9.【质数和合数】 在自然数列中，如 2，3，5，7，11……这些数，只有1同着它自己可以除尽它，这种数我们叫作质数。另外如 4， 6，8，9，10……这些数，除了1和它自己，还有别的数可以除尽它，2可以除尽 4，6，8，10……，3可以除尽6，9……，这种数我们叫作合数。

照这个说法，0可以看成合数，但1既不是合数，我们也不把它看成质数。因此，自然数列中的数可分成三类：

（1）单位数，就是1，只有一个。

（2）质数，个数是无限的。下面我们再来证明。

（3）合数，个数是无限的。因为一个合数即如4，我们无论用什么数去乘它得出来的都是合数。就是质数，只要用1以外的数去乘它也就得出合数，如3×2=6，3×7=21，……

10.【判定质数的方法】 判定什么数是质数，这有两种说法：

（1）从1起到某一个数比如100，哪些数是质数？（2）任意提出一个数来，怎样判定它是不是质数？下面我们来分别加以说明。

（1）从1起到某一个数比如100，哪些数是质数？

解决这个问题，我们有一个很呆的方法，像下面所做的

把一百个数顺次列出来。从2的下一个数3起，两个两个地数，数到的数都划掉（表上画在下面）。再从3的下一个数4起，三个三个地数，数到的数都划掉（表上画在上面）。顺着下来，5没有划掉， 就从5的下一个数6起，五个五个地数，数到的数都划掉（表上画在右边）。再下去没有划掉的是 7，就从7的下一个数8起，七个七个地数，数到的数都划掉（表上画在左边）。

假如我们不是从1起到100为止，那么还要照推下去。现在只到100为止，这样就行了。因为7以下没有划掉的已是11。11 除 100 不过得 9。9 比 11 小，可以划掉的数，如 22，33，44……等在数 2，数 3 的时候就划掉了。

这样做法，没有划掉的数都是质数。现在把 200 以内的质数写在下面供大家参考：

2 3 5 7 11 13 17 19

23 29 31 37 41 43 47 53

59 61 67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113 127 131

137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199

（2）任意提出一个数来，如397和323，怎样判定它是不是质数？

解决这个问题，我们还是只有一个很呆的方法，就是把所有比它小的质数，从小到大地依次去除它。除到商数已经比除数小了还除不尽， 它就是质数。因为我们是先用小的数去除，再用大的数除的；假如商数比除数小以后还除得尽，那么，商数做除数的时候早已经除尽了。

先看397。由前面说过的法则，我们知道2，3，5，11都除不尽它。

323÷17=19。

就是323=17×19不是质数。

11.【质数的个数是无限的】我们说“有限”就是说有一个最大的数做界限。假如质数的个数是有限的，那么就是有一个最大的质数， 凡是比它大的数都不是质数。我们就设这个最大的质数是p。

现在我们来研究这样一个数N，它等于从2起到p止的一切质数的积加上1，即N=2×3×5×7×……×p+1。

首先，我们知道N总大于p，所以若N就是质数，p当然不是最大的质数。

其次，我们说N就是质数。因为比它小的质数，2，3，5，7，……p，无论拿哪一个去除它都要剩 1，就是总除不尽，所以N是质数，并且是大于p的。

这就是说，质数没有最大的一个。所以质数的个数是无限的。 M1hpm2UB9LrrjcGr+PvvsPMvIF6QFQODajj5nUXNLNlwKM28L4Giqtziah2BYF6v