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《给孩子的趣味数学:数学原来这么好玩》丛书导读

民国时期,著名画家、教育家、漫画家、作家丰子恺给刘薰宇的《数学趣味》一书作序,原文如下:

我中学时代最不欢喜数学,最欢喜图画,常常为了图画而抛荒数学课。看见某画理书上说:“学数学与学图画,头脑的用法相反,故长于数学者往往不善图画,长于图画者往往不善数学。”我得了这话的辩护,便放心地抛荒数学课,仿佛数学越坏,图画会越好起来似的。现在回想觉得可笑又可惜,放弃了青年时代应修的一种功课。我一直没有尝过数学的兴味,一直没有游览过数学的世界,到底是损失!

最近给我稍稍补偿这损失的,便是这册书里的几篇文章。我与薰宇相识后,他便做这些文章。他每次发表,我都读,诱我读的,是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。每次想:假如从前有这样的数学书,也许我不会抛荒数学,因而不会相信那画理书上的话。我曾鼓励薰宇续作,将来结集成书。现在书就将出版了,薰宇要我作序。数学的书,叫我这从小抛荒数学的人作序,也是奇事。而我居然作了,更属异闻!序,似乎应该是对于全书的内容有所品评或阐发的,然而我的序没有,只表示我是每篇的爱读者而已。——唯其中《韩信点兵》一篇给我的回想很不好:这篇发表时,我正患眼疾,医生叮嘱我灯下不可看书,而我接到杂志,竟在灯下一口气读完了。次日眼睛很痛,又去看医生。

一九三三年耶稣诞
子恺

一篇简短的序言,让我们读到了大画家丰子恺对没有学好数学的懊悔,也读到了《数学趣味》的趣味。这趣味让丰子恺对该书爱不释手, 忍着眼痛也要看完。如此精彩,到底是怎样的书呢?让我们一起来品味刘薰宇的数学科普丛书。

一、读其文,先品其人——认识丛书作者刘薰宇

刘薰宇(1896—1967),贵州贵阳人。我国现代数学家,也是我国现代数学教育家和出版家,受过法国数学教育的熏陶,曾任多所大学和中学数学教师或校长,担任过人民教育出版社副总编辑,审定过我国中小学数学教材,出版了中小学数学教科书和科普读物,发表了大量数学教育方面的论文,筹备出版了《中学生》《新少年》等青少年期刊。

担任人民教育出版社副总编辑期间,编写了一系列中学数学教材。算术谁编的?刘薰宇!代数谁编的?刘薰宇!平面几何谁编的?刘薰宇!立体几何谁编的?刘薰宇!解析几何谁编的?刘薰宇!……注意不是主编,而是编!我们对作者的景仰之情如滔滔江水,连绵不绝。

民国时期,语文教育家夏丏尊出过一本书,名为《文章作法》,这本书的第二作者是刘薰宇,一个数学家编写语文专著,可谓文理兼修, 惊为天人。

刘薰宇作为中国数学科普第一人,论著特点之一就是:说理浅明, 以趣味丰富的文字写枯燥的算理。所以,他的科普著作深受人们的喜爱,下面仅对《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》和《因数和因式》中的内容做一简单的介绍,增进我们对他的科普著作的了解,进而去阅读,并享受其中的数学趣味,汲取这位数学家留给我们的“教育遗产”。

二、作品赏析

刘薰宇的《马先生谈算学》这部著作从 1937 年 1 月开始,陆续按

月发表在《中学生》上,预定于 1937 年,在《中学生》上登载完毕,

但由于时局动乱,难以静心撰写,时至 1939 年冬天才完稿,前后历时三年。

刘薰宇写该书的动机是:“在增进学算学的人对于算学的趣味。对于学习算学的态度,思索问题的途径,以及探究题目间的关系和变化, 我很用心地去选择和计划表出它们的方法。我希望,能够把这没有生命的算学问题注进一点儿活力。”该书是以第三人称——“马先生”的口吻来进行书写的,主要围绕如何用图解法求解一些算术四则问题,收集了 100 多道题目加以解释,但它并不是什么难题详解之类的书。马先生是一位风趣幽默的老师,在和同学们的交流中循循善诱,把复杂的数学问题通过深入浅出的语言,通过生动

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形象的画图加以解决。例如书中有这么一段:

鸡、 兔 同 一 笼 共 十 九 个 头, 五十二只脚,求鸡、兔各有几只?

不用说,这题目包含一个事实条件,鸡是两只脚,而兔是四只脚。

“依头数说,这是‘和一定’的关系。”马先生一边说,一边画AB线。

“但若就脚来说,两只鸡的才等于一只兔的,这又是‘定倍数’ 的关系。假设全是兔,兔应当有十三只;假设全是鸡,就应当有二十六只。由此得 CD 线,两线交于 E。竖看得七只兔,横看得十二只鸡,这就对了。”

七只兔,二十八只脚,十二只鸡,二十四只脚,一共正好五十二只脚。

这种方法正如刘薰宇先生强调的:“用图解法直接来解决算术问题,这不但便于观察和思索,而且还可使算术更切近于实用一点。图解,本来已沟通了代数和几何,而成为解析几何学的骨干。所以,若从算术起,就充分地运用它,我想,这不但对于进一步学习算学中的其他部门,有着不少的帮助,而且对于学理、工科,乃至于统计等, 也是有益的。”《马先生谈算学》中的图像法不正是中学的函数图像的雏形吗?在学习函数和解析法分析问题时,马先生让你水到渠成。

《马先生谈算学》共有 30 部分,依次为:他是这样开场的、怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系、解答如何产生——交差原理、就讲和差算罢、“追赶上前”的话、时钟的两只针、流水行舟、年龄的关系、多多少少、鸟兽同笼问题、分工合作、归一法的问题、截长补短、还原算、五个指头四个叉、排方阵、全部通过、七零八落、韩信点兵、话说分数、三态之一——几分之几、三态之二——求偏、三态之三—— 求全、显出原形、从比到比例、这要算不可能了、大半不可能的复比例、物物交换、按比分配、结束的一课。

《马先生谈算学》充分体现了刘薰宇先生对数学的态度,一方面认为人人应该学习数学,但不是说人人都要当数学家;另一方面认为人人都能学习数学,但不是说人人都能成为数学家。科学的价值与需求在当时已经不容怀疑,而算术、代数、几何、三角、解析几何以及初等微积分等中等程度的数学是科学必备的基础。所以,“谨以此书献给真实爱好科学的青年朋友”表达了刘薰宇先生出版该书的心声。

《数学趣味》共有 11 部分,依次是:数学是什么、数学所给与人们的、数的启示、从数学问题说到我们的思想、恨点不到头、堆罗汉、八仙过海、棕榄谜、韩信点兵、王老头子的汤圆、假使我们有十二根手指。《数学趣味》是一本有趣的数学史,从数学是什么到数的启示,你会读到数的历史演变,你会读到从数到式的发展。从数学问题说我们的思想中,刘薰宇先生通过鸡兔同笼、勾股定理两个耳熟能详的问题,分析了数学中的通法和特法的关系,以及特殊与一般的关系。

大概说来,在十六七年前吧,从一部旧小说上,也许是《镜花缘》,看到一个数学题的算法,觉得很巧妙,至今仍没有忘记。那是一个关于鸡兔同笼的问题,题上的数字现在已有点儿模糊,假使总共十二个头,三十只脚,要求的便是那笼子里边究竟有几只鸡、几只兔。

那书上的算法很简便,将总共的脚的数目三十折半,得十五,从这十五中减去总共的头的数目十二,剩的是三,这就是那笼子里面的兔的只数;再从总共的头数减去兔的头数三,剩的是九,便是要求的鸡的数目。真是一点儿不差,三只兔和九只鸡,总共恰是十二个头,三十只脚。

……

八方桌和六方桌,总共八张,总共有五十二个角,试求每种各有几张。这个题目具备了前面所举的三个条件中的第一个和第二个,只缺第三个,所以不能完全用相同的方法计算。先将五十二折半得二十六,八方和六方折半以后,它们的角的数目相差虽只有一,但六方的折半还有三个角,八方的还有四个。所以,在三十六个角里面,必须将每张桌折半以后的脚数三只三只地都减去。总共减去三乘八得出来的二十四个角,所剩的才是每张八方桌比每张六方桌所多出的角数的一半。所以二十六减去二十四剩二,这便是八方桌有两张,八张减去二张剩六张, 这就是六方桌的数目。将原来的方法用到这道题上,步骤就复杂了,但教科书上所说的方法,用到那些形式相差很远的例子上并不繁重,这就可以证明两种方法使用范围的广狭了。

读了上面的例子,你是否认识到越是普遍的法则,用来对付特殊的事例,往往越是容易显出不灵巧,但它的效用并不在使人得到小花招,而是要给大家一种可靠的、能够一以当百的方法。你是否认识到这可以列方程和方程组,解法更加普遍。

中国很老的数学书,如《周髀算经》上面,就载有一个关于直角三角形的定理,所谓“勾三股四弦五”。这正和希腊数学家毕达哥拉斯的定理:“直角三角形的斜边的平方等于它两边的平方的和。”本质上没有区别。但由于表出的方法不同,它们的进展就大相悬殊。从时间上看,毕达哥拉斯是纪元前六世纪的人,《周髀算经》出世的时代虽已不能确定,但总不止二千六百年。从这儿,我们中国人也可以自傲了, 这样的定理,我们老早就有的。这似乎比把墨子的木鸢当作飞行机的始祖来得大方些。然而为什么毕达哥拉斯的定理在数学史上有着很大的发展,而“勾三股四弦五”的说法,却没有新的突破呢?

这进一步告诉我们,我们的科学研究,尤其数学研究要从实际问题出发,从特殊到一般,发现普遍真理。刘薰宇进一步分析了一般三角形的三边类勾股的关系,扩展到费马定理,层层递进,精彩纷呈。

刘薰宇出版《数学趣味》有两个目的:一是打破一种观念:“许多人以为数学是枯燥、繁杂、令人头疼、不切实用的学科,因而望而却步。打破这种观念,这是第一个共同的企图。”二是暗示处理材料和思索问题的方法:“许多人以为学习数学,只要呆记书本上的法则、公式、定理等等,再将练习题做完,这就算全部掌握了。其实书本上的知识不但有限,而且也太固定了,我们所能遇见的更鲜活的材料不知有多少。将死板的方法用到这些活泼的材料上去,使它俩相得益彰,这是一条学习的正轨。学习不但要收集一些材料,还要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。”

中学生可以看懂高等数学中的微积分,也许你认为这是天方夜谭吧。当你打开刘薰宇的《数学的园地》,你会发现微积分其实很简单。该书比较系统地说明了函数、诱导函数、积分、微分等概念及它们的运算法的基本原理。抽象、枯燥的高等数学内容,经过他巧妙的手法写出来,只要学过初等代数和几何的人,就能很轻松、毫不费力地读完并掌握。所以,该书完全可以作为中学生必备的重要自学书籍。

记起一段笑话,一段戏文上的笑话。有一个穷书生,讨了一个有钱人家的女儿做老婆,因此,平日就以怕老婆出了名。后来,他的运道亨通了,进京朝考,居然一榜及第。他身上披起了蓝衫,许多差人侍候着。回到家里,一心以为这回可以向他的老婆复仇了。哪知老婆见了他,仍然是神气活现的样子。他觉得这未免有些奇怪,便问:“从前我穷,你向我摆架子,现在我做了官,为什么你还要摆架子呢?”

她的回答很妙:“愧煞你是一个读书人,还做了官,‘水涨船高’ 你都不晓得吗?”

你懂得“水涨船高”吗?船的位置的高低,是随着水的涨落变的。用数学上的话来说,船的位置就是水的涨落的函数。说女子是男子的函数, 也就是同样的理由。在家从父,出嫁从夫,夫死从子,这已经有点儿像函数的样子了。如果还嫌粗略,我们不妨再精细一点儿说。女子一生下来, 父亲是知识阶级,或官僚政客,她就是千金小姐;若父亲是挑粪、担水的,她就是丫头。这个地位一直到了她嫁人以后才会发生改变。这时,改变也很大:嫁的是大官僚,她便是夫人;嫁的是小官僚,她便是太太;嫁的是教书匠,她便是师母;嫁的是生意人,她便是老板娘;嫁的是 x,她就是y,y总是随着x变的,自己无法做主。这种情形和“水涨船高”真是一样,所以我说,女子是男子的函数,y是x的函数。

函数的概念比较抽象,刘薰宇先生以旧社会妇女没地位,处处要服从男人这个事实作为从属关系的例子,把“一个变化另一个也跟着变” 的道理说得幽默生动。相对于函数,微分、积分、导数以及微分方程更加抽象,但刘薰宇先生依然把它们讲得栩栩如生,通俗易懂。

《因数和因式》中,刘薰宇先生把小学的数和中学的式放在一起, 可以类比学习,对于爱好数学的学生、学有余力的学生、在六年级着手初小衔接的学生,可以仔细读一读,品一品,你会发现二者之间有着紧密的联系。书中有一些名词在今天读起来更觉得生动:比如我们现在称为分解质因数,本书中称为“析因数”,分解因式在本书中称为“析因式”。有关式的部分,刘薰宇先生在书中做了细致的阐述,对初中数学中数与式的巩固、拓展提升有很大的帮助。

三、刘薰宇著作对后世的影响

刘薰宇的论著在当时深受人们的喜爱,有些人正是因为读了他的论著才对数学感兴趣,不再觉得数学是枯燥、难懂的学科。

著名物理学家、诺贝尔奖得者杨振宁在对香港中学生的演讲中说: “早在中学时代,由于偶然的机会我对数学产生了兴趣,而且发现了自己的数学能力。20 世纪 30 年代,有一杂志名叫《中学生》。我想香港的一些图书馆一定还收藏有这份杂志。这份杂志非常好,面向中学生, 办得认真,内容有趣。有一位刘薰宇先生,他是位数学家,写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章。我记得,我读了他写的关于智力测验的文章,才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。”

著名数学家、国家最高科学技术奖获得者谷超豪院士说:“我很早就对数学产生了兴趣,中学时期除了好好学习课本外,我还看了不少课外书。记得看了刘薰宇先生的《数学的园地》,其中有一段讲述了微积分思想,从什么是速度讲起。当时在学中学物理课,我自以为很懂得速度、加速度等概念,然而读了这本书之后才发现,原来速度概念要用到微积分才能精确了解,于是对数学愈发地感兴趣了。”

刘薰宇先生的这些作品与教科书不同,刘薰宇说“在嬉皮笑脸中来谈点严肃的数学法则”(刘薰宇《科学小品和我》),这样的写法很得著名艺术家丰子恺的称赞。

好友李异鸣先生从孔夫子旧书网购得刘薰宇先生的《马先生谈算学》《数学趣味》《数学的园地》《因数和因式》套书。2020 年春节, 新冠肺炎疫情蔓延,待家防护,捧读大师这四本著作,仿佛和大师做了一番月余的长谈。“数学很难,数学很枯燥,数学很重要”,这是很多中小学生的内心独白。今天,我要向所有的中小学生推荐这套丛书,这套丛书能够让人感知数学知识可以是有趣的,也应该是有趣的,学习数学知识并不是苦差事。好书永远有生命力,刘薰宇先生的这套丛书就是好书,一代代人读,启迪智慧,开创未来。

北京市第八十中学 杨根深
2020年4月 v5AZYa+wqFXCB945hRq5ZufSZnsha5wpk6iv3/SrVGlbzysW8lawETkIFiE57PgR



一 因数

1.【自然数列】 假若我们把0也作为一个数看,那么,从0起, 依次加1上去,就可以得出有头无尾的一串数:

0,1,2,3,4,……10,……20,……100,……1000,……这一串数就叫作自然数列。

2.【约数和倍数】 在自然数列中,如 2,3,4,6 都可以除尽12,我们就说 2,3,4,6 是 12 的约数。反过来,12 就叫作 2,3,4, 6 的倍数。

一般地说,甲数能除得尽乙数,甲数就是乙数的约数,而乙数就是甲数的倍数,如11能除得尽 143,11就是143的约数,而143就是11的倍数。

在这点,我们应当注意自然数列中:

(1)1是任何数的约数,因为用它除什么数都可以除尽。

(2)0是任何数的倍数,因为除0自己以外,什么数去除0就得0,并没有余数,就是除得尽。

3.【倍数的基本性质】 关于倍数,我们很容易推得下面的两个性质:

45是5的倍数,25也是5的倍数。

45+25=70和45-25=20,

我们知道70和20也是5的倍数。这就是说:

一个数的几个倍数的和或两个倍数的差,还是它的倍数。这是可以从乘法的分配定律说明的。

因为 45=9×5和25=5×5,

所以 45+25=9×5+5×5=(9+5)×5=14×5,

和 45−25=9×5−5×5=(9−5)×5=4×5。

45是5的倍数,18不是5的倍数。

45+18=63和45-18=27,

我们知道63和27都不是5的倍数。这就是说:

一个数的倍数加上或减去一个不是它的倍数的数,结果就不是它的倍数。

因为由前一个性质,若45+18=63和45-18=27,63和27都是5的倍数,则63-45=18和45-27=18,都应当是5的倍数,但这和我们提出的条件18不是5的倍数是矛盾的。

4.【2的倍数】用2除得尽的数叫作偶数,用2除不尽的数叫作奇数。在自然数列中,奇数同着偶数是相互交替的。1是奇数,2是偶数,3是奇数,4是偶数……由此我们把0看成偶数。

20是2个10的和,150是15个10的和。但10是2的倍数,所以20和150都是2的倍数。这就是说:

末位是0的数都是2的倍数。

34=30+4和256=250+6。

两个式子右边的第一个数都是2的倍数,而第二个数也是2的倍数,所以它们的和也是 2 的倍数。这就是说:

末位是偶数的数都是2的倍数。

反过来,187=187+7,第一个数是2的倍数,而第二个数却不是2的倍数,所以187便不是2的倍数。这就是说:

末位是奇数的数都不是2的倍数。

5. 【4 的倍数】100=25×4,100是4的倍数。1300=13×100,就是13个100,也就是13个4的倍数的和,所以也是4的倍数。这就是说:

末两位是0的数都是4的倍数。

3124=3100+24和2576=2500+76。

两个式子右边的第一个数都是4的倍数,第二个数24和76也是4的倍数。所以它们的和3124和2576也是4的倍数。这就是说:

末两位是4的倍数的数都是4的倍数。

相反地,末两位不是4的倍数的数也不是4的倍数。同样地,我们还可以推得:

末三位是0或8的倍数的数都是8的倍数。

相反地,末三位不是8的倍数的数都不是8的倍数。

6.【5和10的倍数】末位是0的数都可以看成是若干个10的和。30是3个10的和,170是17个10 的和。但10是5和10的倍数。这就是说:

末位是0的数都是5和10的倍数。

45=40+5和1035=1030+5。

两个式子右边的第一个数都是5的倍数,第二个数5也是5的倍数,所以它们的和45和1035都是5 的倍数。这就是说:

末位是0或5的数都是5的倍数。

相反地,末位不是0或5的数都不是5的倍数。同样地,我们还可以推得:

末二位是0或25,50,75 的数都是25的倍数。

末三位是0或125,250,375,500,625,750,875(125的倍数)的数都是125的倍数。

7.【3和9的倍数】我们先注意一下:

9÷3=3 , 9÷9=1 ;

99÷3=33 , 99÷9=11 ;

999÷3=333 , 999÷9=111 。

就是只用 9 这一个数字组织成的数都是 3 和 9 的倍数。现在我们再来看:

36=30+6=10×3+6=(9+1)×3+6=9×3+(3+6),

135=100+30+5=(99+1)×1+(9+1)×3+5

=(99×1+9×3)+1+3+5,

2601=2000+600+1=(999+1)×2+(99+1)×6+1

=(999×2+99×6)+(2+6+1).

各个式子右边的第一个数都是9的倍数,第二个数也都是9的倍数,所以它们的和36,135,2601 都是9的倍数。

把各个式子右边的第二个数来和原数对照一下,我们可以看出来, 它们就是原数的“各位数字的和”。这就是说:

一个数的各位数字的和是9的倍数,它就是9的倍数。自然,这也可以用到3。

一个数的各位数字的和是3的倍数,它就是3的倍数。

9是3的倍数,所以9的倍数都是3的倍数,上面的36,135,2601都是3的倍数。但3的倍数不一定就是9的倍数,如 3,6,12,15……所以一个数的各位数字的和若只是3的倍数而不是 的倍数,它也就只是3的倍数而不是9的倍数。

8.【11 的倍数】 我们先注意一下:

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yinshu3

上面三个式子告诉我们,最后等式右边的第一个数都是11的倍数。所以原数是不是11的倍数就要看它最后等式右边的第二个数是不是11的倍数。

我们来仔仔细细地看看这些第二个数,同着原数对起来,它们都是奇数位数的数字在‘+’,偶数位数的数字在‘-’。

8−6+9=(8+9)−6=11,

−3+5−5+3=(5+3)−(3+5)=0,

2−3+4−1+9=(2+4+9)−(3+1)=11。

它们是0或11的倍数。所以原数也就是11的倍数。这就是说:

一个数的奇位数字的和同着它的偶位数字的和相减所得的差若是0或11的倍数,它就是11的倍数。

869=79×11, 3553=323×11 , 23419=2129×11 。 +ZAN8qHFch498zWGvCpL73Ne6Rw84N4kgv3Osd8ZcD/kfzaHdSceoRuShy1ohj5J

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