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“昨天讲的最后三个例子，你们总没有忘掉吧！——若是这样健忘，那就连吃饭、走路都学不会了。”马先生一走进门，还没立定， 笑嘻嘻地这样开场。大家自然只是报以微笑。于是马先生口若悬河地开始这一课的讲演。
昨天的最后三个例子，图上都是一条直线，各条直线都表出了两个量所保有的一定关系。从直线上的任意一点，往横看又往下看，马上就知道了，合于某种条件的甲量是什么，乙量便是怎样。如图 7，合于每小时走二里这条件，4小时便走了8里，5小时便走了10里。
当然，这种图，对于我们很有用。比如说，你有个弟弟，每小时可走六里路，他离开你出门去了。你若照样画一张图，他离开你后， 你坐在屋里，只要看看表，他走了多久，再看看图，就可以知道他离你有多远了。倘若你还清楚这条路沿途的地名，你当然可以知道他已到了什么地方，还要多长时间才能到达目的地。倘若他走后，你突然想起什么事，需得关照他，正好有长途电话可用，只要沿途有地点可以和他通电话，你岂不是很容易找到打电话的时间和通话的地点吗？
这是一件很巧妙的事，已落了中国旧小说无巧不成书的老套。古往今来，有几个人会碰巧遇见这样的事？这有什么用场？你也许要这样扳差头。然而这只是一个用来打比方的例子，照这样推想，我们一定能够绘制出一幅地球和月亮运行的图吧。从这上面，岂不是在屋里就可以看出任何时间段地球和月亮的相互位置吗？这岂不是有了孟子所说的“天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至，可坐而致也”那副神气吗？算学的野心，就是想把宇宙间的一切法则，统括在几个式子或几张图上。这就是它的“全体大用”。
现在看来，这似乎是犯了夸大狂的说法，姑且丢开，转到本题。算术上计算一道题，除了混合比例那一类以外，总只有一个解答，这解答靠昨天所讲过的那种图，可以得出来吗？
当然可以，我们不是能够从图上看出张老大得九块钱的时候，宋阿二得的是六块钱吗？
不过，虽然这种办法对于这样简单的题目可以得出来，但遇见较复杂的题目时，就很不便当了。比如将题目改成这样：
张老大、宋阿二分十五块钱，怎样分法，张老大才能比宋阿二多得三块？
当然我们可以这样老老实实地去把解法找出来：张老大拿十五块的时候，宋阿二一块都拿不到，相差的是十五块。张老大拿十四块的时候，宋阿二可得一块，相差的是十三块……这样一直看到张老大拿九块，宋阿二得六块，相差正好是三块，这便是解答。
这样的做法，即使是对于这个很简单的题目，也需做到六次，才能得出答案。较复杂的题目，或是题上数目较大的，那就不胜其烦了。
而且，这样的做法，实在和买彩票差不多。从张老大拿十五块， 宋阿二得不着，相差十五块，不对题；马上就跳到张老大拿十四块， 宋阿二得一块，相差十三块，实在太胆大。为什么不看一看，张老大拿十四块九角，十四块八角……乃至于十四块九角九分九九九……的时候怎样呢？
喔！若是这样，那还了得！从十五到九中间有无限的数，要依次看去，人寿几何？而且比十五稍稍小一点儿的数，谁看见过它的面孔是圆的还是方的？
老老实实的办法，就不是办法！人是有理性的动物，变戏法要变得省力气、有把握，才会得到看客的赞赏呀！你们读过《伊索寓言》吧？里面不是说人学的猪叫比真的猪叫，更叫人满意吗？
所以找算术上的解法必须更巧妙一些。这样，就来讲交差原理。
照昨天的说法，我们无妨假设，两个量间有一定的关系，可以用一条线表示出来。——这里说假设，是虚心的说法，因为我们只讲过三个例子，不便就冒冒失失地概括一切。其实，两个量的关系，用图线（不一定是直线）表示，只要这两个量是实量，总是可能的。——那么像刚刚举的这个例题，既包含两种关系：第一，两个人所得的钱的总和是十五块；第二，两个人所得的钱的差是三块。当然每种关系都可画一条线来表示。
所谓一条线表示两个数量的一种关系，精确地说，就是：无论从那条线上的哪一点，横看和竖看所得的两个数量都有同一的关系。
假如，表示两个数量的两种关系的两条直线是交叉的，那么，相交的地方当然是一个点，这个点便是一子双挑了，它继承这一房的产业，同时也继承另一房的产业。所以，由这一点横看竖看所得出的两个数量，既保有第一条线所表示的关系，同时也保有第二条线所表示的关系。换句话说，便是这两个数量同时具有题上的两个关系。
这样的两个数量，不用说，当然是题上所要的答案。试将前面的例题画出图来看，那就非常明晰了。
第一个条件，“张老大、宋阿二分十五块钱”，这是两人所得的钱的和一定，用线表出来，便是 AB。
第二个条件，“张老大比宋阿二多得三块钱”，这是两人所得的钱的差一定，用线表出来，便是 CD。
AB和CD相交于E，就是E点既在AB上，同时也在CD上，所以两条线所表示的条件，它都包含。
图 8
由E横看过去，张老大得的是九块钱；竖看下来，宋阿二得的是六块钱。
正好，九块加六块等于十五块，就是 AB 线所表示的关系。而九块比六块多三块，就是 CD 线所表示的关系。
E点，毫无疑问正是本题的解答。
“两线的交点同时包含着两线所表示的关系。”这就是交差原理。顺水推舟，就这原理再补充几句。
两线不止一个交点怎么办？
那就是这题不止一个答案。不过，此话是后话，暂且不表出，以后连续的若干次讲演中都不会遇见这种情形。
两线没有交点怎样？ 那就是这题没有解答。没有解答还成题吗？
不客气地说，你可以认为这题不通；客气一点儿，你就说，这题不可能。所谓不可能，就是指照题上所给的条件，它所求的答案是不存在的。
比如前面的例题，第二个条件，换成“张老大比宋阿二多得十六块钱”，画出图来，两直线便没有交点，如图 9。事实上，这非常清晰，两个人分十五块钱，无论怎样，不会有一个人比另一个人多得十六块的。只有两人暂时将它放着生利息，连本带利到了十六块以上再来分，然而，这已超出题目的范围了。
图 9
教科书上的题目，是著书的人为了帮助学习的人练习编造出来的，所以，只要不是排错，都会得出答案。至于到了实际生活中，那就不一定有这样的好运。因此，注意题目是否成立，假如不成立，解释这不成立的理由，都是学习算学的人应当做的工作。
例一：大小两数的和是十七，差是五，求两数。
马先生侧着身子在黑板上写了一道题，转过来对着听众，两眼朝大家扫视了一遍。
“周学敏，这道题你会算了吗？”周学敏也是一个对于学习算学感到困难的学生。
周学敏站起来，回答道：“这和前面的例子是一样的。” “不错，是一样的，你试将图画出来看一看。”
周学敏很规矩地走上讲台，迅速在黑板上将图画了出来。马先生看了看，问：“得数是多少？”
“大数十一，小数六。”
周学敏虽然得出了这个正确的答案，但好像不是很满意，回到座位上，两眼迟疑地望着马先生。
马先生觉察到了，向着他问：“你还有点放心不下吗？”
周学敏立刻回答道：“虽然画法是懂得了，但是这个题的算法还是不明白。”
马先生点了点头说：“这个问题，很有意思。不过你们应当知道， 这只是算法的一种，因为它比较具体而且有一定的法则可依，所以很有价值。由这种方法计算出来以后，再仔细地观察、推究算术中的计算法，有时便可得出来。”
图 10
如图10，OA是两数的和，OC是两数的差，CA便是两数的和减去两数的差，CF恰是小数，又是 CA的一半。因此就本题说，便得出：
OF既是大数，FA又等于CF，若在FA上加上OC，就是图中的FH，那么FH也是大数，所以OH是大数的二倍。由此，又可得下面的算法：
记好了OA是两数的和，OC是两数的差，由这计算，还可得出这类题的一般的公式来：
（和 + 差）÷2 = 大数， 大数 - 差 = 小数；
或
（和 - 差）÷2 = 小数， 小数 + 差 = 大数。
例二：大小两数的和为二十，小数除大数得四，大小两数各是多少？
这道题的两个条件是：（1）两数的和为二十，这便是和一定的关系；（2）小数除大数得四，换句话说，即大数是小数的四倍，—— 倍数一定的关系。由（1）得图中的AB，由（2）得图中的 OD。AB和OD交于E。
由E横看得16，竖看得4。大数16，小数4，就是所求的解答。
图 11
“你们试由图上观察，发现本题的计算法，和计算这类题的公式。”马先生一边画图，一边对大家说。
大家都睁起两眼盯着黑板，只有周学敏还算勇敢：“OA是两数的和，OF是大数，FA是小数。”
“好！FA是小数。”对周学敏的这个发现，马先生好像感到惊讶，“那么，OA里一共有几个小数？”
“5 个。”周学敏。
“5 个？从哪里来的？”马先生有意地问。
“OF是大数，大数是小数的4倍。FA是小数，OA等于OF加上FA 。4加1是5，所以有5个小数。”王有道。
“那么，本题应当怎样计算？”马先生。
“用5去除20得4，是小数；用4去乘4得16，是大数。”我回答。马先生静默了一会儿，提起笔在黑板上一面写，一面说：“要这样，在理论上才算完全。”
20÷（4+1）=4……小数
4×4=16……大数
接着又问：“公式呢？”
大家差不多一齐说：“和÷（倍数+1）=小数，小数 × 倍数=大数。”
例三：大小两数的差是六，大数是小数的三倍，求两数。马先生将题目写出以后，随即一声不响地将图画出，问：
图 12
“大数是多少？”
“9。”大家齐声回答。 “小数呢？”
“3。”也是众人一齐回答。 “在图上，OA是什么？” “两数的差。”周学敏。“OF和AF呢？”
“OF是大数，AF是小数。”我抢着说。 “OA中有几个小数？”
“3减1个。”王有道不甘退让地争着回答。 “周学敏，这题的算法怎样？”
“6÷（3-1）=6÷2=3……小数，3×3=9……大数。”
“李大成，计算这类题的公式呢？”马先生表示默许以后又问。
“差÷（倍数-1）=小数，小数×倍数=大数。”
例四：周敏和李成分三十二个铜板，周敏得的比李成得的三倍少八个，各得几个？
马先生在黑板上写完这道题目，板起脸望着我们，大家不禁哄堂大笑，但不久就静默下来，望着他。
马先生：“这回，老文章有点儿难抄袭了，是不是？第一个条件两人分三十二个铜板，这是‘和一定的关系’，这条线自然容易画。第二个条件却是含有倍数和差，困难就在这里。王有道，表示这第二个条件的线怎样画法？”
王有道受窘了，紧紧地闭着双眼思索，右手的食指不停地在桌上画来画去。
马先生：“西洋镜凿穿了，原是不值钱的。只要想想昨天讲过的三个例子的画线法，本质上毫无分别。现在不妨先来解决这样一个问题， ‘甲数比乙数的二倍多三’，怎样用线表示出来？
“在昨天我们讲最后三个例子的时候，每图都是先找出 A、B 两点来，再连接它们成一条直线，现在仍旧可以依样画葫芦。
“用横线表乙数，纵线表甲数。
“甲比乙的二倍多三，若乙是零，甲就是3，因而得A点。若乙是1，甲就是5，因而得B点。
图 13
“现在从AB上的任意一点，比如C，横看得11，竖看得4，不是正合条件吗？
“若将表示小数的横线移到3x，对于3x和3y来说，AB不是正好表示两数定倍数的关系吗？
“明白了吗？”马先生很庄重地问。
大家只能默示已经明白。接着，马先生又问：
“那么，表示‘周敏得的比李成得的三倍少八个’，这条线该怎么画？周学敏来画画看。”大家又笑一阵。周学敏在黑板上画成下图：
图 14
“由这图看来，李成一个钱不得的时候，周敏得多少？”马先生问。
“8 个。”周学敏答。
“李成得1个呢？”
“11 个。”有一个同学回答。
“那岂不是文不对题吗？”这一来大家又呆住了。毕竟王有道的算学好，他说：“题目上是‘比三倍少八’，不能这样画。” “照你的意见，应当怎样画？”马先生问王有道。
“我不知道怎样表示‘少’。”王有道答。
“不错，这一点须特别注意。现在大家想，李成得三个的时候，周敏得几个？”
“1 个。”
“李成得四个的时候呢？”
“4 个。”
“这样A、B两点都得出来了，连起AB来，对不对？”
“对——！”大家露出有点儿乐得忘形的神气，拖长了声音这样回答，简直和小学三四年级的学生一般，惹得马先生也笑了。
图 15
“再来变一变戏法，将AB和OY都往回拉长，得交点E。OE是多少？”
“8。”
“这就是‘少’的表出法，现在归到本题。”马先生接着画出了图16。
“各人得多少？”
图 16
“周敏二十二个，李成十个。”周学敏。
“算法呢？”
“（32+8）÷（3+1）=40÷4=10……李成得的数。
10×3-8=30-8=22……周敏得的数。”我说。
“公式呢？”
好几个人回答：
“（总数+ 少数）÷（倍数+1）=小数，
小数 × 倍数 - 少数 = 大数。”
例五：两数的和是十七，大数的三倍与小数的五倍的和是六十三， 求两数。
“我用这个题来结束这第四段。你们能用画图的方法求出答案来吗？各人都自己算算看。”马先生写完了题这么说。
跟着，没有一个人不用铅笔、三角板在方格纸上画。——方格纸是马先生预先叫大家准备的——这是很奇怪的事，没有一个人不比平常上课用心。同样都是学习，为什么有人被强迫着，反而不免想偷懒；没有人强迫，比较自由了，倒一齐用心起来。这真是一个谜。
和小学生交语文作业给先生看，期望着先生说一声“好”，便回到座位上誊正一般，大家先后画好了拿给马先生看。这也是奇迹，八九个人全没有错，而且完成的时间相差也不过两分钟。这使马先生感到愉快，从他脸上的表情就可看出来。不用说，各人的图，除了线有粗细以外，全是一样，简直好像印板印的一样。
各人回到座位上坐下来，静候马先生讲解。他却不讲什么，突然朝王有道问：“王有道，这道题用算术的方法怎样计算？你来给我代课，讲给大家听。”马先生说完了就走下讲台，让王有道去做临时先生。
王有道虽然有点儿腼腆，但最终还是拖着脚上了讲台，拿着粉笔， 硬做起先生来。
“两数的和是十七，换句话说，就是大数的一倍与小数的一倍的和是十七，所以用三去乘十七，得出来的便是大数的三倍与小数的三倍的和。
“题目上第二个条件是大数的三倍与小数的五倍的和是六十三，所以若从六十三里面减去三乘十七，剩下来的数里，只有‘五减去三’个小数了。”王有道很神气地说完这几句话后，便默默地在黑板上写出下面的式子，写完低着头走下讲台。
（63-17×3）÷（5-3）=12÷2=6…… 小数
17-6= 11……大数
图 17
马先生接着上了讲台：“这个算法，你们大概都懂了吧？我想你们依了前几个例子的样儿，一定要问：‘这个算法怎样从图上可以观察得出来呢？’这个问题却把我难住了。我只好回答你们，这是没有法子的。你们已学过了一点代数，知道用方程式来解算术中的四则问题。有些题目，也可以由方程式的计算，找出算术上的算法，并对那算法加以解释。但有些题目，要这样做却很勉强，而且有些简直勉强不来。各种方法都有各自的立场，这里不能和前几个例子一样，由图上找出算术中的计算法，也就因为这个。
“不过，这种方法比较具体而且确定，所以用来解决问题比较便当。由它虽有时不能直接得出算术的计算法来，但一个题已有了答案总比容易推敲些。对于算术方法的思索，这也是一种好处。
“这一课就这样完结吧。”