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有些论证通过一个或多个例子进行概括。
古时，女性结婚非常早。莎士比亚的《罗密欧与朱丽叶》（ Romeo and Juliet ）中的朱丽叶甚至还不满十四岁。在中世纪，十三岁是犹太女性通常的结婚年龄。在罗马帝国时期，很多罗马女性在十三岁或者更早就结婚了。
这个论证用三个例子——朱丽叶、中世纪的犹太女性、罗马帝国时期的罗马女性——概括“ 很多 ”，或者大多数古代女性。为了清晰展示该论证的形式，我们可以把这些前提分别列出来，把结论放在最后一行：
莎士比亚戏剧中的朱丽叶（ 结婚 ）甚至还不满十四岁。
中世纪的犹太女性通常在十三岁结婚。
罗马帝国时期，很多罗马女性在十三岁或者更早就结婚了。
因此，古代女性结婚非常早。
当我们需要考察简论的实际效力时，将其改写为这种形式是很有用的。
在何种情况下，这种前提才能充分支持概括性结论呢？
准确！一个要求是准确。别忘了规则3：从可靠的前提出发！如果朱丽叶不是十四岁左右，或者，如果大多数罗马或犹太女性不是在十三岁或更早结婚，那么该论证的说服力就会大打折扣。如果所有这些前提都得不到证明，那它就根本算不上一个论证了。为了验证论证中的例子，或者寻找好的例子，你可能需要做些调查。
假设这些例子是准确的，即便如此，做概括时也需要谨慎。在评估举例论证时，你可以凭借本章列出的规则逐一检验。
我们有时会出于说明的目的，而只举一个例子。朱丽叶的例子或许能为早婚做一说明。但要想做概括性的论断，孤例几乎毫无 帮助 。朱丽叶也许只是个例外。一个亿万富翁不幸福，并不能证明有钱人普遍不幸福。我们需要不止一个例子。
错误：
太阳能应用广泛。
因此，可再生能源应用广泛。
太阳能是 一种 可再生能源，但也只是一种而已。其他的种类呢？
正确：
太阳能应用广泛。
水力发电应用广泛。
风力发电曾经应用广泛，目前应用正越来越广泛。
因此，可再生能源应用广泛。
这个“正确”的版本可能依然不完善（ 规则11会回到这个例子 ），但它显然远比“错误”版本说得通。
在对少数事物进行概括时，最有说服力的论证应该考虑到所有，或者至少大多数个体。例如，在对你的兄弟姐妹进行概括时，应该把他们一个一个地全部考虑进去；对太阳系所有行星也应如此。
对大量事物进行概括时则需要提取 样本 。我们当然无法列举出历史上所有早婚的女性。然而，我们在论证时必须用某些女性作为其余女性的样本。需要的样本量部分取决于样本的代表性，下一条规则将谈到这个问题。此外，它还取决于被概括事物的规模大小。通常，规模越大，需要的例子就越多。证明与你同一座城市的人都很了不起，要比证明你的朋友都很了不起需要更多的证据。有的时候，两三个例子就足以证明你的朋友都很了不起；当然，这要看你有多少个朋友。但是，除非你所在的城市小得可怜，否则，你需要拿出很多例子才能证明跟你同一座城市的人都很了不起。
【目标】 练习为概括寻找恰当相关例子的能力。
【要求】 为每一条概括寻找2～3个相关的例子，有时可能需要查资料。
【提示】 概括是一种断言，是指某一类事物的部分或全部都是怎样的。面对概括，你要问自己两个问题：第一，概括的对象是 哪一类 事物；第二，针对该类事物的概括有何 内容 。
以快餐为例。概括的对象是哪一类事物？快餐。作者是怎样概括这类事物的？所有快餐都不健康。
要想给出恰当的例子去支持某一概括，例子就一定要找对。如果你想支持“快餐不健康”这一概括，给出的例子就要 既是 快餐，也是不健康食物。
有些概括是反面的，这里说的不是贬义，而是指该结论的内容是某一类事物极少以至没有是怎样的。举个例子：“哺乳动物没有能在水下呼吸的。”概括的对象是哪一类事物？哺乳动物。作者对哺乳动物做出了何种概括？哺乳动物都不能在水下呼吸。要想给出例子支持它，你给出的例子就要 既是 哺乳动物，也不能在水下呼吸。
并非所有概括都如上面的例子那样明晰。有的时候，在寻找例子之前，你需要认真思考概括本身的意思。
【范例】
许多专业球队都以动物命名。
答案 芝加哥公牛队、佛罗里达枪鱼队、费城老鹰队都是以动物命名的专业球队。
答案解析 为了验证这些例子是恰当的，你需要列出一张《心理检查表》，上面写着好例子的要求。能够支持上述概括的例子必须满足两个标准：（a）是专业球队；（b）以动物命名。每个例子都要与《心理检查表》对照。每个例子都是专业球队（ 而不是校园球队 ）吗？每个例子都是以动物命名的吗？如果都是，例子就是恰当的。不过，你有时需要认真审查自己的回答。棕熊是动物吗？卡努克（Canuck）是动物，还是加拿大人的代称？纽约红牛队里的“红牛”是动物还是能量饮料？
当然，找到3个例子并不能证明概括就是正确的。或许只有这3个例子，并没有“许多”专业球队以动物命名。但是，本习题的意义不在于证明概括正确，而只是为概括找到例证。
【习题】
1.所有鸟都会飞。
2.大部分水果成熟后都是甜的。
3.英格兰是著名音乐家的摇篮。
※延伸练习※
与朋友或同学合作，列出若干概括。然后，给每个概括都找出3个或更多的例子。
即便有大量的例子，可能还是无法恰当地代表被概括的事物。比如，虫子都咬人吗？当然，我们能想到很多咬人的虫子，比如蚊子和黑蝇。我们一上来就会想到它们。毕竟我们都被它们叮过！要想记起有多少种不咬人的虫子，我们可能要去看生物教材或者优质的网上资料才行。其实，大部分虫子——蛾子、螳螂、瓢虫（ 大部分甲虫 ）等——都是不咬人的。
同理，大量列举古罗马女性对证明所有女性有何种特征就没有什么意义，因为古罗马女性不一定能代表其他女性。这个论证还需要考虑不同时期、不同地域的女性。
我们很容易忽视一点：我们通过个人经验获得的“样本”往往是 缺乏 足够的代表性，甚至完全没有代表性的。实际上，真正掌握代表性人群样本的人可谓凤毛麟角。然而，我们总是在概括其他人的整体特征，大谈所谓“人性”，甚至对本市的下一届选举结果也是一样。
错误：
我的邻居们都支持办学债券。因此，办学债券一定会通过的。
这个论证说服力不强，因为一个居民区很难代表全体选民。某个富人区支持的候选人可能被其他区所有人厌恶；在大学城学生选区赢得多数票的候选人通常在其他地方表现不佳。此外，即便是街坊邻居，我们也很少能找到有关其整体偏好的最佳证据。那些急于把自身政治偏好公之于众的人很可能无法代表整个居民区的意见。
对“办学债券一定会通过的”的好论证需要能够代表全体选民的样本。创建这样一个样本并不容易。实际上，我们往往需要专家帮助，而且专家对选举结果也往往预测错误。过去，电话民意调查通常是通过固定电话，因为当时手机号还没有对公众开放。但是，现在只有个别人群还使用固定电话，而且他们的代表性正在降低。
一般来说，你在概括某一群体时应寻找一个最准确的截面数据。如果你想知道学生对大学课程设置的看法，你在概括时就不能仅靠熟人，或者自己课上学生的意见。除非你认识各种各样的人，上各种各样的课，否则，你的个人“样本”就不大可能准确地反映整个学生群体。同样，如果你想知道其他国家的人怎样看待美国，你就不能只问外国游客——因为他们是主动选择来这里的。仔细研究各类境外媒体会使你的调查结果更具代表性。
当取样对象是人类时，我们还要注意一点，这一点更基本：取样对象不能自行选择是否接受调查。于是，大部分网站调查和邮件调查就被排除了，因为人们可以自己决定是否回复。另外，愿意或急于表达观点的人群并不能很好地代表总体，而只能代表有强烈立场或大把时间的那一部分人。这一部分人的想法当然也值得了解，但他们可能只能代表自己，未必能代表别人。
【目标】 通过辨别样本偏差的来源，避免缺乏代表性的例子。
【要求】 下列论证都包含缺乏代表性的样本，请具体提出其他的采样方式，让论证变得更好，并说明为什么新采样方法的代表性更强。
【提示】 许多概括的对象都是内部存在差异的群体。比如，一次民调显示，欧洲人不赞同死刑。欧洲人就是一个内部存在差异的群体。没有哪一个人能代表全体欧洲人。因此，为了找到有代表性的样本，我们就要找一个整体上能代表全体欧洲人的群体。换言之，选择的群体就要符合全体欧洲人的特征：男性与女性、受过高等教育与未受过高等教育、本土人士与移民、富人与穷人等的比例都要一致。一组例子就叫作 样本 。因此，规则8的含义就是：样本要选择能够代表概括对象全体的群体。不能代表概括对象的样本叫作 有偏样本 。
如何确保样本无偏呢？最简单的回答是：样本应当是随机样本。在某个群体——比如欧洲人——的随机样本中，群体的每个成员进入样本的可能性都是相等的。
采集随机样本不是随便选。实际上，构建随机样本是非常困难的。两条经验法则能帮助你避免最常见的错误。针对习题中的论证提建议时，你一定要想着这两条法则。
第一，从概括对象的 全体 中选取样本。比如，你的概括对象是全体北美大学生。那么，采样院校就要广泛，入选样本的概率要与全体状况相符。公立要有，私立也要有；规模大的要有，规模小的也要有；北美洲各地都要有，诸如此类。你还要确保所有类型的学生都有适当的概率入选——男性和女性、住宿生和走读生、医学预科和表演专业、18岁刚考入大学的高中应届生和50岁的老年学生，等等。
第二，规则8还要求样本要确实符合实际比例。如果你从校园邮箱列表里面选，那就会漏掉不用校园邮箱的学生。如果你只接触白天在学校的人，那就会漏掉只在夜晚上课的人。设计抽样方法和联系方式的时候，一定要认真考虑有没有漏掉哪个群体，有没有哪一个群体的抽样比例太大或者太小，要确保每名成员都有同样的可能性被抽中。
如果你的样本只来自大学生的某个群体，最好调整措辞。比如，如果你只能调查本校学生，那么概括的对象就不要定为全体北美大学生，说是本校学生就好了。
不要让群体内的成员自行选择是否入选样本。比如，你在一家周刊工作，想要了解读者对上一期的看法，那就自己选择随机的读者样本，然后问他们是怎么想的。不要在下一期杂志里发广告，征求读者意见。诚然，所有读者都收到了加入样本的 邀请 ，但只有表达意见强烈的人才会费心给你写信。他们的看法很可能不能代表读者整体。你应该选择一个随机读者样本，尽可能收取每一名入选者的回复。
【范例】
为了补贴大学学费，德里克·韦瑟比进入圣路易斯的一家史努克杂货铺工作。由于学生贷款的增加，他选择了休学，打算等个人财务状况改善后继续学业。但金融危机多年后的经济依然低迷，德里克发现史努克的许多其他员工就是大学毕业生，有些还有名校学位。看来许多大学毕业生也找不到比德里克现在的工作更赚钱的职位。
答案 该论证的一种改良方法是纳入不在史努克工作的大学毕业生，而且一定要包含来自全国多个地区的学生。结论应该是关于全体应届毕业生的，但该论证只考察了在史努克工作的学生。无偏样本应该让所有近期毕业的大学生都有机会被纳入，或许可以找一份涵盖众多院校的近期毕业生名单，然后从中随机抽取。
答案解析 上述回答做了三件重要的事。第一，它解释了样本为什么是有偏的：样本只包括在史努克工作的近期毕业的大学生。（ 这些学生赚的钱当然没有德里克多！ ）第二，它给出了一个切实具体的改进建议：从涵盖众多院校的近期毕业生名单中随机抽取。第三，它解释了为什么这样能降低样本的偏误：随机抽取能让所有近期毕业的大学生都有同样的机会被纳入样本（ 既然结论是关于所有近期毕业的大学生的，那么这个群体的成员就应当享有同等的机会 ）。
【习题】
1.美国司法体系有着严重缺陷，许多人蒙冤入狱。运用DNA检测技术，在卡多佐法学院成立的“无辜者计划”组织调查了DNA证据普及之前的重罪犯人。成立的前10年里，该组织项目调查的三分之二起案件均改判无罪，共有100多人误判重罪！
2.1938年到2013年，哈佛成人发展研究项目组追踪了两组男性的生活经历。一组是当年的哈佛大二学生，另一组当时生活在波士顿的贫困社区。过去75年来，哈佛大学的研究员每两年就会跟进一下他们的情况——做访谈、查看医疗记录等，研究得出了一个响亮而清晰的结论：要想过上健康幸福的生活，人际关系融洽最重要。
3.改签奥尔斯泰特的司机每年平均节省的车辆保险费用是396美元。改签政府雇员保险公司（GEICO）的司机每年平均节省的费用更多，达到了473美元。因此，大部分司机改签奥尔斯泰特都能省钱。
4.育儿肯定没那么难。毕竟在过去的几十亿年里，我的每一位祖先都至少成功将一个后代养大到成年。地球上其他生物的祖先也是如此。而且，大部分生物的祖先甚至没有语言和文化教它们如何育儿，更别提育儿书和网络论坛了，它们只是依从自然罢了。因此，自然育儿法适用于大部分生物。
※延伸练习※
与一名或多名同学合作，每人设想一种样本不具有代表性的情境。要有趣！不少论证错误都很有意思的。举一个例子：“假如某人想要通过数底特律附近的汽车厂数目，以此证明所有汽车都是美国生产的。”更宽泛地来讲，“假如某人想要通过Y，以此证明X”（ 要确保X是一个概括结论，而Y是一种错误的抽样方法 ）。然后交换不具有代表性的情境，互相提出改进方法，让抽样更具有代表性。
为了让你相信我是一流的射手，只让你看到我射中了一次靶心是不够的。你应该（ 当然，要礼貌些 ）问：“不错，但你有多少次没射中呢？”一箭命中靶心，与射一千支箭才命中一次有天壤之别，尽管两种情况下，我都亲手射中了一次靶心。你需要更多的数据。
里昂的星运走势告诉他，他将遇见一位活泼的新朋友。你瞧！他真的遇见了！所以说，星运走势是可信的。
这个例子可能有点夸张，但问题在于，我们看到的只是星运走势某一次应验的例子。为了对这个证据进行恰当的评估，我们还需要知道其他信息：有多少星运走势没有应验。当我在课堂上进行调查时，二三十个学生中一般能有一两个“里昂”，剩下的19个或29个人的星运走势一点都不准。不过，二三十次才对了一次，这很难称得上是可信的预测——只是偶尔运气好罢了。尽管这种预测有时非常成功，像我的箭术一样，但成功的 概率 或许还是微乎其微。
因此，要评估使用生动例子的论证是否可信，我们需要知道，比如，“命中”数与“射击”数的比例，这又是代表性的问题。除了所举的例子没有其他的例子吗？这种概率是高还是低？
这条规则的应用范围很广。今天有许多人害怕犯罪，或者经常看鲨鱼吃人、恐怖分子等暴力事件的故事。当然了，这些事情都很可怕，但是它们发生在任何一个人身上的概率——比如被鲨鱼吃掉的 概率 ——都是非常低的。
毫无疑问，我们总是会关注例外情况，因为电视新闻里面总是报道这类事件。这并不意味着例外情况就有代表性。对了，你希望发生的情况也未必有代表性，比如中彩票大奖。每个人中彩票大奖的机会——也就是中奖 率 ——低到可以忽略不计，但是我们往往对几十万没中奖的人视而不见，却只看那一个或几个中了大奖的人。于是，我们大大高估了背景率，想象着自己会成为下一个幸运儿。省点钱吧，朋友们。背景率才是最重要的！
【目标】 面对概括和统计数据，练习发现相关背景率的能力。
【要求】 下列论证都是从看似惊人的统计数据，或者少数生动例子直接跳到结论。为了判断结论是否正确，你需要更充分地了解相关的背景率。请说明计算相关背景率所需的额外信息（ 你需要先搞清楚哪些背景率是相关的 ）。
【提示】 基于少数生动例子的论证之所以奏效，是因为我们倾向于关注重大事件和惊人例子，而非相对枯燥的“背景”。所谓背景，就是没有事情发生的情况，比如星运走势预测失败的时候，或者船只和飞机没有在百慕大三角消失。但是，在评价概括结论的时候，无事发生与有事发生的情况同样重要。这就是所谓的发生比率：与相关背景相比，你举出的例子有多大意义呢？
理解概括性论证时，想一想：在评价某些例子或统计数据能否支持结论时，哪些背景率是相关的？以上文中的星运走势为例，相关的背景率是星运走势预测正确的概率。同理，就算你知道几十位减肥的名模都采用某一种节食计划，那也说明不了该节食计划的效果。一个原因是，减肥的名模组成的样本是有偏的。（ 你知道为什么吗？ ）但更重要的是，了解这几十位模特做了什么并不会使你明白相关的背景率，也就是采用该节食计划的人——不管是不是模特——减肥成功的比例。评估该论证还需要知道另一个比例：采用节食计划，不管是哪一种——以及不采用任何节食计划——的人减肥成功的比例。
一旦知道有哪些背景率需要了解，接下来就是如何计算的问题。在节食的例子中，你需要（ 大致 ）了解采用该节食计划的人数和其中减肥成功的人数。掌握了这种信息，你对概括的结论往往就可以给出一句尖刻却又恰当的评论：“你说得对——可总数是多少呢？”
有的时候，背景率的作用要更隐蔽。这里有一道题：
谭雅的打扑克水平很高，而且面若冰霜，看不出表情。她更可能从事哪一种职业：高中教师，还是专业扑克选手？
乍看上去，谭雅像是一个专业扑克选手。而且，这道题看似与概括结论无关，所以你或许不会去考虑背景率。然而，如果你考虑了背景率问题，你就会发现高中教师的数量非常多——而且不少都很会打扑克——而专业扑克选手数量少极了。因此，虽然谭雅会打扑克，而且面若冰霜，她是高中教师的可能性还是要高得多。我们从中得出了一个教训：哪怕论证在表面上与概括无关，你也应该考虑背景率。
【范例】
在最近的一次实验中，部分学生采用了一种名为“默写法”的学习技巧。读完一篇文章后，他们会把文章放在一边，把记住的内容默写下来。一周后，这些学生都能正确回答关于这篇文章的两三个问题。因此，默写法是一种好的学习方法。
答案 我们需要了解，如果这些学生使用其他学习方法，或者事后根本不学习，他们的表现会是怎样。换句话说，我们需要知道，如果学生采用了默写法以外的学习方法，他们能答对多少题。
答案解析 你可能会认为，上述论证只有一个相关背景率，而且作者也给出来了。然而，当作者宣称默写法是一种好的学习方法时，其中隐含着与其他学习方法的比较。所以，我们需要对照采用其他学习方法的学生的背景率，包括根本不学习的学生。
【习题】
1.2010年下半年，西安大略大学校园内没有一辆汽车被偷。校保卫处的校园安保肯定干得很不错。
2.2004年至2015年，美国因麻疹死去的儿童为零个。但在同一期间，因注射麻疹疫苗而产生排异反应死去的儿童有106个。显然，真正危险的不是麻疹，而是麻疹疫苗。
3.纽约“选5”（Take 5）彩票每天售出10万张获奖彩票。因此，购买“选5”彩票的获奖率相当高。
4.当你购买昂贵的电子设备，比如手机时，为它购买延长保修服务是一种保护投资的明智手段。许多手机和类似设备在厂家的有限保修期满后损坏，或者损坏方式不在保修范围内。事实上，2007年至2018年，美国人自费维修或更换保外iPhone总共花了107亿美元——这还只是iPhone！电脑、iPad或其他种类的手机和平板不含在内。
※延伸练习※
列出十个刻板印象，可以是关于某一类人的（ 如科学家或音乐家 ），也可以是关于某一类事的（ 如棒球比赛、政治选举、皇室婚礼 ）。从现实生活或文艺作品中给出一个到两个支持刻板印象的例子。然后问一问自己：为了确定这些刻板印象是真是假，你需要掌握哪些背景率？算出背景率又需要哪些信息？
数字本身什么也证明不了！有些人看到论证中使用了数字——任何数字——然后便断定它是一个好的论证。统计数字似乎能给人一种权威、确切的感觉（ 你知道吗？88%的医生表示赞同 ）。然而实际上，像其他任何类型的证据一样，数字也需要批判性地看待。别把你的大脑“关机”！
曾经有一段时间，人们指责个别盛产体育人才的大学剥削学生运动员，说这些学生一旦失去参赛资格就被迫退学。如今，大学生运动员的毕业率提高了。目前，在很多学校中，50%以上的学生运动员都能毕业。
50%是吗？好高啊！但这个乍看很有说服力的数字，实际上并没有那么有用。
首先，尽管很多学校有50%以上的学生运动员顺利毕业，但还有一些学校做不到——因此，当初引起人们关注，剥削学生运动员的学校未必包含在其中。
这个论证确实给出了毕业率。但我们有必要知道，“50%以上”的毕业率与同一批学校的 整体 毕业率相比是高还是低。如果前者过低，那么学生运动员可能仍然受到了剥削。
最重要的是，这个论证并未给出理由来说明，大学生运动员毕业率的确在 上升 ，因为它根本没有与之前的毕业率进行比较！结论认为，目前的毕业率“提高了”，但在不知道之前毕业率的情况下，不可能证明这一点。
在其他情况下，数字证据也可能是不全面的。例如，规则9告诉我们，了解概率可能很关键。相应地，当论证中出现概率或百分比时，相关背景信息通常必须包括例子的 数目 。校园内汽车被盗事件数量可能翻了一番，但如果原来有一辆车被盗，如今有两辆，那也没必要过于担心。
另一个使用统计数字时容易犯的错误是 过于精确 ：
这所学校每年要浪费412067个纸杯和塑料杯。是时候改用非一次性水杯了！
我完全赞成杜绝浪费，我也确信校园浪费现象非常严重。但没有人知道具体浪费了多少个水杯，也不可能每年数字都一样。这里，精确的表象夸大了证据的权威性。
另外，还要当心容易受人为操纵的数字。民意测验机构非常清楚，提问方式能够影响答案。比如说，时至今日，我们甚至还能看到一些“民意测验”提出诱导性问题，（ 如果你发现她是个骗子，你会不会改变选择？ ）试图使人们改变对一名政治候选人的看法。同样，很多看起来“确凿”的统计数字实际上是以猜测或推测为基础，例如半合法或非法活动的统计数字。由于人们都极不情愿透露或报告吸毒、暗中交易、雇用非法移民等活动，对任何关于此类活动如何泛滥的大胆概括都要谨慎对待。
再举个例子：
如果儿童看电视的时间按照现在的速度增长下去，到2025年，他们就没时间睡觉了！
是的，到2040年，他们每天要看36个小时呢。这些案例中的推测在数学上完全成立，但过了某个界限之后，它就没有任何道理可言了。
统计学和概率学的内容还有很多，本书无暇赘述。若想深入理解，不妨上一门统计学课。我们认为，所有学生至少都要上一门统计学课！同时，你也可以读一读本书配套网站上的“相关资源”页面，里面列出了若干统计学和概率学的相关书目和线上资料，它们或许对下面的习题都会有帮助。
【目标】 练习用批判的眼光看待使用简单统计数字进行论证的能力。
【要求】 下列论证对数字的运用都有误导之嫌，请说明为何这些数字不足以支持结论。
【提示】 很多统计数字的误用只要三个简单的问题就能被发现：这些统计数字到底说了什么；它们可信吗；论证里想用这些数字来说明某些问题，它们果真能说明吗。评价下列论证（ 以及所有使用统计数字的论证 ）时，一定要依次问自己这三个问题。
此外，规则10还介绍了几种具体的陷阱：给出比率或百分比，却不给出相关背景信息；过分精确，让人心里打鼓的统计数字；诱导性民意调查的结果；欠考虑的推而广之；滥用数字来证明结论，其实根本支持不了结论。观察下列论证时，要留意这些陷阱。
规则9要求我们，给出例子要配上背景率。而没有背景信息的比率或百分比同样有问题。如果一个论证 仅仅 给出比率或百分比，你就要问问自己：这些比率会不会有误导性？有人说某事减少了10%，你掌握的背景信息是否足以判断其意义大小呢？如果信息量不足，论证者可能就在误导你，让你相信某件小事很重要。
面对统计数字，你还要问自己两个问题：这个数字可能是通过什么方法获得的；这种方法可靠吗。假如有人告诉你，68%的人每天用牙线清洁牙齿。这条信息是如何获知的呢？最可能的情况是，调查者问人们是否每天用牙线。然而，人们有时会对调查者撒谎（ 也可以换一种说法，遮蔽真相 ），特别是在他们觉得说出真实答案有些尴尬、不想面对事实，或者害怕说实话“对社交不利”的情况下。所以，68%这个数字很可能高估了每天用牙线的人的比例。
总体来说，一个数据越是难以获得，你对它的准确性就越应该怀疑。（ 但也不要矫枉过正。为了解决数据获取难度的问题，统计学家已经有了多种巧妙的方法。你需要辨明一个论证的作者是否有能力和动机采用这些方法。 ）
有的组织可能更关心得到某个结果，而非发现真相，哪怕可以比较精确地获得数据。民意调查员会利用有偏样本或诱导性问题来歪曲结果。操纵数据还有一种方法，那就是反复检验，直到获得想要的结果为止。牙膏公司可以问完10名牙医所推荐的牙膏品牌，另找10名再问，如此往复，直到10名里面恰好有9名推荐该公司的品牌。如果统计数据的组织更关心得到想要的结果，而非发现真相，你就应该保持怀疑态度。（ 事实上，你对厂商的所有论证至少都应该有一定程度的怀疑！参见规则15。 ）
【范例】
根据《美国新闻与世界报道》（ U.S.News&World Report ）杂志整理的法学院提供的资料，93%的法学学生在毕业9个月后找到了工作。而在1997年时，法学院报告中的法学毕业生平均就业率为84%，2011年比1997年提高了将近10%。法学毕业生的就业前景比以往任何时候都要好！
答案 该论证引用了两个“就业率”，以此证明如今的法学毕业生就业前景“比以往任何时候都要好”。该论证有几个疑点。首先，两个数字都是法学院自己提供的，而法学院有夸大数据的动机，这一点值得注意。其次，我们真正想了解的是，毕业后当上律师的学生有多少，而93%的数据中并未明确就业岗位。或许只有50%的人当上了律师，其余43%要么在汉堡王，要么在星巴克。最后，论证宣称就业前景“比以往任何时候都要好”，却只给出了1997年这一个参照点。1997年有可能是法学就业形势特别糟糕的一年。我们需要更多背景信息，才能评判上述数据的价值。
答案解析 上述回答首先解释了该论证试图用数字说明的问题，然后指出了三个与数据相关的疑点。请注意，该回答并未给出强有力的理由，让我们相信结论本身是错误的。要点在于，我们不知道结论是真是假。我们需要做更多研究，才能了解法学毕业生的实际就业前景。我要说的是，批判地看待数据能避免陷入误导性论证的陷阱。
【习题】
1.每隔15秒，美国就会发生一起盗窃案。多达80%的非法入室都是从正门或窗户进入。因此，购买OnGARD安全门等产品是很重要的，有助于防止窃贼从正门进入。
2.环保主义者警告说人类排放的二氧化碳正危及地球。但地球天然排放的二氧化碳比人类还多。事实上，人类有史以来排放的二氧化碳总量只有地质历史上火山爆发排放的二氧化碳的0.00022%。既然人类的排放量与自然排放量相比微不足道，我们根本用不着担心人类碳排放会改变气候。
3.在普通的一周里遇到的人中，一个人平均要对其中34%的人撒谎。该数字既包括善意的谎言（ 目的是避免伤害他人感情 ），也包括自私的谎言（ 目的是为自己谋利 ）；既包括对亲密朋友撒谎，也包括对泛泛之交撒谎。显然，别人说的话大多不可信。
※延伸练习※
找几名同学，每人选一个网站、报纸或杂志，寻找里面用到统计数字的论证，评估你选择的网站、报纸或杂志里有多少论证比较好，又有多少比较差。然后，大家按照数据可靠程度给这些来源做一个排序。或者，大家也可以都看同一个网站、报纸或杂志，每个人分一个版块。
批判性思维活动：发现误导性数字
第三部分 的“发现误导性数字”是一种运用规则10的课外活动，也可以运用于课内。
反例是与你的概括相矛盾的例证。蛮刺耳的——或许吧。但事实上，如果你在概括的时候能及时、有效地利用反例，它们就能成为你最好的帮手。例外不能“证明规律”——恰恰相反，它们有可能证明规律是 错 的——但是，例外可以激发，也应该激发我们去 完善 规律。要有目的、有系统地寻找反例。这是帮助你严谨概括、深入研究的最佳方式。
再次思考下面这个论证：
太阳能应用广泛。
水力发电应用广泛。
风力发电曾经应用广泛，目前应用正越来越广泛。
因此，可再生能源应用广泛。
当然，这里举出的例子能表明 许多 可再生能源——太阳能、水能、风能——应用广泛。但是，如果你不只是找正面例子，而是开始寻找反例，那或许就会发现这个论证有点以偏概全。
所有 可再生能源的应用都很广泛吗？查一查“可再生能源”的定义，你会发现潮汐能、地热能等其他种类。无论如何，这些种类的可再生能源应用并不广泛。比如，它们不是处处都有，而且即使有，开发难度可能也很大。
当你想到了反例时，概括性结论就可能要做调整。比如，假如上面关于可再生能源的论证是你做出的，你或许就可以将结论改为“ 许多形式 的可再生能源应用广泛”。你的论证仍然基本有效，同时承认某些部分存在局限和改进的空间。
反例有助于思考的深入，发现你真正想说的内容。比如，你做出上述论证可能是为了说明：常用的非可再生能源有现成可用的替代品。如果这就是你的目标，那么你并不一定要主张 所有 可再生能源都应用广泛，而只要说明 有些 可再生能源应用广泛就够了。你甚至可以主张，我们应当发展现在应用尚不广泛的可再生能源。
另一种可能性是，你真正想说的不是每一种可再生能源都得到了广泛应用，或者有潜力得到广泛应用，而是每一个（ 或者绝大部分？ ）地方都至少有某些可再生能源，虽然各地的能源种类会有差异。它与先前的主张差别很大，而且更巧妙，为进一步思考提供了空间。（ 这个论证会不会也有反例呢？请读者自行思考 ）
除了评估自己的论证，当你评估他人的论证时，你也要思考反例。问一问，他们的结论是否需要修改和限定，或者是否需要更加细密地反思一番。规则既适用于别人的论证，也适用于你自己的论证。唯一的区别在于，你有机会亲自纠正自己以偏概全的地方。
【目标】 练习给概括找反例的能力。
【要求】 请给下列概括各找一个反例。若无反例，请说明。
【提示】 还记得吗？反例就是不符合概括的结论的例子。以“所有鸟都会飞”为例。它概括的对象是鸟类，内容是该群体（ 即鸟类 ）的所有成员都会飞。不会飞的鸟就是反例，企鹅是，鸵鸟也是，（ 可惜 ）已经灭绝的渡渡鸟也是。
为了判断反例是否成立，你需要问的问题与练习2.1和练习2.2中的相同：概括的对象是什么？针对该类事物的概括有何内容？反例的类型不能错。如果归纳的对象是鸟类，反例也必须是鸟类。此外，反例必须与概括内容相反。如果概括的结论是鸟会飞，反例就必须是 不会 飞的鸟。
许多逻辑学家、哲学家和数学家用“反例”来特指证否“全称”概括命题的例子。“全称”命题针对一个群体的 所有 成员（ 例如，所有鸟都会飞 ）。你未必要遵循这种严格用法，将“反例”理解成概括命题的例外就好，不是全称命题也没关系。根据这种广义用法，挪威和阿拉斯加的雨林就是“大部分雨林位于热带”这一概括的反例。在本节习题中，所有概括命题均为全称命题，但之后的习题就未必了，别忘了这层广义内涵。
【范例】
世界大国的领袖都是男性。
答案 1979年至1990年的英国首相是撒切尔夫人，她是世界大国领袖，而且不是男性。
答案解析 这条概括的对象是世界大国的领袖，内容是所有世界大国的领袖都是男性。因此，反例必须是世界大国的领袖，而且不能是男性。当然，除了撒切尔夫人还有很多反例。历史人物有英国女王伊丽莎白一世、俄国女皇叶卡捷琳娜大帝等。
概括性命题的解读往往会有争议。克里奥帕特拉是古埃及的最后一位法老。她是一个大国的统治者，而且在古代地中海世界政坛中发挥了重要作用。她算得上“世界大国的领袖”吗？美国国务卿在国际政治中发挥着重要作用。那么，马德琳·奥尔布赖特、康多莉扎·赖斯和希拉里·克林顿等女性国务卿算得上“世界大国的领袖”吗？世界大国的领袖非要是政治人物吗？大型跨国组织的女性领导人，比如百事CEO卢英德和国际救助贫困组织CEO海伦·盖尔，算不算呢？
【习题】
1.所有好莱坞影星的母语都是英语。
2.哺乳动物都不产卵。
3.沙拉都是蔬菜。
4.哺乳动物都有毛发。
※延伸练习※
练习2.1和练习2.2中也有概括性命题，请为它们找到反例。你还可以与朋友或同学合作，列出若干概括性命题，然后给每个命题寻找反例。
【目标】 运用规则7至规则11来评价概括性论证。
【要求】 逐条检验下列论证是否符合本章讲解的规则。
【提示】 评价一个论证，就是判断它的强度大小。有人想要通过举例来支持一个概括结论，你就要考察它是否符合规则7至规则11。符合程度越高，论证的强度就越大。评价论证时，若想确保完整彻底，最好系统排查，逐条检查，看是否符合规则7至规则11。
总体来说，论证给出的例子越多，就越符合规则7。字面上讲，规则7的内容是论证的例子应当“多于一个”。但是，两个例子往往不比一个强多少。真正的问题在于，举例是否 足够 。多少才算“足够”？这个问题不简单。如果概括对象的数量不大，最好做普查。如果数量太多，不能全部检验，那就需要抽样。确知样本容量多大才算“足够”是很难的，因为要看具体情况。但是，你应当知道，有时小样本（ 比如，一两千人 ）也足以支持针对大总体（ 比如，全美人口 ）的概括，只要样本确实有代表性。
要想判断论证是否符合规则8，请记住练习2.2。问一问自己，有代表性的例子占多少？如果大部分都有代表性，那么论证就符合规则8。
要想判断论证是否符合规则9，请问问自己，是否有背景率需要了解。背景率一般是百分比的形式。假如有人告诉你，19辆丰田普锐斯由于油门故障而发生车祸。为了判断普锐斯是不是特别不安全，你需要了解由于油门故障而发生车祸的普锐斯车的百分比。论证中是否提供了该数据，或者包含了能够算出该数据的信息？还是说，论证者合理地假定你知道背景率（ 在普锐斯的例子中，实际背景率是很低的 ）？如果都没有，那么论证就不太符合规则9。
判断论证是否符合规则10要难一些，因为误用数据的方式太多了。在论证里看到数据时，要认真思考数据的含义、数据的来源，以及数据是否真能为概括提供支持。
关于规则11，首先要看结论是不是全称概括命题，即概括对象为某个群体的全部成员的命题，例如“俄勒冈州波特兰市的每一个人都是素食者”。如果是全称概括命题，那就试着找一个反例。只要有反例，结论便是错的，论证需要修改。
如果结论不是全称概括命题呢？单凭几个例外情况并不足以证明结论为假。不过，在练习2.5的“提示”中，我们介绍了“反例”一词的广义用法。按照这种用法，任何一个概括命题的例外情况都算是反例。因此，如果你发现了许多例外情况，觉得论证中的概括是错误的，那么就不符合规则11。然而，如果一个论证忽略了大量例外情况，它很可能也违背了规则8。要是样本确实有代表性，这些反例早就被发现了。
【范例】
几乎每一部好莱坞动作片都有一位男性主角，还有一位能力更强的女性配角，其实她才应该当主角。但女性配角最后总是沦为只能被主角拯救的受困少女，功劳全被他拿走了。你不信？想想吧，在《星球大战》（Star Wars）第一部中，笨手笨脚的卢克最后救了莱娅，尽管只有她会用爆能枪。在《哈利波特与密室》（Harry Potter and the Chamber of Secrets）中，哈利解救了比他聪明得多、能干得多的朋友赫敏。在《银河护卫队》（Guardians of the Galaxy）中，卡魔拉在任何地方都是最勇猛的战士，但最后却是彼得拯救了世界。
答案 尽管好莱坞大片中男性主角确实多于女性主角，但上面的论证还是相当薄弱的。它符合规则7的字面含义，给出了不止一个例子，但违背了规则7的精神，因为它举出的3个例子中最早的一个是1977年上映的《星球大战》，其他例子都在它之后。我不确定它是否符合要求例子有代表性的规则8，因为我不知道例子是怎么选出来的，但看起来并不能代表所有好莱坞动作片。仅举一例：三部都是科幻和魔幻类电影。这段论证应该告诉我们过去40年中好莱坞出品了多少部动作电影（ 规则9 ）——可那样一来，论证给出的例证不足就是显而易见的事了。论证中没有给出统计数字，因此不适用规则10。随便上网搜一下“女性动作片主角”就能得出许许多多反例（ 规则11 ），从《异形》（Alien）系列电影中的雷普利上尉到《饥饿游戏》（The Hunger Games）中的凯特尼斯·伊夫狄恩，再到《疯狂的麦克斯4：狂暴之路》（Mad Max：Fury Road）中的费罗莎指挥官，更不用说《霹雳娇娃》（Charlie’s Angels）和《杀死比尔》（Kill Bill）一类单推女主角的电影了。根据此处给出的例子，得出一个温和得多的概括可能会合适一些。
答案解析 上述回答按顺序逐条讨论了规则。（ 甚至连规则10都提到了，只是为了说明它不适用规则10。 ）通过指出3个例子不够充分，回答者认识到规则7的实质并不是论证时多举两个或者更多例子。该回答的另一个优点是承认我们不知道原论证是否符合规则8。不要害怕说我们掌握的信息不够多，无法知道一个论证是否符合某条规则。不过，该回答没有就这么放过去。针对规则11，它不只是说存在反例，更实际给出了一批反例。
【习题】
1.帝国没有长命的，只要看看20世纪崩溃的帝国就够了。希特勒政权和墨索里尼政权倒是想要屹立千年，但结果你我都知道。就连大英帝国都走向了末路！
2.在一家乳业集团举办的一次具有全国代表性的网络调查中，约有7%的成年美国人——相当于1640万成年人——说巧克力牛奶是棕色奶牛产的。因此，7%的美国人认为我们生活在棕色奶牛产巧克力牛奶的威利旺卡式的奇幻世界中。
3.20世纪20年代，哈里森·马特兰博士研究了拳击是否会造成脑损伤。一名职业拳击承办人给了他一张名单，上面有23人，都是承办人认为被“打残”的前拳击手。马特兰试图联系这23人，但最后只找到10人。这10人都有明显的脑损伤迹象：4人痴呆，2人说话不连贯，2人腿脚不利索，1人眼盲，1人有帕金森病症状。这项研究证明，许多前拳击手都有脑损伤。
4.美国共有3141个县，其中314个肾癌发病率最低的县几乎都是乡村县。此外，根据2004年的数据，没有肾癌患者的县人口全都不足10万。因此，肾癌风险最低的县是人口稀疏的乡村县。
※延伸练习※
读者可从报纸、亲友对话、电视、网络上寻找概括性结论，考察对方如何做论证——如果有论证的话——并根据本章讲解的规则进行评价。
【目标】 通过构造符合规则7至规则11的论证，练习为概括性结论提供支持的能力。
【要求】 请考察下列概括性结论，它们是真还是假？写一段符合规则7至规则11的论证，为你的答案提供支持。本节习题可能需要查资料。如果查过资料，但还是找不到例子来支持最初的答案，或许就应该改答案了！
【提示】 如果你不确定一个概括是真还是假，那么在动笔写论证之前，先找一找正反两面的例子。正面例子是支持概括性结论的，反例则是反驳概括性结论的。
如果你认为概括性结论为真，请给出例子来支持它，特别要注意规则7、规则8、规则9和规则11。如果你认为概括性结论为假，请给出例子来支持相反的主张。比如，如果你认为“大多数爬行动物都是危险的”这个概括是假的，请构造论证来支持类似“许多爬行动物并不危险”的概括。
我们容易去关注能支持自己相信（ 或者想要相信 ）的主张的例子，这是自然的。规则11能特别有效地抵制这种倾向。不管你脑子里的概括是什么，都要积极地寻找例外情况。
【范例】
非法药品比酒精更安全。
答案 上述概括性结论是错误的。虽然部分非法药品（ 如大麻和某些致幻剂 ）可能比酒精更安全，但大多数非法药品都比酒精更危险。可卡因（ 如快克可卡因 ）、甲基安非他命、鸦片、海洛因特别危险，因为它们成瘾性极强，对身体伤害极大，而且容易摄入过量。迷乱药会造成脑损伤，不纯的迷乱药更可能致命。虽然酒精有成瘾性，对身体有害，也可能致死，但成瘾性和伤害性不如上述药品大。因此，整体来说，非法药品并不比酒精更安全。
答案解析 该回答做了两件事：首先说明概括的真假；然后给出论证来支持该主张。该论证在遵守本章中列出的各条规则方面做得相当好：论证给出了多个例子（ 规则7 ），这些例子能代表最常见的非法药品（ 规则8 ）。虽然没有说明非法药品到底有多少种（ 规则9 ），但读者大概可以自行估计出其余种类的数目。论证并没有举出数字来支持结论，因此没有误导性数据之嫌（ 规则10 ）。不过，要是有妥当选择的数据支持会更好。论证没有具体举出反例（ 规则11 ），而只是说明反例数量不多。
【习题】
1.美国总统大多来自俄亥俄州或弗吉尼亚州。
2.古典乐很无聊。
3.跳伞是危险的。
4.一切概括，皆有例外。
※延伸练习※
读者可从报纸、亲友对话、电视、网络上寻找概括性结论，考察这些结论是真还是假，然后尝试用符合规则7至规则11的论证来支持。
批判性思维活动：概括教室
第三部分 的“概括教室”是一种运用本章全部规则的课外活动。