相对论市的奇遇让汤普金斯先生深感愉快，但他心里却有些遗憾，因为教授不在身边，没人为汤普金斯先生解释他看到的那些奇妙景象：其中最让他牵肠挂肚的是，火车站的司闸员为什么能减缓乘客衰老的速度呢？很多个晚上，他上床时都盼着能重游那个有趣的城市，但这段时间他很少做梦，而且大部分梦境都令人沮丧：上一次他梦到自己被银行经理开除了，因为他把不确定性引入了银行账户……所以现在，汤普金斯先生觉得自己最好去度个假，找个靠海的地方玩上一星期。就这样，他发现自己坐在火车的包厢里望着窗外，郊区的灰色屋顶渐渐消失，取而代之的是乡间的青翠草地。他拿起一份报纸，试图用越南冲突来打发时间。但报纸上的新闻全都那么无聊，车厢的摇晃令他昏昏欲睡……

当他放下报纸再次望向窗外，蓦然发现外面的景象完全变了。铁路边的电线杆挤挤挨挨地靠在一起，看起来就像一道篱笆；树木的树冠都收得很窄，仿佛一棵棵意大利丝柏。他的老朋友教授坐在对面，饶有兴味地打量着外面的奇景。教授一定是在汤普金斯先生忙着读报的时候进来的。

“我们进入了相对论的世界，”汤普金斯先生说，“对吧？”

“噢！”教授惊讶地喊了一声，“看来你知道得不少呀！你是怎么发现的？”

“我以前来过这儿，但没有您的陪伴，那次旅行少了很多乐趣。”

“看来这次你可以做我的向导啦。”老教授说。

“恐怕不行，”汤普金斯先生回答，“我看到了很多怪事，但这里的人却完全不明白我为什么那么惊讶。”

“那是自然，”教授说，“他们在这个世界里出生，所以对他们来说，周围的所有现象都是天经地义的。不过要我来说的话，如果他们不小心闯进了你生活的那个世界，他们也会大吃一惊。对他们来说，那个世界一定处处透着古怪。”

“我能问您一个问题吗？”汤普金斯先生说，“上次我在这儿遇到了一个铁路司闸员，他坚持说，因为火车总是走走停停，所以车上的乘客变老的速度比城里的其他人更慢。这到底是魔法还是某种能用现代科学解释的现象？”

“不管面对什么，抛出魔法作为解释简直不可原谅。”教授回答，“你的问题完全可以用物理定律来解释。根据爱因斯坦提出的时空新理论（或者我应该说，这套理论和世界本身一样古老，只是人类刚刚发现了它），如果某个系统的速度正在发生变化，那么这个系统内所有的物理过程都会变慢。在我们的世界里，这种效应的影响小得几乎无法觉察；但在这个世界里，由于光速很慢，同样的现象就变得非常明显。比如说你想煮个蛋，如果让锅安安静静地待在炉子上，那么只要五分钟蛋就能煮熟；可要是你不断摇晃锅子，让它的速度不停改变，那么锅里的蛋可能要煮六分钟才能熟。同样地，如果你坐在摇椅上来回摇晃，或者坐在速度不断变化的火车上，那么你体内的所有过程都会变慢。在这种情况下，同一个系统内所有过程变慢的程度都是一样的，所以物理学家更喜欢说，非惯性系内时间流逝的速度更慢。”

“可是在我们原来那个世界里，科学家真的观察到了这种现象吗？”

“当然，不过这需要一点技巧。从技术上说，获得必要的加速度非常困难，但非惯性运动系统产生的效果和强引力十分相似，或者说完全一致。不知道你有没有注意过，坐电梯的时候，如果电梯以极快的加速度向上运动，你会觉得自己变重了；反过来说，电梯向下运动的时候（尤其是缆绳断掉的时候！），你会觉得自己变轻了。这是因为加速度产生的引力场增加或抵消了地球对你的引力。呃，太阳表面的引力势能比地球表面大得多，所以那里的所有过程都比地面上慢一点。天文学家的确观察到了这种现象。”

“可他们总不能跑到太阳上去观察吧？”

“他们不用跑到太阳上去，只要观察太阳释放出来的光就行了。阳光是由太阳大气层内各种原子的振动产生的。既然太阳表面的所有过程都更慢，那些原子振动的速度自然也比地球上慢，比较一下阳光和地球光源释放的光，你就能看出其中的区别。顺便问一下，你知不知道，”——教授打断了自己的话——“外面这座小站叫什么名字？”

火车正在经过一座乡间的小火车站，月台上空荡荡的，只有站长和一名年轻的搬运工坐在行李推车上读报。突然间，站长的手向上一挥，紧接着他俯面扑倒在地。汤普金斯先生没有听到枪声，枪响很可能被火车的噪音淹没了，但站长身体周围的血泊说明了一切。教授立即拉下紧急制动器，火车猛地一顿，停了下来。他们走出车厢，正好看到年轻的搬运工奔向站长的尸体，一名乡村警察出现在月台上。

“心脏中弹。”警察检查一番，下了结论。然后他用力按住搬运工的肩膀，继续说道：“现在我要逮捕你，因为你谋杀了站长。”

“我没有杀他！”倒霉的搬运工惊慌地喊道，“听到枪声的时候我正在读报。这两位刚从火车上下来的先生很可能看到了整个过程，他们可以证明我是无辜的。”

“没错，”汤普金斯先生说，“我亲眼看到，站长中弹的时候，这个小伙子正在读报。我可以对着《圣经》起誓。”

“可你当时坐在运动的火车上。”警察打着官腔答道，“所以你看到的景象不足为证。同一时间站在月台上的人完全有可能看到这位先生正在开枪。同时性取决于你所在的参考系，难道你不知道吗？别说了，跟我走吧。”他转头命令搬运工。

“抱歉，警官，”教授打断了警察的话，“但您真的错了，要是让总部的人知道您如此粗枝大叶，他们大概不会高兴的。没错，在您的国家，同时性的概念的确具有极高的相对性。不同地点的两个事件是否同时发生，这也的确取决于观察者的运动状态。不过，哪怕在您的国家里，后果也不可能先于原因出现。您永远不可能收到一封还没发出的电报，对吧？也不可能在打开酒瓶之前喝得酩酊大醉。我能理解，您觉得我们俩坐在运动的火车上，所以我们看到‘开枪’这个动作的时间可能比它实际发生的时刻晚得多。但是，看到站长倒下以后，我们立即下了车，直到那时候，我们仍没看到这位小伙子开枪。我知道，按照警局的规矩，你们只能遵照手册里的指示行事，不过请您翻一翻手册，或许能找到这方面的内容。”

教授的语气很有说服力，警察不由得掏出兜里的便携手册慢慢读了起来。没过多久，一丝难为情的笑容浮现在他红润的大脸上。

“呀，在这儿呢，”他说，“第37章第12段，条款e：‘无论参考系运动状态如何，只要在罪案发生的那一刻，或者罪案发生前后±d/c（c是自然界的速度上限，d是嫌疑人所在地与罪案现场之间的距离）的时间间隔内，嫌疑人在另一个地点被观察到，那么即可作为完美的不在场证明。’”

“你自由了，我的好人。”他向搬运工宣布，然后转向教授，“非常感谢您，先生，不然总部肯定会找我麻烦。我刚到警队不久，这些规矩都还不熟。不过无论如何，我都得跟上级汇报这件谋杀案。”他迈步走向电话亭。一分钟后，他隔着月台朝这边喊道，“问题都解决啦！他们抓到了真正的杀人犯！当时他正企图逃离车站！再次感谢您！”

“我真是太笨啦，”火车再次开动以后，汤普金斯先生开口说道，“可我确实没搞明白，同时性到底是怎么回事？难道在这个国度，同时的概念真的毫无意义吗？”

“也不是，”教授答道，“但只限于某个特定的程度内。要是同时性真的一点儿意义都没有，我也不可能帮那位搬运工洗清嫌疑。你看，任何物体的运动、任何信号的传播都存在一个天然的速度上限，这个事实使得我们平时常说的‘同时’失去了它原有的意义。换个说法你可能更容易理解一点。假设你常常和一位远方的朋友通信，那么邮运火车的速度限制了你们之间的沟通速度。现在，假设你在星期天遇到了一件事情，而且你知道这位朋友也会遭遇同样的事情，那么显然，哪怕你立即写信警告，他也得等到周三才能收到消息。从另一方面来说，如果他提前知道了你会遇到这件事，那么要在周日之前让你得到消息，他给你写信的时间最晚不能超过上周四。因此，从上周四到下周三，在这六天的时间跨度内，这位朋友既无法影响你在周日的命运，也不可能得知你的遭遇。所以我们可以说，在这六天的时间里，你们彼此的行为不具有因果关系。”

“为什么不发电报呢？”汤普金斯先生提议道。

“呃，刚才我假设邮运火车的速度就是你们沟通速度的上限，同样的情况也适用于这个国度。要是我们回到家乡，自然界的速度上限变成了光速，无线电就成了最快的沟通手段。”

“不过，”汤普金斯先生追问，“就算邮运火车的速度决定了自然界的速度上限，这又和同时性有什么关系？我依然可以和远方的朋友在星期天的同一个时刻吃晚餐，难道不是吗？”

“不，在这种情况下，你刚才的描述毫无意义。或许某位观察者会认为你们俩在同一时刻吃饭，但坐在另一列火车上的观察者可能坚持认为，你吃周日晚餐的时候，你的朋友正在吃周五的早饭或者周二的午饭。不过，要是你和这位朋友吃饭的时间间隔超过三天，任何观察者都不可能看到你们俩同时进餐。”

“这怎么可能呢？”汤普金斯先生不敢相信地问道。

“这很简单，既然你听过我的讲座，那你可能已经知道，无论参考系如何运动，你观察到的速度上限始终保持恒定。只要能接受这个事实，那我们可以得出结论……”

就在这时候，火车到站了，汤普金斯先生必须下车，所以他们没法再聊下去了。

抵达海边的第二天早晨，汤普金斯先生来到酒店的玻璃长廊吃早饭，结果发现了一个大惊喜。老教授和一位可爱的姑娘坐在走廊尽头的角落里，女孩一边兴高采烈地跟老人说话，一边频频瞥向汤普金斯先生这边。

“我昨天的表现真是太蠢了，竟然在火车上睡着了，”汤普金斯先生越想越懊恼，“教授没准还记得我那几个关于返老还童的蠢问题。但这至少给了我一个跟他套近乎的机会，以后我有什么不懂的都可以问问他。”他甚至不愿意对自己承认，他想套近乎的对象不光是教授。

“啊，没错，我确实记得，你来听过我的讲座。”离开餐厅的时候，教授对他说，“这是我的女儿莫德。她正在学画画。”

“很高兴认识你，莫德小姐，”汤普金斯先生觉得这真是他听过的最美丽的名字，“我相信，这里的风景一定为你提供了绝佳的写生素材。”

“回头你可以看看她的画，”教授说，“不过现在，请告诉我，听了我的讲座，你有什么收获吗？”

“噢，我的确获益良多——事实上，我去过一座奇妙的城市，那里的光速可能只有每小时10英里左右，所以我亲眼看到了物体的相对收缩和时钟的古怪行为。”

“哎呀，”教授说，“后来我还讲了空间弯曲及其与牛顿引力的关系，你没听到真是太遗憾了。不过现在我们有足够的时间，待会在海滩上晒太阳的时候，我可以好好给你讲讲。比如说，你知不知道正曲率空间和负曲率空间有何不同？”

“老爸，”莫德小姐噘着嘴抱怨，“如果你再喋喋不休地讲物理，我可就要丢下你干自己的事儿去了。”

“好啦，小姑娘，你去吧。”教授在一张安乐椅上坐了下来，“我看出来了，你的数学不大灵光，年轻人，但我可以用最简单的方式给你讲讲。现在我们把空间简化成面，假如壳牌先生——你知道的，就是开加油站那位——想了解一下，他的加油站在某个国家——就说美国吧——的分布是否均匀，那么他会命令手下的办事员，让他们挑个中心城市（我好像常听人说，堪萨斯城是美国的心脏），统计一下这座城市方圆一百、两百和三百英里范围内的加油站数量。壳牌先生在学校里学过，圆的面积与其半径的平方成正比，这样一来，如果加油站均匀分布，那么随着距离的增加，它们的数量应该以1∶4∶9∶16……的速度增长。可是拿到报告以后，他却惊讶地发现，加油站数量的增长速度比他预想的慢得多，实际增长比例只有——我们随便举个例子——1∶3.8∶8.5∶15.0……以此类推。‘糟透了，’他会大声抱怨，‘我手下的经理太不会办事儿了。堪萨斯城周围的加油站为什么修得这么密？’但是，他得出的结论到底对不对呢？”

“对不对呢？”汤普金斯先生心不在焉地重复道。

“不对。”教授郑重地回答，“他忘记了一点：地球表面不是平的，而是一个球面。球面上同等半径内面积增长的速度要比平面上慢。不明白吗？呃，你可以找个地球仪，亲手试验一下。比如说，你站在北极点，取一个半径等于二分之一经线长度的圆，那么它正好就是赤道，这个‘圆’覆盖的面积等于整个北半球。如果将半径乘以2，那么整个地球都会被囊括进去，但球面的面积只增长到了原来的两倍，而不是平面上的四倍。现在你懂了吗？”

“那么，”汤普金斯先生努力集中精力，“这是个正曲面还是负曲面呢？”

“球面属于正曲面，正如你在地球这个例子里看到的，它对应的是拥有确定区域的有限面。马鞍就属于典型的负曲面。”

“马鞍？”汤普金斯先生反问道。

“是的，马鞍，如果还是以地表特征来说的话，也可以是两座山之间的马鞍形山谷。假设某位植物学家住在山谷间的一座小屋里，他对小屋周围松树生长的密度很感兴趣。数一数小屋周围方圆一百英尺、两百英尺或者更大半径范围内有多少棵松树，他会发现，松树数量增长的速度大于距离的平方。重点在于，马鞍形曲面上同等半径内面积增长的速度比平面上更快。这样的面被称为负曲率面。如果你试图将一个马鞍形曲面摊开展平，那么它必然产生皱褶；要是想展平没有弹性的球面，你就得把它撕破。”

“我明白了，”汤普金斯先生说，“你的意思是说，马鞍面弯曲但无限。”

“完全正确。”教授回答，“马鞍面在所有方向上无限延展，而且永远不会自我封闭。当然，在我刚才举的例子里，只要你走出马鞍形山谷，重新踏上正曲率的地面，负曲率的特性就消失了。不过你肯定能想象一个处处曲率为负的面。”

“但你刚才讲的也同样适用于弯曲的三维空间吗？”

“当然，它们本质上完全相同。假设空间中有一些均匀分布的物体，也就是说，两个相邻物体之间的距离永远相同，那么你可以数数不同半径内的物体数量。假设这个数字增长的速度等于半径的立方，那么这个空间是平坦的；要是增速更快或者更慢，那么这个空间必然拥有负的或者正的曲率。”

“以此类推，同样的半径范围内，正曲率空间包含的体积应该更小，负曲率空间的体积则更大？”汤普金斯先生惊讶地问道。

“没错。”教授笑道，“你总算听懂了。要研究我们所在的这个宇宙的曲率，你也得数数那些遥远天体的数量。你可能听说过，巨大的星云均匀地分布在宇宙中；现在我们能观察到几百亿光年外的星云，所以这些天体很适合用于帮助我们研究宇宙曲率。”

“那么我们的宇宙是有限且自我封闭的啰？”

“呃，”教授回答，“事实上，这个问题还没解决。爱因斯坦曾在早期的宇宙学论文中提出，宇宙体积有限，自我封闭，且不会随时间而改变。但是后来，俄罗斯数学家A. A.弗里德曼（A. A. Friedmann）的计算表明，根据爱因斯坦的基本方程，随着年龄的增长，宇宙有可能膨胀或收缩。美国天文学家E.哈勃（E. Hubble）利用威尔逊天文台的100英寸望远镜发现，星系正在飞速远离彼此，所以我们的宇宙正在膨胀，这一观察事实也验证了弗里德曼的数学计算结果。但有一个问题依然悬而未决：宇宙会这样一直膨胀下去吗？或者在遥远的未来，宇宙的体积可能达到极值，然后转而开始收缩？要回答这个问题，我们需要更详尽的天文观测数据。”

教授高谈阔论的时候，周围的景象渐渐变得怪异起来：休息厅的一头变得特别狭窄，所有家具挤成一团；另一头却变得异常宽阔，简直塞得下整个宇宙。一个可怕的念头钻进了汤普金斯先生的脑子里：要是海滩上的某块空间——比如说正在作画的莫德小姐所在的那一块——被某种力量从宇宙中撕了下来，那该怎么办？也许他再也见不到她了！奔向大门的时候，汤普金斯先生听见教授在身后喊道，“小心！量子常数也出了问题！”他冲上海滩，突然觉得周围非常拥挤。成千上万个女孩像没头苍蝇一样在他周围左冲右突。“天哪，这么多人，我该上哪儿去找亲爱的莫德？”正在发愁的时候，他突然发现这些女孩都长得跟教授的女儿一模一样，于是他回过神来：这一定是不确定性原理跟他开的玩笑。果然，量子常数的异常波动很快平息下来，他看到莫德小姐一脸惊慌地站在海滩上。

“啊，是你！”她松了口气，喃喃念叨，“我还以为有一大群人正在朝我冲过来。我可能是被太阳晒得昏了头吧。请稍等一下，我回酒店去取遮阳帽。”

“噢，千万别，现在我们不能分开。”汤普金斯先生表示反对，“我有一种感觉，光速也在发生变化；等你从酒店出来的时候，没准我已经变成老头了！”

“胡说八道。”女孩轻声责备，但她还是让汤普金斯先生握住了她的手。就在他们回酒店的路上，又有一波不确定性骤然袭来，海岸边到处都是汤普金斯先生和莫德小姐的身影。与此同时，大规模的空间折叠从不远处的山丘开始蔓延，周围的石头和渔屋被扭曲成奇怪的形状，强大的引力场偏折了所有阳光，汤普金斯先生蓦然陷入了彻底的黑暗。

仿佛过了一个世纪，一个亲切的声音终于唤醒了他的知觉。

“噢，”女孩说，“我父亲一直在聊物理，你都听得睡着啦。想和我一起去游个泳吗？今天的水真不错。”

汤普金斯先生像装了弹簧一样从安乐椅里跳了起来。“所以刚才的一切都是做梦？”他一边跟着莫德小姐走向海滩，一边想道，“或者现在才是梦的开始？” gYAkFZKiBIQnyxLD3JpycdTWb6SDbyYrDQFH2k4OHuePW7Mn+/PxRKEO+vIgeTHh

女士们，先生们：

今天，我准备讨论弯曲空间的问题及其与引力现象的关系。我毫不怀疑，在座的每一位听众都能轻松想象一条曲线或一个曲面，但说到弯曲的三维空间，你们的脸就拉长了，心里大概在想，这是什么奇怪的东西，简直有点儿超自然。为什么大家一提到弯曲空间就一脸头疼呢？弯曲空间的概念真的和曲面很不一样吗？如果往深里想一想，很多人也许会说，我之所以觉得弯曲空间想象起来特别困难，是因为我不能“从外面”观察它，就像观察球形曲面或者更奇怪的马鞍曲面一样。不过，这样说的人通常不知道“弯曲”这个词在数学上的严格定义，事实上，“弯曲”的数学意义和我们日常语境中的很不一样。数学家将那些几何特征不同于平面的二维面定义为曲面，我们可以根据这些面偏离欧几里得经典定律的程度来衡量它的曲率。比如说，如果你在一张平面的纸上画一个三角形，那么根据最基础的几何学，你知道它的内角和等于两个直角。然后，你可以将这张纸弯成一个圆筒，或者一个圆锥，甚至其他更复杂的形状，但已经画好的三角形的内角和始终等于两个直角。

从曲面“内部”的角度来看，这个面的几何特性并未随着形状的改变而发生变化；虽然按照我们日常的定义，它的确发生了弯曲，但从几何意义上说，它和平面并无分别。但是，一张没有弹性的纸永远不可能弯成球面或马鞍面；除此以外，如果你在球面上画一个三角形（弧三角形），欧氏几何的简单定理也不再适用于它。事实上，如果我们取北半球的两条经线和一段赤道，这三条线构成的三角形两个底角都是直角，顶角可以是任意值。

反过来说，你会在马鞍形曲面上惊讶地发现，三角形的内角和总是小于两个直角。

因此，要确定一个面的曲率，我们需要研究它的几何特性，在这种情况下，从外部观察反而可能造成误导。仅仅通过观察，你可能会将圆筒表面和圆环表面归为同一类，但实际上前者是平面，后者才是曲面。一旦习惯了“弯曲”的严格定义，你就很容易理解，物理学家讨论的“我们生活的宇宙是否弯曲”到底是什么意思。最终我们需要解决的问题只有一个：弄清物理空间的几何特性是否服从欧氏几何的通用定理。

不过，由于讨论的对象是实际的物理空间，所以首先，我们需要为几何术语赋予物理定义，尤其是直线的定义，因为直线是构建所有图形的基础。

我相信你们都知道，直线最常见的定义是两点间最短的距离；你可以在两点之间拉一条绳子，或者采用其他本质上相同但更精密的手段来获取直线，找出两个给定点之间需要的定长量尺数量最少的那条轨迹。

寻找直线的具体方法取决于物理环境，为了更清晰地理解这一点，我们不妨想象一个绕轴匀速旋转的巨大圆形平台，实验者1试图找出这个平台边缘两点之间的最短距离。他有一个盒子，里面装着很多小棍（量尺），每根棍子长5英寸，他试图找出两点之间需要的棍子数量最少的轨迹。如果平台保持静止，那么这些棍子可以沿着图中虚线排列。

但由于平台一直旋转，那么根据我们在上一次讲座中讨论过的，量尺会产生相对的收缩，而且靠近平台边缘（因而拥有更大线速度）的量尺收缩的程度大于靠近平台中心的那些。因此，为了确保每根量尺覆盖的距离最大，实验者在放置量尺的时候显然应该尽量靠近平台中心。但是，由于直线两端固定位于平台边缘，那么如果中段的量尺位置过于靠近平台中央，这同样不利于获取最短距离。

因此，我们必须在两种极端情况之间取得妥协，最终获得一条微微向平台中央弯曲的曲线，它代表着平台边缘两点之间的最短距离。

如果这位实验者将测量工具从独立的量尺换成一根绳子，他也会获得完全相同的结果，因为绳子的每个部分同样会受到相对收缩效应的影响。在这里我想强调一点：旋转平台上绳子的变形与我们平常理解的离心力完全无关；事实上，无论你用多大的力量拉拽绳子，也不会影响它变形的程度，更不用说这根绳子还会受到反向的离心力影响。

现在，如果平台上的观察者打算比较一下我们用这种方法获得的“直线”和光线，借此验证实验结果，那么他会发现，光的确会沿着他画出的直线传播。当然，对于站在平台附近的观察者来说，光线看起来完全是直的；他们会解释说，平台上运动的观察者之所以会得出现在的结果，是因为平台的旋转与光的直线传播产生了叠加；他们还会告诉你，要是你用手指在旋转的留声机唱片上划一条直线，那么唱片上留下的划痕当然是弯曲的。

但是，对于旋转平台上的观察者来说，他画出的“直线”的确名副其实：首先，它的确是两点之间的最短距离；其次，在他的参考系内，光的确沿着这条线传播。现在，假设他在平台边缘选择三个点，然后用直线将它们连接起来，形成一个三角形。那么在这种情况下，三角形的内角和必然小于两个直角，这位观察者由此得出正确结论：他周围的空间是弯曲的。

现在我们再举一个例子，假设平台上还有两位观察者（2和3），他们希望测量平台的周长和直径，由此算出π的值。观察者2的量尺应该不受旋转运动的影响，因为平台运动的方向始终垂直于他测量的长度。从另一个方面来说，观察者3的量尺会一直收缩，最终他测得的旋转平台周长必然大于静止的平台。用观察者3测得的周长除以观察者2测得的半径，我们最终算出的π必然大于课本上的数值，这同样是空间弯曲的结果。

旋转影响的不光是观察者对长度的测量，圆盘边缘的钟表同样处于高速运动的状态下，根据我们在上次讲座中讨论的内容，它一定走得比圆盘中央的钟表更慢。

如果两位实验者（4和5）在平台中央位置对好了表，然后观察者5带着他的表去圆盘边缘待了一段时间，那么回到平台中央以后，他会发现自己的表比一直留在中间的4慢了一些。由此他可以得出结论：平台上不同区域的物理过程进行的速度各不相同。

现在，我们的实验者决定停下来想一想，刚才的几何测量为什么会得出这么奇怪的结果。假设他们所在的平台完全封闭，构成了一个无窗的旋转房间（所以他们看不到自己相对于周围景物的运动），那么在不考虑平台相对于“坚实地面”旋转运动的前提下，他们能利用平台自身的物理环境完美解释自己观察到的结果吗？

仔细审视他们在平台环境中测得的几何结果与“坚实地面”环境中的区别，实验者会立即意识到，平台上存在一种新的力，它倾向于将平台中心的所有物体拉向边缘。自然而然地，他们会将自己观察到的现象归咎于这种力，比如说，在这种力的作用方向上，离平台中心更远的表走得更慢。

但是，这种力真的就是“坚实地面”上观察不到的一种新力吗？所谓的引力难道不是时刻将所有物体拉向地心方向吗？当然，平台上的引力指向圆盘边缘，而地心引力指向地球中心，但这意味着二者的区别仅仅在于力的分布。不过，我们可以轻松举出另一个例子来向大家证明，参考系不均匀运动产生的“新”力，其效果完全等同于你在这座讲堂里感受到的引力。

假设一艘恒星际火箭飞船自由漂浮在太空中的某处，它远离所有恒星，因此飞船内部不存在任何引力。这艘飞船上的所有物品和乘客都没有重量，所以他们会自由地飘浮在空中，就像儒勒·凡尔纳那个著名故事中的米歇尔·阿尔当和他的旅伴一样。

现在，发动机启动了，我们的火箭飞船开始运动，速度越来越快。这时候飞船内部会发生什么变化呢？不难看出，随着飞船逐渐加速，船上的所有物体都会表现出向着地板运动的趋势，或者换句话说，地板会向着这些物体运动。举个例子，假如某位实验者手里握着一个苹果，那么要是他松开手，这个苹果将继续以恒定的速度——即实验者松手那一刻飞船的速度——运动（相对于周围的恒星）。但飞船本身仍在加速，因此船舱地板的运动速度会越来越快，最终它将追上苹果，二者发生碰撞；从这一刻开始，苹果将被稳定的加速度死死压在地板上。

不过，对船上的实验者来说，这个过程看起来就像是苹果以特定的加速度向着地板“坠落”，然后被自身重量压在地板上。他还会注意到，不同物体坠落的加速度完全相同（如果忽略掉空气摩擦力的话），这十分符合伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）发现的自由落体定律。事实上，他根本无从分辨加速运动的船舱中发生的现象与普通的引力现象有何区别。在这艘飞船上，他可以使用带摆锤的钟，将书本放心大胆地摆在书架上（而不必担心它们会自己飞走），或者在墙上敲根钉子，挂上阿尔伯特·爱因斯坦的画像——正是这位科学家首次提出，参考系的加速度等价于引力场，并以此为基础发展出了所谓的广义相对论。

但是，正如我们在第一个旋转平台的例子中看到的，在这艘飞船上，我们将观察到伽利略和牛顿在研究引力时未曾见过的奇异现象。穿过船舱的光线会变弯，从船舱一侧射出的光线将照亮对面屏风上的另一块地方，具体取决于飞船的加速度。当然，在外部的观察者看来，这是光的均匀直线运动与被观察飞船的加速运动叠加的结果。这艘飞船上同样会出现奇怪的几何现象，比如说，三条光线组成的三角形内角和会大于两个直角，圆的周长与直径之比也会大于π。刚才我们介绍的是两个最简单的加速系统，但由此得出的结论同样适用于刚性或柔性参考系的任何给定运动。

现在，我们需要讨论一个最重要的问题。刚才我们已经看到，在一个具有加速度的参考系内，我们会发现一系列前人未曾在普通引力场中观察到的现象。那么，巨大质量形成的强引力场内是否同样存在这些新现象（例如光线弯曲或时钟变慢）？或者换句话说，也许加速度与引力造成的效果不仅十分相似，而且完全相同？

当然，从启发式思考的角度来看，将加速度和引力视为完全等价的两种物理现象，这是个十分诱人的想法，但要得出最终的结论，唯一的办法是通过直接的实验。人类的头脑天生追求简洁，希望主宰宇宙运行的物理规律具有内在的连续性，现实满足了我们的这一需求：通过实验，我们证明了普通的引力场中同样存在这些新现象。当然，加速度—引力场等价假说预言的效应十分微弱：正是出于这个原因，直到科学家特地朝着这个方向探索，我们才发现了它们的存在。

利用前面提到的加速系统的例子，我们可以轻松估算两种最重要的相对引力现象的明显程度，即钟表变慢的程度和光线弯曲的程度。

我们先来看看旋转平台的例子。根据基本的力学原理，我们知道与圆心距离为r的质点受到的离心力可由以下公式计算得出：

F=rω ² （1）

其中ω等于平台旋转的恒定角速度。该质点从平台中央运动到平台边缘的过程中，离心力所做的总功为：

W=0.5R ² ω ² （2）

其中R等于平台半径。

根据前面描述的等价原则，我们认为离心力F等价于平台内的引力，W等价于平台中央与边缘之间的引力势能差。

现在我们必须记住，正如我在上一次讲座中提到过的，以速度ν运动的钟表变慢的程度由以下公式决定：

如果ν远小于c，那么我们可以忽略后面的项。根据角速度的定义，我们知道ν=Rω，于是钟表的“变慢因数”可转化为下列方程：

在这个公式中，钟表速度之所以会发生变化，是因为平台上不同位置的引力势能各不相同。

如果我们将一口钟放在地下室里，另一面放在埃菲尔铁塔顶部（高1000英尺），那么二者的引力势能相差甚微，地下室里的钟变慢的因数只有0.99999999999997。

从另一方面来说，地球表面和太阳表面的引力势能差就大得多了，所以钟表变慢的因数也会放大到0.9999995，我们可以通过精密的测量发现这样的差别。当然，谁也没法将一面普通的钟放到太阳表面再让它正常走时！物理学家有更好的办法。我们可以利用分光镜观察太阳表面不同原子的振动周期，然后在实验室里将同样的元素放到本生灯的火焰上灼烧，比较同种原子的振动周期有何区别。太阳表面原子的振动周期应该比地球上的慢一些，具体的因数取决于方程（4），所以它们释放的光线也应该比地球上的偏红一些。事实上，我们的确在太阳和某些（我们能够准确测量其参数的）恒星的光谱中观察到了这样的“红移”，而且偏移量完全符合理论方程的计算值。

因此，光谱红移的存在证明了更强的引力势能的确让太阳表面的过程变慢了。

要测量引力场造成的光线弯曲，更方便的办法是采用我们先前提到的火箭飞船的例子。假设船舱宽度为l，光线行经这段距离的时间t由以下公式计算得出：

在此期间，飞船的加速度为g，根据基本的力学定律，飞船行经的距离L为：

因此，光线偏移角度的大小应为：

这个角度越大，光线在引力场中行经的距离l也就越大。当然，我们可以将飞船的加速度g理解为引力加速度。如果我将一束光打到讲堂对面，它行经的距离l可以粗略取值为1000厘米，地球表面的引力加速度为981厘米/秒 ² ，c=3×10 ¹⁰ 厘米/秒，那么：

所以你可以看到，现有条件下我们根本无法观察到光线这种程度的弯曲。不过，太阳表面附近的g值高达27000厘米/秒 ² ，而且光在太阳引力场范围内行经的距离也很长。通过计算我们发现，从太阳附近经过的光线偏折角度约为1.75"，这正好等于天文学家在日全食期间观察到的日面边缘附近的恒星视像位移值。实际观察的结果再次证明，加速度与引力造成的结果完全相同。

现在，我们可以回过头来讨论空间弯曲的问题了。你应该记得，我们利用最合理的直线定义得出了一个结论：不均匀运动参考系内的几何定律不同于传统的欧氏几何，所以这样的空间应该被视为弯曲的。由于任意引力场必然等同于某种加速运动的参考系，这意味着引力场内的空间也必然是弯曲的。或者我们再往前一步，从本质上说，引力场就是弯曲空间的物理表现。因此，质量的分布决定了不同位置的空间弯曲的程度，大质量物体附近的空间曲率应该达到极大值。我无法进一步向你们介绍描述弯曲空间性质以及空间曲率与质量分布之间关系的复杂数学体系，在这里我只想告诉大家，决定空间曲率的参数往往不止一个，而是有十个之多，这些参数通常被称为引力势能分量g _μν ，它代表的是经典物理学中的通用引力势能，我们曾经称之为W。空间中每个点的曲率也相应地由十个不同的曲率半径决定，我们称之为R _μν 。爱因斯坦的基本方程描述了这些曲率半径与质量分布的关系：

其中T _μν 取决于大质量物体产生的引力场的密度、速度和其他特性。

本次讲座已近尾声，在此我想向大家指出方程（9）带来的一个最有趣的结果。如果一片空间中充斥着均匀分布的质量，就像我们的宇宙中充满了恒星和星系，那么我们可以得出结论：除了某些恒星附近偶尔出现的大幅度弯曲以外，这片空间在大尺度上应该具有均匀弯曲的规律倾向。从数学意义上说，这个问题有几个不同的解，根据其中的某些解，宇宙最终会自我封闭，因此体积必然有限；但另一些解意味着类似我在本次讲座开头时提到过的马鞍面的无限空间。方程（9）带来的另一个重要后果是，这样的弯曲空间应该处于稳定膨胀或收缩的状态中，从物理学的角度来说，这意味着充斥空间的粒子应该逐渐远离或靠近彼此。另外，我们可以证明，对于体积有限的封闭空间来说，膨胀和收缩必然发生周期性的变换——这种模型又叫作“脉动的世界”。从另一方面来说，无限的“马鞍状”空间将永远膨胀或收缩。

我们生活于其中的宇宙对应的到底是哪个数学解？要回答这个问题，我们需要的不仅仅是物理学，还有天文学，但我现在不打算深入讨论。我只想告诉大家，迄今为止，天文学证据确切表明，我们的宇宙正在膨胀，但这样的膨胀是会永远持续下去还是可能转为收缩，宇宙到底有限还是无限，这些问题仍悬而未决。 gYAkFZKiBIQnyxLD3JpycdTWb6SDbyYrDQFH2k4OHuePW7Mn+/PxRKEO+vIgeTHh