一

开场话

我在中学三年级学物理的时候，曾经碰过一次物理教员的钉子，现在只要一想到，额上好像都还有余痛。详细的情形已不大记得清楚了，大概是这样的：为了一个什么公式，我不知道它的来源，便很愚笨地向那位教员追问。起初他很和善，虽然已有点不大高兴，他说：“你记住好了，怎样来的，说来你这时不会懂。”在我那时的呆板而幼稚的心里，无论如何不承认真有说来不会懂的这么一回事，仍旧不知趣地这样请求：“先生说说看吧！”他真懊恼了，这一点我记得非常明白，他的脸，发一阵红又发一阵青。他气愤愤地，呼吸很促，手也颤抖了，从桌子上拿起一支粉笔使劲在黑板上写了这样几个字：（后来我知道这只是记号，不好单看成几个字），眼睛瞪着我，几乎想要将我吞到他的肚子里才甘心似的，“这你懂吗？”我吓得不敢出声，心里暗想：“真是不懂！”

从那一次起，虽则我已被吓得承认自己不懂，然而总也不大甘心，常常想从什么书上去找这几个奇怪的字来看。可惜得很，一直过了三年才遇见它，才算“懂其所懂”地懂了一点。真的，第一次知道它的意义的时候，心里感到无限的喜悦！

不管怎样，马马虎虎，我总算懂了，然而我的年龄也大起来了，我已经踏进了被人追问的领域了！“代数、几何，学过了学些什么呢？”“微积分是怎样的东西呢？”这类问题，常常被比我年纪小些的朋友们问到，我总记起我碰钉子时的苦闷，不忍心让他们也在我的面前碰，常常想些似是而非的解说，使他们不全然失望。不过，总觉得这也于心不安，我相信一定可以简单地将它们的大意说明的，只是我不曾仔细去思索过。新近偶然从书店看见一本《两小时的数学》，书名很奇特，便买了来。翻读一遍，觉得它很够替我来解答前面的问题，因此就依据它，写成这篇东西，算是了却一桩心愿。我常常这样想，数学和辣椒很有些相同，没有吃过的人，初次吃到，免不了要叫要哭，但真吃惯了，不吃却过不得。不只这样，就是吃到满头是汗，两眼泪流，身体上固然够苦，精神上却愈加舒畅。话虽如此，这里却不是真要把恶辣的东西硬叫许多人流一通大汗，实在还没有吃生葱那样的辣。

有一点却得先声明，数学的阶段是很紧严的，只好一步一步地走上去。要跳，那简直是妄想，结果只有跌了下来。因此，这里虽然竭力避去繁重的说明，但也是对于曾经学过初等的算术、代数、几何，而没有全部忘掉的人说的。因此先来简单地说几句关于算术、代数、几何的话。

算术

无论哪一个人要走进数学的园地里去游览一番，一进门碰到的就是算术。这是因为它比较容易也比较简单，所以易于亲近。话虽如此，真在数学的园地里游个尽兴，到后来你要碰到的却又是它了。“整数的理论”就是数学中最难的部分。

你在算术中，经过了加、减、乘、除四道正门，就可以看到一座大厅，门上横着一块大大的匾，写的是“整数的性质”五个大字。已经走进这座大厅，而且很快地就走了出来，由那里转到分数的庭院去，你当然很高兴。但是我问你：你在那座大厅里究竟得到了什么呢？里面最重要的不是质数吗？1，3，5，7，9，11，13……你都知道它们是质数了吧！然而，这就够了吗？随便给你一个数，比如103，你能用比它小的质数一个一个地去除它，除到后来，得数比除数小了还除不尽，你就确定它是质数。这个法子，是很靠得住的，一点儿不会欺骗你。然而它只是一个小聪明的玩意儿，真要正正经经地用它，那就叫你不得不摇头了。倘若我给你的不是103，而是一个有103位的整数，你还能呆板地照老法子去确定它是不是质数吗？人寿几何，一个不凑巧，恐怕你还没有试到一半，已经天昏地暗了。那么，有没有别的法子可以确定一个数是不是质数呢？对不起，真要问，多请些人到这座大厅里去转去。

在“整数的理论”中，问题很多，得了别的一部分数学的帮助，也解决过一些，所以算术也是常常在它的领域内增加新的建筑和点缀，不过不及别的部分来得快罢了。

代数

走到代数的殿上，你知道解一次方程式和二次方程式，自然这是再快乐不过。算术碰见了要弄得焦头烂额的四则问题，只要用一两个罗马字母去代替那所求的数，依着题目已说明白的条件，立一个方程式，就可以死板地照着法则求出答案来，真是又轻巧又明白。代数比算术有趣得多，容易得多！但是，这也只是在那殿里随便玩玩就走了出来的说法，若在里面流连，又将看出许多困难了，一次、两次方程式总算可以解了，一般的方程式怎样呢？

几何

几何的这座院子，里面本来是陈列着些直线、曲线的图形的，所以，你初走进去的时候，立刻会感到一种特别的风味，好像它在数学的园地里，俨然是别有天地。但从笛卡尔发现了它和代数的院落的通路，这座院子也就不是孤零零的了。它的内部更加充实富丽起来。莱布尼茨用解析的方法也让它滋长繁荣的力量增加了不少。的确，用二元一次方程式 y = mx + c 表示直线，用二元二次方程式和相应地表示圆和椭圆，实在便利不少。这条路一经发现，来往行人都可通过，并不是只许进不许出，所以解析数学和几何就手挽手地互相扶助着向前发展。

还有，这条路发现以后，也不是因为它比较便利，几何的院子独自的出路便悬挂上了一块“路不通行，行人止步”的牌子，它自己独立地发展，也一样没有停息。即如里曼就是走老路。后来新造的题着“位置分析”和“形学”的那间亭子，在里面你可以看见空间的性质和几何的连续的、纯粹的性相，只需用到那“量度”的抽象观念就够了。

总集论

在物理学的园地里面，有着爱因斯坦的相对论原理的新建筑，它所陈列的是通过性慧由敏感而发明的新定理。像这种性质的法宝，数学的园地当中，也可以找得出吗？在数学的园地里，走来走去，所能够见到的，都只是些老花样、旧古董，和游赏一所倾颓的古刹一样吗？

不，绝不！那些古老参天的树干，那些从几千百年前遗留下来的质朴的亭台楼阁，在这园地里，固然是占重要的地位，极容易映到游人的眼里。但倘使你看到了这些还不满足，你慢慢地走进去，就可以看出古树林中还有鲜艳的花草，亭楼里面更有新奇的装饰。这些增加了这个园地的美感，充实了这个园地的生命。由它们，你就可以知道，数学的园地从开始到现在，没有一天停止过垦殖。在别的各种园地里，可以看见灿烂耀目的新点缀，但也常常可以见到那旧建筑倾跌以后残留的破砖烂瓦。在数学的园地里，却只有欣欣向荣的盛观。这残败的使人感到凄凉的遗迹，却非常稀少，它里面的一切建筑装饰，都有着很牢固的根底的呀！

数学的园地里，有一种使人感到不可思议的法宝，叫作“无限”。它常常都是一样的吗？它里面究竟包含着些什么，我们能够说明吗？它的意义必须确定吗？

游到了数学的园地当中的一个新的院落，墙门上写着“总集论”三个字的，那里面就可以给你看这些问题的解答了。这里面是极有趣味的，用一面大的反射镜，可以叫你看到这整个园地和幽邃的哲学的花园的关联以及它俩的通路。三十年来，康托尔将超限数的意义导出，和那物理的园地中惊奇的新建筑一样重要而且令人惊异！在本文的最后，就要说到它。