，半弦比整弦用得更多。我取 制表，共分三栏。第一栏是圆周的分度和六分度。第二栏是倍弧的半弦数值。第三栏是每隔一度的差额。利用这些差额，可以得到一度内的分数内相应的正比量 （见《圆周弦长表》） 。 JFK0eWXU5eOXsCMF81SKHturHWZ8mp0oFFsoRa11I99y0CFKiCVhQcRPZ8Hkc3tJ