学习一种东西,首先要把学习态度端正好。现在一般人学习,只是用耳朵听先生讲,把讲的牢牢记住。用眼睛看先生写,用手照抄下来,也牢牢记住。这正如拿着口袋到米店去买米,付了钱,让别人将米倒在口袋里,自己背回家就完事大吉一样。把一口袋米放在家里,肚子就不会饿了吗?买米的目的,是为了把它做成饭,吃到肚里,将饭消化了,吸收生理上所需要的,将不需要的污秽排泄。所以饭得自己煮,自己吃,自己消化,自己吸收养料,污秽得自己排。就算是买的饭,饭是别人喂到嘴里去的,但进嘴以后的一切工作也只有靠自己了。学校的先生所能给予学生的只是生米和煮饭的方法,最多是饭,喂到嘴里的事,就要靠学生自己了。所以学习是要把先生所给的米变成饭,自己嚼,自己消化,自己吸收,自己排泄。教科书要成一本教科书,少不了材料,先生给学生讲课也有少不来的话,正如米要成米少不了必需的成分一样,但对于学生不是全有用场,所以读书有些是用不到记的,正如吃饭有些要排出来一样。
上面说的是学习的基本态度——自己消化、吸收、排泄。怎样消化、吸收、排泄呢?学习和研究这两个词,大多数人都在乱用。读一篇小说,就是在研究文学,这是错的。不过学习和研究的态度应当一样。研究应当依照科学方法,学习也应当依照科学方法。所谓科学方法,就是从观察和实验收集材料,加以分析、综合整理。学习也应当如此。要明了“的”字的用法,必须先留心各式各样含有“的”字的句子,然后比较、分析……
算学,就初等范围内说离不开数和量,而数和量都是抽象的,两条板凳和三支笔是具体的,“两条”“三支”以及“两”和“三”全是抽象的。抽象的,按理说是无法观察和实验的。然而为了学习,我们无妨开一个方便法门,将它具体化。昨天我四岁的小女儿跑来向我要五个铜板,我忽然想到测试她认识数量的能力,先只给她三个。她说只有三个,我便问她还差几个。于是她把左手的五指伸出来,右手将左手的中指、无名指和小指捏住,看了看,说差两个。这就是数量的具体表出的方便法门。这方便法门,不但是小孩子学习算学的“入德之门”,而且是人类建立全部算学的基础,我们所用的不是十进数吗?
用指头代替铜板,当然也可以用指头代替人、马、牛,然而指头只有十个,而且分属于两只手,所以第一步就由用两只手进化到用一只手,将指头屈伸着或作种种形象以表示数。不过数大了仍旧不便。好在人是吃饭的动物,这点聪明还有,于是进化到用笔涂点子来代替手指,到这一步自然能表出的数更多了。不过点子太多也难一目了然,而且在表示数和数的关系时更不便当。因为这样,有必要将它改良。
既然可以用“点”来作具体地表出数的方便法门,当然也可以用线段来代替“点”。严格地说,画在纸上,“点”和线段其实是一样的。用线段来表示数量,第一步很容易想到这两种形式: , , ……和 , , ……这和“点”一样不便当,应该再加以改良。第二步,不妨将这些线段连结成为一条长的线段,成为竖的 或横的 呢?本来用多长的线段表出1,这是个人的绝对自由,任何法律也无法禁止。所以只要在纸上画一条长线段,再在这线段上随便作一点算是起点零,再从这起点零起,依次取等长的线段便得 1,2,3,4……
这是数量的具体表出的方便法门。
有了这方便法门,算学上的四个基本法则,都可以用画图来计算了。
(1)加法——这用不着说明。如图 1,便是 5+3=8。
图 1
(2)减法——只要把减数反向画就得了。如图 2,便是 8-3=5。
图 2
(3)乘法——本来就是加法的简便方法,所以和加法的画法相似,只需所取被乘数的段数和乘数的相同。不过有小数时,需参照除法的画法才能将小数部分画出来。如图 3,便是 5×3=15。
图 3
(4)除法——这要用到几何画法中的等分线段的方法。如图 4,便是 15÷3=5。
图 4
图中表示除数的线是任意画的,画好以后,便从 0 起在上面取等长的任意三段 0—1,1—2,2—3,再将 3 和 15 连起来,过 1 画一条线和它平行,这线正好通过 5,5 就是商数。图中的虚线 2…10 是为了看起来更清爽才画的,实际上没必要。
懂得了四则运算的基础画法了吗?现在进一步再来看两个数的几种关系的具体表出法。
两个不同的数量,当然,若是同时画在一条线段上,那么是要弄得眉目不清的。假如这两个数量根本没有什么瓜葛,那就自立门户,各占一条路线好了。若是它们多少有些牵连,要同居分炊,怎样呢?正如学地理的时候,我们要明确地懂得一个城市是在地球上什么地方,得知道它的经度和纬度一样。这两条线一是南北向,一是东西向,自不相同。但若将这城市所在的地方的经度画一张图,纬度又另画一张画,那还成什么体统呢?画地球是经、纬度并在一张,表示两个不同而有关联的数。现在正可借用这个办法,好在它不曾在内政部注册过,不许冒用。
用两条十字交叉的线,每条表示一个数量,那交点就算是共通的起点 0,这样来源相同,趋向各别的法门,倒也是一件好玩的勾当。
(1)差一定的两个数量的表出法
例:兄年十三岁,弟年十岁,兄比弟大几岁?
图 5
用横的线段表示弟的年岁,竖的线段表示兄的年岁,他俩差三岁,就是说兄三岁的时候弟才出生,因而得 A 。但兄十三岁的时候弟是十岁,所以竖的第十条线和横的第十三条是相交的,因而得 B 。由这图上的各点横竖一看,便可知道:
(Ⅰ)兄年几岁(例如 5 岁)时,弟年若干岁(2 岁)。
(Ⅱ)兄、弟年纪的差总是 3 岁。
(Ⅲ)兄年 6 岁时,是弟弟的两倍。
……
(2)和一定的两数量的表出法
例:张老大、宋阿二分十五块钱,张老大得九块,宋阿二得几块?
图 6
用横的线段表示宋阿二得的,竖的线段表示张老大得的。张老大全部拿了去,宋阿二便两手空空,因得 A 点。反过来,宋阿二全部拿了去,张老大便两手空空,因得 B 点。由这线上的各点横竖一看,便知道:
(Ⅰ)张老大得九块的时候,宋阿二得六块。
(Ⅱ)张老大得三块的时候,宋阿二得十二块。
……
(3)一数量是它一数量的一定倍数的表出法
例:一个小孩子每小时走二里路,三小时走多少里?
图 7
用横的线段表示里数,竖的线段表示时数。第一小时走了 2 里,因而得 A 点。第二小时走了 4 里,因得 B 点。由这线上的各点横竖一看,便可知道:
(Ⅰ)3 小时走了 6 里。
(Ⅱ)4 小时走了 8 里。
“昨天讲的最后三个例子,你们总没有忘掉吧!——若是这样健忘,那就连吃饭、走路都学不会了。”马先生一走进门,还没立定,笑嘻嘻地这样开场。大家自然只是报以微笑。于是马先生口若悬河地开始这一课的讲演。
昨天的最后三个例子,图上都是一条直线,各条直线都表出了两个量所保有的一定关系。从直线上的任意一点,往横看又往下看,马上就知道了,合于某种条件的甲量是什么,乙量便是怎样。如图 7,合于每小时走二里这条件,4 小时便走了 8 里,5 小时便走了 10 里。
当然,这种图,对于我们很有用。比如说,你有个弟弟,每小时可走六里路,他离开你出门去了。你若照样画一张图,他离开你后,你坐在屋里,只要看看表,他走了多久,再看看图,就可以知道他离你有多远了。倘若你还清楚这条路沿途的地名,你当然可以知道他已到了什么地方,还要多长时间才能到达目的地。倘若他走后,你突然想起什么事,需得关照他,正好有长途电话可用,只要沿途有地点可以和他通电话,你岂不是很容易找到打电话的时间和通话的地点吗?
这是一件很巧妙的事,已落了中国旧小说无巧不成书的老套。古往今来,有几个人会碰巧遇见这样的事?这有什么用场?你也许要这样扳差头。然而这只是一个用来打比方的例子,照这样推想,我们一定能够绘制出一幅地球和月亮运行的图吧。从这上面,岂不是在屋里就可以看出任何时间段地球和月亮的相互位置吗?这岂不是有了孟子所说的“天之高也,星辰之远也,苟求其故,千岁之日至,可坐而致也”那副神气吗?算学的野心,就是想把宇宙间的一切法则,统括在几个式子或几张图上。这就是它的“全体大用”。
现在看来,这似乎是犯了夸大狂的说法,姑且丢开,转到本题。算术上计算一道题,除了混合比例那一类以外,总只有一个解答,这解答靠昨天所讲过的那种图,可以得出来吗?
当然可以,我们不是能够从图上看出张老大得九块钱的时候,宋阿二得的是六块钱吗?
不过,虽然这种办法对于这样简单的题目可以得出来,但遇见较复杂的题目时,就很不便当了。比如将题目改成这样:
张老大、宋阿二分十五块钱,怎样分法,张老大才能比宋阿二多得三块?
当然我们可以这样老老实实地去把解法找出来:张老大拿十五块的时候,宋阿二一块都拿不到,相差的是十五块。张老大拿十四块的时候,宋阿二可得一块,相差的是十三块……这样一直看到张老大拿九块,宋阿二得六块,相差正好是三块,这便是解答。
这样的做法,即使是对于这个很简单的题目,也需做到六次,才能得出答案。较复杂的题目,或是题上数目较大的,那就不胜其烦了。
而且,这样的做法,实在和买彩票差不多。从张老大拿十五块,宋阿二得不着,相差十五块,不对题;马上就跳到张老大拿十四块,宋阿二得一块,相差十三块,实在太胆大。为什么不看一看,张老大拿十四块九角,十四块八角……乃至于十四块九角九分九九九……的时候怎样呢?
喔!若是这样,那还了得!从十五到九中间有无限的数,要依次看去,人寿几何?而且比十五稍稍小一点儿的数,谁看见过它的面孔是圆的还是方的?
老老实实的办法,就不是办法!人是有理性的动物,变戏法要变得省力气、有把握,才会得到看客的赞赏呀!你们读过《伊索寓言》吧?里面不是说人学的猪叫比真的猪叫,更叫人满意吗?
所以找算术上的解法必须更巧妙一些。
这样,就来讲交差原理。
照昨天的说法,我们无妨假设,两个量间有一定的关系,可以用一条线表示出来。——这里说假设,是虚心的说法,因为我们只讲过三个例子,不便就冒冒失失地概括一切。其实,两个量的关系,用图线(不一定是直线)表示,只要这两个量是实量,总是可能的。——那么像刚刚举的这个例题,既包含两种关系:第一,两个人所得的钱的总和是十五块;第二,两个人所得的钱的差是三块。当然每种关系都可画一条线来表示。
所谓一条线表示两个数量的一种关系,精确地说,就是:无论从那条线上的哪一点,横看和竖看所得的两个数量都有同一的关系。
假如,表示两个数量的两种关系的两条直线是交叉的,那么,相交的地方当然是一个点,这个点便是一子双挑了,它继承这一房的产业,同时也继承另一房的产业。所以,由这一点横看竖看所得出的两个数量,既保有第一条线所表示的关系,同时也保有第二条线所表示的关系。换句话说,便是这两个数量同时具有题上的两个关系。
这样的两个数量,不用说,当然是题上所要的答案。
试将前面的例题画出图来看,那就非常明晰了。
第一个条件,“张老大、宋阿二分十五块钱”,这是两人所得的钱的和一定,用线表出来,便是 AB 。
第二个条件,“张老大比宋阿二多得三块钱”,这是两人所得的钱的差一定,用线表出来,便是 CD 。
AB 和 CD 相交于 E ,就是 E 点既在 AB 上,同时也在 CD 上,所以两条线所表示的条件,它都包含。
图 8
由 E 横看过去,张老大得的是九块钱;竖看下来,宋阿二得的是六块钱。
正好,九块加六块等于十五块,就是 AB 线所表示的关系。
而九块比六块多三块,就是 CD 线所表示的关系。
E 点,毫无疑问正是本题的解答。
“两线的交点同时包含着两线所表示的关系。”这就是交差原理。
顺水推舟,就这原理再补充几句。
两线不止一个交点怎么办?
那就是这题不止一个答案。不过,此话是后话,暂且不表出,以后连续的若干次讲演中都不会遇见这种情形。
两线没有交点怎样?
那就是这题没有解答。
没有解答还成题吗?
不客气地说,你可以认为这题不通;客气一点儿,你就说,这题不可能。所谓不可能,就是指照题上所给的条件,它所求的答案是不存在的。
比如前面的例题,第二个条件,换成“张老大比宋阿二多得十六块钱”,画出图来,两直线便没有交点,如图 9。事实上,这非常清晰,两个人分十五块钱,无论怎样,不会有一个人比另一个人多得十六块的。只有两人暂时将它放着生利息,连本带利到了十六块以上再来分,然而,这已超出题目的范围了。
图 9
教科书上的题目,是著书的人为了帮助学习的人练习编造出来的,所以,只要不是排错,都会得出答案。至于到了实际生活中,那就不一定有这样的好运。因此,注意题目是否成立,假如不成立,解释这不成立的理由,都是学习算学的人应当做的工作。
例一:大小两数的和是十七,差是五,求两数。
马先生侧着身子在黑板上写了一道题,转过来对着听众,两眼朝大家扫视了一遍。
“周学敏,这道题你会算了吗?”周学敏也是一个对于学习算学感到困难的学生。
周学敏站起来,回答道:“这和前面的例子是一样的。”
“不错,是一样的,你试将图画出来看一看。”
周学敏很规矩地走上讲台,迅速在黑板上将图画了出来。
马先生看了看,问:“得数是多少?”
“大数十一,小数六。”
周学敏虽然得出了这个正确的答案,但好像不是很满意,回到座位上,两眼迟疑地望着马先生。
马先生觉察到了,向着他问:“你还有点放心不下吗?”
周学敏立刻回答道:“虽然画法是懂得了,但是这个题的算法还是不明白。”
马先生点了点头说:“这个问题,很有意思。不过你们应当知道,这只是算法的一种,因为它比较具体而且有一定的法则可依,所以很有价值。由这种方法计算出来以后,再仔细地观察、推究算术中的计算法,有时便可得出来。”
图 10
如图 10, OA 是两数的和, OC 是两数的差, CA 便是两数的和减去两数的差, CF 恰是小数,又是 CA 的一半。因此就本题说,便得出:
OF 既是大数, FA 又等于 CF ,若在 FA 上加上 OC ,就是图中的 FH ,那么 FH 也是大数,所以 OH 是大数的二倍。由此,又可得下面的算法:
记好了 OA 是两数的和, OC 是两数的差,由这计算,还可得出这类题的一般的公式来:
(和+差)÷2=大数, 大数-差=小数;
或
(和-差)÷2=小数, 小数+差=大数。
例二:大小两数的和为二十,小数除大数得四,大小两数各是多少?
这道题的两个条件是:(1)两数的和为二十,这便是和一定的关系;(2)小数除大数得四,换句话说,即大数是小数的四倍,——倍数一定的关系。由(1)得图中的 AB ,由(2)得图中的 OD 。 AB 和 OD 交于 E 。
由 E 横看得 16,竖看得 4。大数 16,小数 4,就是所求的解答。
图 11
“你们试由图上观察,发现本题的计算法,和计算这类题的公式。”马先生一边画图,一边对大家说。
大家都睁起两眼盯着黑板,只有周学敏还算勇敢:“ OA 是两数的和, OF 是大数, FA 是小数。”
“好! FA 是小数。”对周学敏的这个发现,马先生好像感到惊讶,“那么, OA 里一共有几个小数?”
“5 个。”周学敏。
“5 个?从哪里来的?”马先生有意地问。
“ OF 是大数,大数是小数的 4 倍。 FA 是小数, OA 等于 OF 加上 FA 。4 加 1 是 5,所以有 5 个小数。”王有道。
“那么,本题应当怎样计算?”马先生。
“用 5 去除 20 得 4,是小数;用 4 去乘 4 得 16,是大数。”我回答。
马先生静默了一会儿,提起笔在黑板上一面写,一面说:“要这样,在理论上才算完全。”
20÷(4+1)=4……小数
4×4=16……大数
接着又问:“公式呢?”
大家差不多一齐说:“和÷(倍数+1)=小数,小数×倍数 =大数。”
例三:大小两数的差是六,大数是小数的三倍,求两数。
马先生将题目写出以后,随即一声不响地将图画出,问:
图 12
“大数是多少?”
“9。”大家齐声回答。
“小数呢?”
“3。”也是众人一齐回答。
“在图上, OA 是什么?”
“两数的差。”周学敏。
“ OF 和 AF 呢?”
“ OF 是大数, AF 是小数。”我抢着说。
“ OA 中有几个小数?”
“3 减 1 个。”王有道不甘退让地争着回答。
“周学敏,这题的算法怎样?”
“6÷(3-1)=6÷2=3……小数,3×3=9……大数。”
“李大成,计算这类题的公式呢?”马先生表示默许以后又问。
“差÷(倍数-1)=小数,小数×倍数=大数。”
例四:周敏和李成分三十二个铜板,周敏得的比李成得的三倍少八个,各得几个?
马先生在黑板上写完这道题目,板起脸望着我们,大家不禁哄堂大笑,但不久就静默下来,望着他。
马先生:“这回,老文章有点儿难抄袭了,是不是?第一个条件两人分三十二个铜板,这是‘和一定的关系’,这条线自然容易画。第二个条件却是含有倍数和差,困难就在这里。王有道,表示这第二个条件的线怎样画法?”
王有道受窘了,紧紧地闭着双眼思索,右手的食指不停地在桌上画来画去。
马先生:“西洋镜凿穿了,原是不值钱的。只要想想昨天讲过的三个例子的画线法,本质上毫无分别。现在不妨先来解决这样一个问题,‘甲数比乙数的二倍多三’,怎样用线表示出来?
“在昨天我们讲最后三个例子的时候,每图都是先找出 A 、 B 两点来,再连接它们成一条直线,现在仍旧可以依样画葫芦。
“用横线表乙数,纵线表甲数。
“甲比乙的二倍多三,若乙是零,甲就是 3,因而得 A 点。若乙是1,甲就是 5,因而得 B 点。
图 13
“现在从 AB 上的任意一点,比如 C ,横看得 11,竖看得 4,不是正合条件吗?
“若将表示小数的横线移到 3 x ,对于 3 x 和 3 y 来说, AB 不是正好表示两数定倍数的关系吗?
“明白了吗?”马先生很庄重地问。
大家只能默示已经明白。接着,马先生又问:
“那么,表示‘周敏得的比李成得的三倍少八个’,这条线该怎么画?周学敏来画画看。”大家又笑一阵。周学敏在黑板上画成下图:
图 14
“由这图看来,李成一个钱不得的时候,周敏得多少?”马先生问。
“8 个。”周学敏答。
“李成得 1 个呢?”
“11 个。”有一个同学回答。
“那岂不是文不对题吗?”这一来大家又呆住了。毕竟王有道的算学好,他说:“题目上是‘比三倍少八’,不能这样画。”
“照你的意见,应当怎样画?”马先生问王有道。
“我不知道怎样表示‘少’。”王有道答。
“不错,这一点须特别注意。现在大家想,李成得三个的时候,周敏得几个?”
“1 个。”
“李成得四个的时候呢?”
“4 个。”
“这样 A 、 B 两点都得出来了,连起 AB 来,对不对?”
“对——!”大家露出有点儿乐得忘形的神气,拖长了声音这样回答,简直和小学三四年级的学生一般,惹得马先生也笑了。
图 15
“再来变一变戏法,将 AB 和 OY 都往回拉长,得交点 E 。 OE 是多少?”
“8。”
“这就是‘少’的表出法,现在归到本题。”马先生接着画出了图 16。
“各人得多少?”
图 16
“周敏二十二个,李成十个。”周学敏。
“算法呢?”
“(32+8)÷(3+1)=40÷4=10……李成得的数。
10×3-8=30-8=22……周敏得的数。”我说。
“公式呢?”
好几个人回答:
“(总数+少数)÷(倍数+1)=小数,
小数×倍数-少数=大数。”
例五:两数的和是十七,大数的三倍与小数的五倍的和是六十三,求两数。
“我用这个题来结束这第四段。你们能用画图的方法求出答案来吗?各人都自己算算看。”马先生写完了题这么说。
跟着,没有一个人不用铅笔、三角板在方格纸上画。——方格纸是马先生预先叫大家准备的——这是很奇怪的事,没有一个人不比平常上课用心。同样都是学习,为什么有人被强迫着,反而不免想偷懒;没有人强迫,比较自由了,倒一齐用心起来。这真是一个谜。
和小学生交语文作业给先生看,期望着先生说一声“好”,便回到座位上誊正一般,大家先后画好了拿给马先生看。这也是奇迹,八九个人全没有错,而且完成的时间相差也不过两分钟。这使马先生感到愉快,从他脸上的表情就可看出来。不用说,各人的图,除了线有粗细以外,全是一样,简直好像印板印的一样。
各人回到座位上坐下来,静候马先生讲解。他却不讲什么,突然朝王有道问:“王有道,这道题用算术的方法怎样计算?你来给我代课,讲给大家听。”马先生说完了就走下讲台,让王有道去做临时先生。
王有道虽然有点儿腼腆,但最终还是拖着脚上了讲台,拿着粉笔,硬做起先生来。
“两数的和是十七,换句话说,就是大数的一倍与小数的一倍的和是十七,所以用三去乘十七,得出来的便是大数的三倍与小数的三倍的和。
“题目上第二个条件是大数的三倍与小数的五倍的和是六十三,所以若从六十三里面减去三乘十七,剩下来的数里,只有‘五减去三’个小数了。”王有道很神气地说完这几句话后,便默默地在黑板上写出下面的式子,写完低着头走下讲台。
(63-17×3)÷(5-3)=12÷2=6……小数
17-6=11……大数
图 17
马先生接着上了讲台:“这个算法,你们大概都懂了吧?我想你们依了前几个例子的样儿,一定要问:‘这个算法怎样从图上可以观察得出来呢?’这个问题却把我难住了。我只好回答你们,这是没有法子的。你们已学过了一点代数,知道用方程式来解算术中的四则问题。有些题目,也可以由方程式的计算,找出算术上的算法,并对那算法加以解释。但有些题目,要这样做却很勉强,而且有些简直勉强不来。各种方法都有各自的立场,这里不能和前几个例子一样,由图上找出算术中的计算法,也就因为这个。
“不过,这种方法比较具体而且确定,所以用来解决问题比较便当。由它虽有时不能直接得出算术的计算法来,但一个题已有了答案总比容易推敲些。对于算术方法的思索,这也是一种好处。
“这一课就这样完结吧。”